AT B* C

C'est la relation cherchée.

254. Théorème I. — Lorsque trois pians P = o, P'= o, F" = o ^^ eou' peni suivant une seule et même droite, on peut trouver pour X, V, \' des valeurs constantes et finies, de manière que Von ait identiquement

(IV) XP-hVFh-X"'P'=o.

En effet, si les trois plans se coupent suivant une même droite, les quatre déterminants (AB'C), (DB'C), (AiyC), (AB'D") sont nuls (251); par suite, dans la relation (m), le premier terme du second membre est nul; lesecond terme, dont le développement est (BC'IT) — (AC'D'')+(AB'D'), ou (DBXM-f- (AD'C) + (AB'D*), se réduit aussià zéro; donc la relation ( ni) devient

ABC

(VI

UTRB m. ~- GHAPITIB III.

ce qoi donne pour les constantes \ >', X' les valeurs finies ( > = B'C"- C'B" -h C'A* - A'C -+- A'B'- B'A',

( y= BC' - CB' H-CA' - AC -h AB'-BA'.

IS5. Condition ponr qne qnatre plans P = o, P'= o, P= o,P*= o se coupent en un seul et môme point. -- Les équations de ces qoatre plans (i) devront être vérifiées par un même système de valeurs pourks coordonnées x, jr, z; par suite ces équations seront compatibles; il faudra donc que leur déterminant soit nul. On obtient ainsi la relation de

condition

ABC

ou(AB'C''D"') = o. .

256. Théorème II. — Lorsque quatre plans F = o, ?*= o, P= o, F'= o passent par un seul et même point y on peut trouver pour \ X', >", V des valeurs constantes et finies, de manière que Von ait

(vn) >p-4-vp'-+-À'P'-t-rp*'=o.

En effet, si les quatre plans (i) se coupent en un seul et même point, le dernier terme de Tidentité (!) est nul en vertu de la condition du numéro précédent; on a donc entre P, P', P et P** la relation