LIVRE III. — CHAPITRE II

Or il est évident que de plus on a

2(x — X,) (xj-^x.) -4-2(7— j, 5 (r^— /•)

— 2 ( a;, .r, 4-7,7-3) -f- 2(jr,x, -t-rs^,); mais les égalités

{x. — Xs)*+ (7,— /,)'==<?% (rs— a: )M-(n — r )»:

donnent

~"~ 2 i ^j Xf

de sorte qu'on trouve, en ajoutant,

2(X — X,) [Xi—Xi) 4-2(7—7,) ;7s — 7,) =a»— *»4-C>— ï/^.

La surrace du quadrilatère sera donc

(III) i6Q» =

Qi^b^^ C'— d} 2/1*

2mn

fl»— 6'-hc'— rf»

fl'— i'+c'— rf'

2mn

Celle expression revient à celle (iV) i6Q»=4/n'/i'— [a»— 6'4-c»~rf';',

que nous avons déjà donnée dans les lYoïwelles Annales de Mathématiques, i" série, 1848, t. VII, p. 69.

227. Expression en déterminant de la surface du quadri* latère inscriptible en valeur des quatre côtés. — Si le qua-

SURFACE DBS POLYGONES.

drilatère ABCD est inscriptible» on aura

mn = ac -h bd,

= [(a + c)'~(é-rf)'][(6H-rf)>-(a-c)'] . Or le produit des deux déterminants

étant

c -^ il (l->t- c

-hb — c H-

a-\-bb— ac-hd d-hc ■

si J'on y divise les quatre colonnes par les quantités respectives

b-^c-r-d — a, c-hd-^a — b, d-^a-{-b — Cy a-^b-hc — d,

oa verra que

Aô - i6Q

nais on a évidemment

198 LITRB III. *— CHAPITRB II.

donc il vient i6Q' = — A, ou bien

228. Surface du quadrilatère inficrit dans la parabole y^=z 2px, en valeur des coordonnées des quatre sommets.- Dans la formule (II) posons

r' rî r\

X ■=. y or, = 9 a?j = ^ — î JTj :

2/> 'Xp 2/?

elle devient

=— (r-rO(r.-r»)

(VI) ^Q^ fr — n^ [r^~r^) (.r-r.-4-.n-

pour la surface du quadrilatère inscrit dans la parabole, en valeur des coordonnées des quatre sommets consécutifs.

§ IV. — Surface d'un polygone quelconque.

229. Surface d'un polygone en valeur des coordonnées ik ses sommets. — Soient ^i, /• ; ara, ^a; «îCj, ja; • • • ; ^«. i\ '« coordonnées des n sommets consécutifs A, B, C, . . ., K dd polygone ABC. . .K, que Ton rencontre en parcourant le p"^ timètre dans le sens positif. Transportons Torigine en point 0 situé dans l'intérieur du polygone et ayant a, b po coordonnées. Désignons par x\ , y,; x\^y\\ x\^ y\; . . .; x«, les nouvelles coordonnées des sommets. Puisque la surface du polygone est égale à la somme des triangles OAB, OBC, .

su&fàci des polygones.

OKA, nous avons

aS =

Remplaçons ces coordonnées par leurs valeurs en fonction des anciennes

^, = Xi — a, j:j=x, — a, jTj^rjrs — a, ..., Xn'=Xu — a» nous obtenons

j:, — a Yx—b

Xi^a yx—a Xt—b y, — b

x^—a yu—b Xx^a yx — b

or nous avons le déterminant

Xx — a yt—b jc, — a y-t — b

xx yx X, yi

Xi b

Xx yx Xt yt

rO-

et de même

oTs — a yt—b or, — a ys--b

Xi y,

Xi yt

+ fl(ra— /») — b[Xi'-X^)^

Xn — a yu—b Xt — a yx — b

Xn yn

xx yx

par conséquent, dans la somme de ces déterminants, les multiplicateurs de a et de fr se réduisent à zéro; donc il vient

x^ yi

Si les axes des coordonnées étaient obliques, il faudrait multiplier le second membre par le sinus de Tangle des axes, pour avoir la double surface du polygone.

aoo LIVRE III. — GUAPITRB III.