LITRE III. — CHAPITRE III
Si nous développons ce déterminant, nous yerrons que notre relation (I) revient à l'égalité
isin'a cos'a'-i- 2 cos6' cosc' (cosé cosc — cosa) -h sin'6cos*6'-i- 2 cosc' cosa' (cosc cosa — cosft) -h sin*ccos'<?'-f- 2cosa'cos6'(cosacos6 — cosc)=:D-,
où
(1) D^= i — cos'a — cos'6 — cos'c-i- 2Cosacosfrcosc.
231. Relation entre les trois angles que fait une droite avec les trois axes de coordonnées. — Désignons» suivant l'usage» par 7, /x, v les inclinaisons mutuelles des axes de coordonnées OX, OY, OZ, de lelle sorte que
l'angle YOZ = X, ZOX = fx, XOY = v.
et posons
l'angle DOX = a, DOY = (3, DOZ = y.
Si nous appliquons ces notations à la formule (I), nous obtenons la relation
cosa
cos^ cosy
(III
cosa cos|3
cosv
cosv COS/x I cosX
cosy
COSfl
cosX I
ei, en
effectuant»
cos'asin'X
-+- 2 cos(3 cosy (cosjx cosv — cosi)
(IV)
-hcos*Psin'/ut
-h 2 cosy cosa (cosv cosX —cos/x)
, -f-cos*y sin^v + 2cosacos|3(cosAcosfA— cosv)
où
(V) A*=I— COS^X— COS'fJt — COS'V -4- 2COS>COS/JlC0Sy.
Telle est la relation (III) qui existe enlre les trois angles a, (î, y, que fait une droite OD avec les trois axes de coordonnées OX, OY, OZ, et les Inclinaisons mutuelles i, j^i, v de ces axes.
LA DROITS ST LB PLAH. 2o3
232. Sinus d'un triôdre. — L'expression précédente (V) joue un grand rare dans la Géométrie analytique à trois dimensions; elle se présente dans presque toutes les formules, lorsque les axes de coordonnées sont obliques. Elle est la valeur effectuée du déterminant
;vi) A» =
I COSV COSfZ
COSV I cosX
cos/x cosA I
et peut se transformer en produit.
En effet, il est aisé de voir qu'on a
A'=rsin*|tjtsin'v — (cosucosv— cosAj* . = (sin/xsinv + cosjizcosv— -cosX)
^ X (cosX — cosfxcosv-H sinfxsinv)
= [cos(/x — v)— cosX][cosX— cos(/x-i-v)];
et comme
coslu — vi — cosA=2sm ' sm ^>
cos/— cos (M-f-v) = 2 sin sm ?
on trouve pour A* la forme remarquable
^3) AV^ism — '■ sm^- sm ^sm — ^ — •
Les trois angles X, [jl, v sont les trois faces du trièdre formé par les axes des coordonnées; par suite chacun d'eux est moindre que la somme des deux autres» et leur somme est moindre que quatre angles droits : il. s'ensuit que les trois
. . ..«., a-+-v — X V 4- X — u X-+-/X — V demi-differences > -y seront po-
sitives et moindres chacune que deux droits^ pendant que la demi-somme "^ sera aussi inférieure à deux droits;
donc les quatre sinus du produit précédent sont supérieurs à zéro.
On conclut, d'après (2), que le carré (cosp cosv — cosX)'
2o4 LIVM III. ^ CHAPIT&B III*
est toujours moindre que sin*Xsin'v; et, comme ce dernier carré n'est jamais supérieur à i, la quantité A' sera e1le*mèine toujours comprise entre zéro et i; elle ne sera égale à ruoité, d'après (2), que si le trièdre est trirectangle.
Donc la racine carrée de A^ ou A ne peut varier qu'entre — i et -^ i, en passant par zéro.
Pour celle raison, von Slaudt {Journal de Crelle, t. XXIV, p. 262) a donné à la quanliic A le nom de sinus du trièdre^dotiX les trois faces sont X, fz, v.
233. Signification géométrique du sinus d*un trièdre. - Sur les trois arêtes OX, OY et OZ [fg. 5) du trièdre formé
par les axes de coordonnées, à partir de l'origine 0, prenons le^ longueurs OA, OB et OC égaies à l'unité, et menons les droites BC, CA et AB; nous formons ainsi le tétraèdre OABC, dont le volume V s'obtient en multipliant la face OAB par le tiers de la perpendiculaire CD abaissée sur son plan du sommet opposé C.
Appelons X\ fjf, v' les Inclinaisons des trois arêtes OA, OB OC sur les plans OBC, OCA et OAB des faces opposées; nous aurons
CD = OCsinCOD = sinCOD =:sinv';
et, comme le triangle ABO est égal à
il viendra
-AO.BO.sinAOB= - sin AOB = -sinv, 2 22
V = 77 sinv sinv'.
Lk DROITE KT LB PLAN. ao5
Cela établi, par le pied D de la hauteur CD, dans le plan OAB, menons EF perpendiculaire sur OB jusqu'à la rencontre de OA en F; lirons DG perpendiculaire sur OA et joignons OD eiEG; nous avons évidemment
EF = OF sinEOF = OF sin v, OD = OCsinCOD = OC cosv'=: cosv',
, EF.OD sinvcosv = ^p •
Or, le quadrilatère OEDG étant inscrlptible, les deux angles DEGetDOG sont égaux; par suite, les deux triangles EFG PI DFO sont semblables et donnent
EF EG ,, , EF.OD ..^ =.„„, dou -^^^=:EG,
ou
sinvcosv'=EG.
