LA DROITE BT LE PLAN. 2^Z

Or il est évident, par rinspection de (4)) que, dans le coefficient ka-hBb-^Cc de X, les expressions À, B, C sont les déterminants mineurs des éléments de la première ligne du déterminant

oar suite le coefficient de x est égal à ce déterminant et s'annule. On verrait de même que le coefficient Aû'h- BA'-h Ce' de/ se réduit aussi à zéro. Quant au troisième terme Aa'-i- B^'-f- Ce", il est facile de voir qu'il est égal au déterminant (a^'c"].

Nous pouvons donc écrire

Afl -I- Bô-f- Ce = o, A«'-+- B^'-h Cr = o,

Afl'-f.Bô''-+-Cc'' =

de sorte que l'égalité (6) revient à la suivante :

o, tf j -+- i, b^ -h c, c, = A.

C[bx^

k[CX -H

B(ax-r

On trouve ensuite que

^,c, — c,6, = B(cx-f-c'/-hc"j c, fl, — fl, c, = C [ax -I- a'x -^-a") • a,b,-b,a,-^k(bx-^by-^b'')

Si nous substituons ces valeurs et celle donnée par (9) dans l'identité (i), elle deviendra

'{ A'-+- B'-^ C') s" = A»-i- [A [bx -t- 6'jh- 6") - B(flx -f- /l'j -t- /i")]»

-t- [B(cxH- r'j-+- c") — C(^x -f- ^> .- ^"ip -i- {(^(ax-^b'x-^ a") — . A (ex -+- c> -+- c")]'.

Le second membre se compose de quatre carrés, dont le premier est constant et dont les trois derniers sont variables ; par suite, il atteindra son mininnun^ si les trois carrés variables s'annulent ; donc le minimum de 5' est

lUj

244 LIVfiB III. — CHAPITRE III.

et les valeurs de x et jr, qui fournissent ce minimum, sont données par les deux équations

ax -^ a Y-*-- «

bx -^ b'r -h b' ex -h c'y ^ r^ B ~ C ~

278. On obtient de suite la valeur commune A- de ces trois rapports, en multipliant les deux termes de ces fractions respectivement par A, fi, C, et en ajoutant les numérateurs ainsi que les dénominateurs. On trouve de la sorte, en tenant compte des égalités-{7) et (8), que

Nos égalités (lo) nous fournissent ainsi les trois équations

ax -+- a' y -h a" — As' = o, bx-t-by-hb" —^5^= o, ex -+- c'y -i~ c" -^Cs' ~ o,

desquelles il sera facile de tirer les valeurs de j: et y.

Pour avoir la valeur de x, nous multiplierons les équations (ii) respectivement par b'c" — e'b'', c'a^—a'c", a'b"—b'iï' et nous ajouterons: le coefGcient de x^ dans le résultat, sera (équation 8)

a(b'e'' — e'b'')-hb(e'a"-a'c'']-^■^c{a'b''-b'a'')--^^;

celui de j deviendra nul, pendant que le terme connu se réduira au produit de — s^ par

A[b'c''~c'b")-r-B(e'a"-ha'c'')^C{a'b''--b'a')^- \b b' b" --A.

Nous avons par suite ^x — j'A, = Ax — -r-z — =-,' — — , = o, d'où noui^

lirons

xz=— B b" b'

(IV

en observant que

A a a A'-i-B''hC=^A{bc'-eb')-^B{ca'-ae)-r^C(ab'--ba']^ B b b'

Là droits et lb plan.

On trouverait semblablement que

iV)