DONNÉES

257. Équation du plan passant par trois points donnés. - Le plan

D -f- Ajc4- Bx-hCz = o

passera par les trois points M,(j:,, /„ a,), M,(x,, ^"m *«)»

tk raOITB Wi U FtAll. 923

Jâi[xt9 x%i z^^ si l'on a en même temps

D H- Kxx -f- Bj, -h Cz, = o, D -♦- Ax, -h Bj^,-h Cz,= o, D H- Ar, + B/, -hCz8=o.

Ces quatre équations sont homogènes par rapport aux coefflcients D> A, B, C; pour qu'elles soient compatibles» il faut et il suffit que leur déterminant soit nul (131), c'est-à-dire que Ton ait

I j:, y, Zt I x^ j, 2, I Xz Xt Zt

C'est l'éq nation du pian cherché.

Cette équation exprime aussi la condition nécessaire et suffisante» pour que les quatre points M [x, y, z), M. (ar,, j,, «,), Ma (jTi, 7„ «,), M.(j:s. T'a, ^s) soicut situés dans un même plan.

258. Équation du plan passant par deux droites parallèles. — Supposons que les deux parallèles, passant Tune par le point M, (x,, t*,, z.) et l'autre par le point M, (ar„ j„ js,), fassent avec les axes de coordonnées les angles a, p, y.

Si les axes sont rectangulaires, un second point M' de la première parallèle sera déterminé par les coordonnées

x'=Xi'h pcosa,

/==ri-<-pcosp,

z' = Zt -4-pcosy,

où p désigne la distance Mi M' des deux points Mi et M' de la première parallèle.

Le plan cherché, passant par les trois points Mi, Mi et M', sera représenté par l'équation (257)

IX y z

1 Xi Xt Zi

1 x,-f-pcosa ^i4-pcosp z,-f-pcosy

a!l4 UTll m. — CHAPITRE lU.

qu'on peut simplifier. Pour cela il suffit de retranclier la seconde ligne de la quatrième et de diviser par p la ligne résultante. On trouve ainsi

(II

JPI

o cosa cos^ cosy pour réquation du plan demandé.

259. Équation du plan passant par deux droites concoarantes. — Soient Xt, y.^ z. les coordonnées du point d'iDte^ section M« des deux droites; et a, p, y ; a^ ^', / les angles que font leurs directions avec les trois axes de coordonnées supposés rectangulaires. Les coordonnées .

Xo-hpcosac, jo-^pcos(3, «o + pcosy

seront celles d'un second point M de la première droite, éloigné du premier M« d'une longueur p, et

Xt-hp'cosa', 7o-+-p'cos^', -s.-hp'cos/

seront les coordonnées d'un second point M' de la deuxième droite, éloigné du premier M« d'une longueur p\

Le plan demandé, devant passer par les trois points H«, M et M', sera représenté par l'équation

IX y z

I jTflH-pcosa jo-hpcosp 2o4-pcosy

I JTo-i-p'COSa' JoH-p'COSP' ^oH-p'COS/

Retranchant la seconde ligne de chacune des deux suivantes et divisant par p et p' les deux lignes résultâmes, on

trouve

o cosa cos^

(III

cosy

o cosa' cos(î' cosy' pour l'équation du plan cherché.

LA DftOITB BT LB PLAlf.

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§ Y. — Droites et plans parallèles.

260. Condition pour que trois droites soient parallèles à on même plan. — Les trois droites