Mais, OE et OG étant les projections de OC = i sur les droites
OB et OA, on a
OE = cosX, 0 = cos|:x;
d'ailleurs Tangle EOG est égal à y; il vient donc, par le iriangle OEG, ,
sin'v cos*v' = EG = cos'X -+- cos'/ji — 2 cosX + cos|yi cosv.
Nous avons ainsi
sin*vsin*y'= sin*v(i— cos'v') =sin*v — sin'vcos'y'
= sin*v— ^ (cos'X-f- cos^fx— 2cos*Xcos|uicosv), ou
sin^y sin» v'= I — cos'X — cos'/jt
— cos'y -+- a cosX cos/x cosy = A».
Substituant cette valeur dans celle de V, nous obtiendrons la valeur
;5) V = ^A ou A==:6V.
^o6 LITRE III. — CHAPITRE III.
Donc /c sinus d*un irièdre est, égal au sextuple volume du tétraèdre^ dont trois arêtes contigués sont égales à l'unité et comprennent entre elles ce trièdre.
Nous pouvons donner plusieurs autres expressions du sinus d'un irièdre.
234. Expression dn sinns d*im trièdre en valeur d'nne face et de rindinaison dn plan de cette face sur l'arête opposée. — L'égalité ( 4 ) nous fail voir immédiatement qu'on a aussi
(VII) A= 8inX8inV= sinfAsinf^'^ sinvsinv'.
Il s'ensuit que le sinus d'un trièdre est égal au produit du sinus ftunt jace par le sinus de T inclinaison du plan de cette face sur Farrtf opposée,
235. Expression du sinns d'nn trièdre en valenr de denz faces et dn dièdre compris. — Représentons par X, T et Z les angles dièdres que comprennent entre eux les plans de coordonnées et qui sont adja-
cents aux axes OX, OY et OZ (fig, 6j. Le triangle rectangle CDG
nous donne
CD :=: GG sînCGD = OC sinGOG sinCGD
ou
CD= sinftsinX;
et comme, par le triangle OGD, nous avons
CD = 0CsinC0D=8inV,
il vient
8inv';=: sin/AsinX
et par suite
sinvsinv'=: siufi sinvslnX.
On a donc encore (Vin) A = sinpisinvsinX = sinvsinXsinY = sin).sinfAsinZ.
LA DROITS KT Ll PLAN. 2O7
Ainsi ie sinus dun trièdre est aussi égal au produit des sinus de deux faces par le sinus du tlièdre compris *
236. Sinus du triédre supplémentaire. — Le trièdre supplémentaire du trièdre OXYZ est terminé par les trois faces
« — X, TT — Y, ir — Z
qui comprennent entre elles les trois dièdres
Si nous substituons ces valeurs dans les formules. (Y), (YI) et (3) du n"" 231, et que nous représentions par A' le sinus de ce trièdre supplémentairei bous aurons les expressions suivantes :
(IX) A"=i — cos*X — co8*Y — cos'Z — acosXcosYcosZ,
—I cosZ cosY cosZ —I cosX cosY cosX —I
(XI) A" = 4sinS8in(X-S)sin(Y-S)sin(Z-S),
oa
2S = X-+-YH-Z-7r.
237. Si nous faisons les mêmes substitutions dans les formules (Vin), nous aurons encore
( Xn ) A'= sin Y sinZ sinX » sinZ sinX sin fi = slnX sin Y sin v.
238. Raiiport du sinus d'un trièdre an sinus du trièdre supplémentaire. — Nous avons trouvé aux n** 235 et 237 que
A = sin fi sin V sin X, A'=rsinYsinZsln>,
d'où nous tirons, en divisant,
fA\ ^ — sinp sin y sinX
^ ' A' ~ sinY SinZ sinX '
Il est aisé de voir [fig, 7) que
CD = GG sinX ^ OC sin pi sinX = sin/x sinX ;
on verrait de même que
CD= sin X sin Y;
il vient donc
sinX sin Y = sin pi sin X,
^o8 LIVIR III. — CHAPITRE III.
d'où Ton tire
.^,.,. sinX sin ti sinv
^ ' siuX sinY sinZ
Ces égalités démon Irent que, flans tout trièdre, les sinus des faces sont entre eux comme les sinus des dièdres opposés.
En vertu des égalités (XIII), la relation (6) devient
ou (XIV)
A sinX sinX
sinX
à' sinX sinX
sinX
sinX sin |x
sinv
A' sinX sinï sinZ
Donc le sinus (Pun trièdre est au sinus du trièdre supplémentairr comme le sinus d'une face est au sinus du dièdre opposé.
239. Expression dn sinus du trièdre en valeur des trois angles dièdres. — Les deux égalités fournies par (XIV)
nous donnent
smY ' sidZ
sinpsinv ,.
sinYsinZ '
mais, en vertu de (VIII), nous avons
A smw siRv= -rr-^ ;
il vient donc, en substituant et en ayant égard à l'expression (XI).
4sinSsin(X-S)sin{Y-S)sin(Z-S)
