LA DROITE ET LE PLAN

Les deux droites (i) el (?) se couperont, si l'on a rf— o, ce qui exige que ^=o. Nous retrouvons ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que les quatre plans (i) et (2) passent par un même point.

§ VIII. — Application de l'identité de Lagrange au calcul

DES distances DANS LA GÉOMÉTRIE DE l'eSPACE.

275. L'identité {i){a',-^b]-r-c])(al^bl-^cl)==A]-^B]-^C]-^{a,a,-^b,b,-.c,c,)\

où f

(2) A, = ^,c,— c,ô„ B,-=c,fl, — û,c„ C^=-•a^b^—b^a^,

que nous avons obtenue au n® li2, peut se vérifier directement. Elle a de nombreuses applications dans plusieurs branches des Mathématiques. Noos en ferons usage pour déterminer, en Géométrie analytique, les distances du point à la droite et au plan, ainsi que la plus courte distance de deux droites.

Cette application est fort ingénieuse ; elle est surtout remarquable par sa grande simplicité. Nous en devons la communication à Tobligeance de M. Hermite. Elle repose sur la solution des deux questions suivantes, que nous résoudrons, en nous conformant à la méthode indiquée par l'habile et profond analyste.

276. Problème I. — Déterminer la valeur de x qui rend minima la somme des trois carrés

(3) S^ ^- [ax -^ a'Y -^ [bx -^ b'Y-r- (ex -^ c')\

et calculer la valeur de ce minimum.

Dans ridentité (i) posons

a^ :- ax -^- a\

b^^bx-^ b\

Cj~ ex -\- c'.

Nous aurons, eu égard à (2),

A, = b^c^— c^b^:= b{cx-\- c') — c{bx~i- b') -= bc' -- cbr , D08TOB. — Dé ter m. iG

34^ ftTHB III. — CHAPITRE lll.

et, en général, en supprimant les indices dans À,, B^, C^ (4) A = bc'^cb', B = ca'—ac', C = aié'-ba\

Nous trouverons de môme que

a^ a^ H- ^, ^, -h c, r, = (a'h- b^ -+- à)x h- ao^-h bb'-h ce'.

Si nous substituons ces expressions dans notre identité (i), elle deviendra

(fl>H- ^'-T- c')S'= A^H- B'-H C'-+- [(«'-h A*-h c*)x -f- W-h W-h «7.

et donnera

A'^B'h-C» \(a' ^ b*-^ c')x -i- aa' ^ bb'-*- cc'Y

a^^b'-fc^ a^-r-b'

Ce développement de S' se compose de deux parties positives, Tuoe constante et l'autre variable; par suite S^ atteindra son minimum lorsque la partie variable se réduira à zéro.

Nous en concluons que la valeur

aa! -h bb' -*- rr'

(I) ^ = a Ai T"

^ ' or x-o^-^c*

rend minima la somme des trois carrés (3), et que la valeur de ce minimum est

, A' ^B'-i-C (bc'--cb'Y-^(ca'~ac'y^[nb'-'ba'r

(II) ^ - -r^^a^c»'- a^^b^-^c^

¥11. Problème II. — Déterminer les valeurs de x et jr qui rendent minima la somme des trois carrés

(5) S'-^ [ax 4- «'j'-H û*)'-h (bx -f- by -t- ^"j'-f- [ex -^ c'/'^c':'.

et calculer ce minimum.

Dans l'identité (1) nous poserons

a^ — b'c— cb'y a^^ axH- a'jr -h af^ b^ ~- ca'— ac\ b^ = bx -h b'y -h If, Cj -z ab' — ba\ c^~ ex -h c'y -»- c",

et nous conserverons les notations (4)- Nous aurons d'abord

= (A^H-B^» + Cc)x-i (Art'-HB^'-r-CO/H-Afl'H-B^'-^-Cc'.