Distance d*an point à l'un des plans de coordonnées
— Le plan (i) se confondra avec le plan des /z, qui a pour
équation j: — o, si Ton a B = C = D = o. Dans ce cas, la for-
A't''A' Ax'
mule (3) se réduit à — ^—- — =A'sin'X et donne p = -r-^-
^ ' p* '^ smX
Les distances p, q^ r du point [jc\y ^ z') aux trois plans de coordonnées j? = o, / = o, z = o seront donc
' sinX ^ SI
A/ àz'
sin/x
sinv
Sl36 LITRB lU. — CHAPITRE III.
271. Équation de la droite dont tons les points sont à égale distance des trois plans de coordonnées. — Si les distances (III) sont égales entre elles» nous aurons entre les coordonnées du point (^'y/ fZ') les relations
sinX sinjx sinv^
ces équaiions représentent donc le lieu des points équidistants des trois plans x = o,x = oeiz = o; ce lieu est une ligne droite ayant pour équations
(IV
sinX siu/x sinv
On trouverait facilement que les trois droites qui ont leurs points également éloignés des trois faces des trièdres OX' TZ, OXY'Z, OXYZ' sont représentées par les équations respec-
tives
— sinX sin|x sinv
sinX — sin/x sinv
sinX sin/x —sinv
272. Angle de deux plans donnés par leurs équations ( * ) A^ -f- Bj 4- Ciî -f- D =: o, A'x -h Vy + C'^ -f- JD'= o.
.Soient p et p' les perpendiculaires abaissées de Torigine sur ces plans ; a, |3, y et a!, f^'y y' les inclinaisons de ces perpendiculaires sur les axes de coordonnées; hous avons évidem* ment
Ap « B» Cp
cosa = — g-> cosp= ^9 cosy = — j^>
(*) DosTOB, Archives de Mathématiques et de Physique^ 1875, t. LVII, p. a3i.
et
cosa'= —
Là droits bt lb plan.
ky ^, By
-^, cos(3'=--^, cos/
Si nous substituons ces valeurs dans la relation (XX) du n"* 24&» après avoir multiplié la première colonne par
et la première ligne par 79 cette relation deviendra
DI^cosô PP'
1 cosv COS/X
cosv I cosX
•cds/x cosX 1
et donnera
,^^ DD'A»cos0
A I cosv cosjLL B cosv I cosX
C cos/x cosX 1
en faisant par abrévation
AA' sin'X -t- (BC'4- CB') (cosficosv — cosX) BB' sin>-4- (CA'+ AC) (cosv cosi — cos/ui) ce sin»v +(AB' + BA')(cosXcosf*— cosv).
Mais, en vertu de la formule (II), nous avons
