AB'C'Y ^^ (A'B'CT')' ^■" (AB'C
2? Si les trois plans [5] se coupent suivant trois droites parallèles, les valeurs (Y) des coordonnées seront infinies, ce qui exige que l*on ait (AB'C') = o et que chacun des trois détemiinants (DB'C^), (AFC"), (AB'D") soit différent de zéro.
3** Si les trois plans (5) se coupent suivant deux droites parallèles, deux de ces plans, par exemple les deux derniers, seront parallèles; on aura dans ce cas
A"=mA', B"=mB', C'^mC
et jy différent de mh'. Le premier déterminant devient ainsi
mB'
mC
et se trouve naturellement nul, comme ayant deux lignes
lA DIOITB IT U PLAN. 219
îdeniiqaes (26), tandis que les trois autres se changent en
et sont nécessairement différents de zéro.
4^ Enfin, si les trois plans [5] se coupent sui\fant une seule et mime droite^ les valeurs des coordonnées du point d'intersection seront indéterminées et Ton a en même temps
{AB'C'] = o, (DB'C) = o, (AD'B") = o, (AB'D") = o.
Il est à remarqwr que deux quelconques de ces quatre relations entraînent forcément les deux autres.
Les réciproques de ces quatre cas sont vraies et s'établissent facilement.
§111. — Combinaison des équations générales qui représentent des plans donnés.
2S2. Relation identique entre les premiers membres des équations
de quatre plans et leurs déterminants. — Prenons les équations de
quatre plans /
( P =Ax -f-Bj -f- CzH-D =o,
F=A'x -hBy -+-C'2-4-D' = o, P"'- A''x-+-B"'^-HC"'z-hD'"=o.
Nous avons évidemment
ly A' B' C
puisque, pour passer du premier déterminant au second, il faut effisctuer trois permutations de deux colonnes consécutives, ce qui change le signe du déterminant sans en altérer la valeur. Dans le premier déterminant , nous pouvons ajouter à la première
aao
UTll UI. — GHAPITRS UU
colonne les trois suivantes, multipliées respectivement par x^jr et z\ nom obtenons ainsi Tégalité
Ax -hBj -+-C» -hD
A'* -hBy H-C'a -hD'
A'x -♦- BV -H C'a H- D" A" B" C*
A"xH-B'»r-hC'»«H-D" A" B* C"
Dr
ou
p«î ^iw g*»
Développons le premier membre suivant les éléments de la première colonne; nous transformons notre identité dans la#iivante :
Dans le second déterminant, nous pouvons amener la première ligne au troisième rang par deux permutations de deux lignes consécutives, ce qui n'altère ni la i^eur ni le signe du déterminant; dans le troisième déterminant, nous pouvons de môme amener la troisième ligne au prenûer rang par deux permutations de deux lignes consécutives. Notre identité (i) pourra donc s'écrire
V C If
ou, en faisant usage de la notation abrégée^
(H) PIA'B'C) -P'(A''B"C) -hP-CA^BC') -P*(AB'C)-^ (AB'CD*) =o. C'est la relation que nous voulions établir.
Uk DlOm BT LB PULII.
aai
253. Relation idoitlqne entre les premiers membres des équations de trois plans et leurs déterminants. — Dans la relation (I), que noos venons de tfouver, supposons que Téquation du quatrième plan P'"» o devienne x -*- ^ -*- a = o, de sorte que
A'^ = B*'=C"'=i et D*'=o;
la relation elle-même deviendra
— {x-hx-^ «)
ou bien, en ramenant ai premier rang les lignes à unités,
(in) {
= (xH-/-f-z)
