CHAPITRE IV
LE TÉTRAÈDRE
§ I. Propriétés du tétraèdre. — § II. Expressions diverses du volume du tétraèdre. — § m. Expressions diverses du rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre. — § IV. Rayon de la sphère inscrite dans le tétraèdre. - § V. Tétraèdre circonscriplible par les arêtes. — § VI. Tétraèdre équifaciil. — § VII. Tétraèdre à arêtes opposées rectangulaires.
§ I. — Propriétés du tétraèdre.
282. Notations. — Considérons le tétraèdre SABC [Jig. lo . Nous représenterons par o, i, c les trois arêtes SA, SB, SC issues du sommet S et par X, fz, v les inclinaisons mutuelles BSC, CSA, ASB de ces arêtes. En outre, nous désignerons par
>', /x', v' les inclinaisons des mêmes arêtes a, 4, c sur les faces opposées SBC, SCA, SAB du tétraèdre, et para', b'y c les trois autres arêtes BC, CA, AB respectivement opposées aux premières. Nous indiquerons d'ailleurs par a, p. y '^"^ angles que forment entre elles les arêtes opposées a et a\ b et i', c et c' et par S, A, B, C les faces triangulaires ABC,
LE TÊTIAÈDRE. 2l49
SBC, SCA^SABdu tétraèdre, qui sont respectivement opposées aux sommets qui portent les mêmes lettres. Si nous récapitulons ces notations, nous voyons que
laréte SA = a, SB = 6, SC = c ;
rareté BC = a\ Ck = b\ AB = r' ;
l'angle plan BSC == >, Tangle CSA =:= pi, l'angle ASB = v ;
l'angle (SA, SBC) = V, Tangle (SB, SCA) = ^', l'angle (SC, SAB) = v';
Tangle ( SA, BC ) = a, l'angle ( SB, CA ) =- ô, l'angle ( SC, AB ) = 7 ;
la face ABC ^ S, la face SBC = A, SCA = B, SAJ1= C.
Nous aurons toujours soin de désigner chaque angle dièdre du tétraèdre par la lettre qui représente Tarète d'intersection des deux faces du dièdre.
283. Théorème I. — Dans tout tétraèdre, le double produit de deux arêtes opposées par le cosinus de leur inclinaison mutuelle est égal à la somme des carrés de deux arêtes opposées, diminuée de la somme des carrés des arêtes opposées restantes (').
Projetons la ligne brisée CSAB {/Ig. 10) sur Tarête CE, nous obtenons l'égalité
es cosSCB -h SA cosa -1- AB cos ABC == BC,
ou
c cosSCB -A- a cosa -h c' cos ABC — a ,
nous en tirons
a cosa z::=a — c cosSCB — c' cos ABC,
et, en multipliant par 2a' ,
[i] 2aa'cosa = 2a"— 2ca' cosSCB— ne' a' cosABC.
Mais les deux triangles SBC, ABC donnent
i> =^ c' -^a"—iic a' cos SCB, 6'»— c''-r-a"'- 2 c'a' cos ABC
(' } DosTOB, Nouvelles Annales de Mathématiques ^ 2' série, 1867, t. VI, p. 45a — Archives de Mathématiques et de Ph/sique, iS^S, t. LVll, p. i38.
a5o LIVRE 111. — CHAPITRE IV.
eif par suite,
a"— 2c a' cosSCB — i» — c»,
a'"— 2c'a' cosABC== 6'»— c'».
Subsiituant ces valeurs dans TégaUté (i) el concluant par analogie, on obtient les trois relations
I2aa' cosa = é' h- i'' — c* — c'S afté'cosp r- c' -+- c'*— a^—à\ 2 rc' cosy -- a* + «" — 6' — 6'^
284'. Corollaire. — Ajoutons ces trois égalités membres à membres, nous en déduisons la relation
(11) aa' cosa -h bb' cos^ -h ce' cosy =^ o,
qui prouve que des trois angles a, ^, y /'un ai< moins est aigu et l'un au moins est obtus, et que, si deux de ces angles sont droits, le troisième l'est aussi.
285. Théorème II. — Dans tout tétraèdre, la projection d'une arttc sur l'arête opposée est égale à la différence des projections de deux cartes, adjacentes d'un même côté à ta première arête y sur la méax arête opposée.
Dans la relation
2 W cosa = b^-h h'^~ c^— c",
remplaçons V^ et c" par les valeurs
6"^ c^-H û^— 2cacosfA et c'*=«'-h6' — aaécosv, que fournissent les deux triangles SCA et SAB; elle devient
2/7a'cûsa — lab cosv — 2cacosfA.
On en tire, en divisant par ia^ puis par analogie,
I a' cosa — b cosv — c COSpt, A'COSP - CCOS^ — flCOSV, c'cosy = acosp. — b cosX
^6. Corollaire. — Multiplions ces trois égalités respectivement par cos>, cosfA, cosv et ajoutons les équations résultantes; nous obteooos la relation remarquable
(IV ) a' cosa cosX -H 6^'cosp cosfA -u c'cos7 cosv = o.
LB TÉTRAÈDRB. sSl
287. Théorème III. — Dans tout tétraèdre, chaque face est égale à la somme des produits qu'on obtient, en multipliant chacune des trois autres faces par le cosinus de son inclinaison sur la première face.
En effet, chaque face est égale à la somme des projections sur elle des trois autres faces; or les projections des trois faces A, B, C sur la face S sont respectivement
A cosa', B C08^\ C cosc' ;
on a donc
S = A cosfl'-+- B cos^' -f- C cosc'.
288. Relatioii entre les six angles dièdres d*nn tétraèdre. — D'après le théorème précédent, nous avons
— S -i- Acosfl'-^- Bcosô'-h Ccosc'= o,
S cos«'— A — B cosc -r- G cos^ - - o, (2) <
S cos^' -j- A cosc ~ B H- C cosfl =: o,
Scosc'-H Acosè -"-Bcosa — C = o.
Éliminant les trois faces .4, B, C entre ces quatre équations, nous obtenons la relation cherchée
[ — I cosa' cos^' cosc*
\ CIQ%€^ — I cosc COS^ ,
coso cosc — I cosa i j cosc' cos^ cosa — I
dont le développement est
sin*flCOs'a'H- 2(cos6 cosc — cosn) 00s b' cosc'
sin'6 cos'^'-H 2 [cosc cosa -t> cos^) cosc' cosa' ' VI) {
^ -♦- sin'c cosV -h 2(cosa cos^ -i- cosc) cosa' cosb'
= i — cos^a — cos'^ — cos'c — 2 cosa cos^ cosc.
289. Théorème IV. — Dans tout tétraèdre, le carré de cliaque face esi égal d la somme des carrés des trois autres faces, diminuée de Ut somme des doubles produits qiCon obtient en multipliant tleux quelconques de ces faces par le cosinus du dièdre compris.
Les quatre équations (2) peuvent se mettre sous la forme
S — A cosfl'-— B cos^'— C cosc'— o,
A — B cosc — C cos^— S cosa'— o.cos^'— o.cosc'= o, B — C cosfl — A cosc — o.cosa'— Scos^'— o.cosc'= o, C — - A cos^ — Bcosa — o.cosa'— o.cos^'— S cosc' = o;
