XV) A

sinX sin Y sinZ

LA DROITI BT LB PLÀH. SOg

240. Expressionr du siniu du trièdra supplémentaire en Talenr les trois faoes du trièdre donné. — Les égalités tirées de (XIV)

sin fA ' smv

lonnent aussi

^„ sinYsînZ.,

sin/Asinv ' it, comme en verta de (XII) on a

sinY sinZ = -r-r »

SIQÀ

i vient

smAsinfASinv

)o, en syant égard à Tégalité (3),

[Xyj) ^, 4 8in;>8in {p - \) sin(/y — f*) sinf;> — v) ^

' sinXsiofisinv

où Ton a posé a/? » X + fi + V.

24i. Rapport dn sinus d'nne faee an sinns dn dièdre opposé. —

Us égalités ( XVI) et (XV) nous donnent

A'sinX sioftsinv sin/?8in(^ — X)8in(^ — ft)8in(/?— v) ,

AsinX8inY8inZ""8inS8in(X-S)8in(Y-S)sin(Z-S)'

mais, en vertu de la formule (XIV), nous ayons

sin X sin fi sin V __ A^ , 8inXsinYsinZ"Â^»'

lonc i] vient, en substituant,

X\U\ ^* -™'^ 8in/g8in(;?— X)sin (/g — f*)8in(/?— v) ' A''"~sin*X~~sinSsin(X-S)8in(Y-S)8in(Z-S)'

241 Par les formules (VHI) et (XII), nous avons

A^ sin*f* 8in*v sin*X A'* sin*Y sin'Z 8in*X ^ A'"" sinYsinZsinX ' "Â ~" sinf* sinv sinX '

pis les égalités (XIII) nous donnent

sinX sinX

sinYsinZ sinfisinv' DofîOft. — Déierm. 1 4

AlO LITll III. — GHAPITIB III«

rabititoant dans Im rapports précédenta, on trouve que

(XVni) —, = sinXginfisinv = — = sinX siaTsinZ.

Donc : i*^ ie produit des sinus des trois faces d*un triêdre est égal aa carré du sinus du trièdre divisé par le sinus du triêdre supplémentaire; a* le produit des sinus des trois dièdres d'un trièdre est égal au carre du sinus du trièdre supplémentaire divisé par le sinus du, trièdre donné.

Voir y pour plus de détails , le Mémoire que nous ayons publié dans les Archives de Mathématiques et de Physique , t.LVIIy p. ii3, sous le titre: Le trièdre et le tétraèdre,' avec application des déterminants,

243. Inclinaison sur Tan des axes de coordonnées de la droite perpendiculaire an plan des deux antres axes. — Supposons que la droite OD du n" 231 soit perpendiculaire au plan des/jSy et proposons-nous de calculer son inclinaisons sur l'axe de x.

Il est évident que OD [fig. 8) est perpendiculaire a la fois

à l'axe des/* et à celui des s; par suite on acosp= o, cosy--^ La. relation (III) devient dans ce cas

cosa

COSV

COSfX

cosv

cosX

COSfX

cosX

Retranchant de la seconde ligne le produit de la premia

Uk DIOITB BT tB PLAN.

par cos a, on obtient l'égalité

I cosa o o

0 1 — cos*a cosv cos/x

0 cosv 0 cosfx

qui revient à

I cosX cosX I

I — cos* « cos V cos f* cosv I cosX

cos/x cosX I

I cosv COS/I cosv I cosX

COSfA cosX I *

cos'a cosv cosfA o 1 cosX

o cosX I

ou a

o=:A^~ cos'a

I cosX cos A 1 = A'— cos*asin*A;

= A' — cos*« (1 — cos'X)

celle-ci donne