LA DROITE ET LE PLAN

§ I. Direction des droites dans Tespace. — § U. Intersection des droites et dt■^ plans. — $111. Combinaison des équations générales qui représentent d^ plans donnés. — $ IV. Plans passant par des points ou des droites données.- § V.DiK)ites et plans parallèles. — J VI. Droites et plans perpendiculaires. - S VU. Distance du point au plan et plus courte distance de deux droites.- $ VIII. Application de l'identité de Lagrange au calcul des distances damii Géométrie de Tespiice.

§ I. — Direction des droites dans l'espace.

230. Relation entre les inclinaisons mutuelles de quatre droites OA, OB, OC, CD [fg.^] issues d*un même point (> de respace.— Afln de mieux distinguer ces angles entre eux. nous représenterons l*angle que Torment deux quelconque'' des trois droites 0A, OB, OC par celle des trois lettres a, /'. c% dont la majuscule correspondante manque dans la désignation de ces deux droite». Ainsi nous poserons

l'angle BOC = a, COA = 6, AOB = c;

et nous indiquerons Tangle que forme la droite OD avec l'une quelconque de ces droites OA, OB/OC par celle des iroi-» lettres accentuées a , 6', c\ dont la majuscule correspondanio entre dans la désignation de celte droite, en posant

Tangle HOA =: a', DOB = 6', DOC = c' ;

de cette manière, les angles a et a' sont opposés, ainsi qut^ les angles 6 et b\ c et c'.

Choisissons le point 0 pour origine des coordonnées ei prenons les droites OA, OB, OC pour axes des x^ /, z.

LA DBOITB BT LB PLAlf.

Sur la droite OD, à partir de l*origine 0» mesurons une longueur OM égale à l*unilé et désignons par x^y^ z les coordonnées du point M . Si nous menons la droite MP {Jig. 4 ) parallèle

h Taxe OC des z jusqu'à la rencontre en P du plan AOBdes xy, et par le point P, dans le plan OAB, la droite PQ parallèle à Taxe OB des /, jusqu'à la rencontre en Q de Taxe OA des x, nous aurons

OQ = jr, QP=r, PM = z.

Cela Taity projetons la droite OM et la ligne brisée OQPM successivement sur les quatre droites OD, OA, OB, OC; nous obtenons les quatre équations

— 1 -h X cosa' -^ jr cosb' -^ zcost'-— o,

— cosa'-^x -f-^cosc -h 3 cosfc — o,

— cosfc' -H xcosc-\- y 4- zcosa == o, ~ cosc' -h X cosb -^-ycosa -h z =o.

Eliminons les trois variables x,y, z entre ces quatre équations, nous trouvons la relation

I cosa' cosfc' cosr'

cosa'

CO-iC

cos6

cos6'

cosc

cosa

cosb

cosa

qui existe entre les six angles a, fr, c et a', 6', c' que forment entre elles les quatre droites données. Dans cette relation nous avons changé les signes des éléments de la première

colonne.