LIVRE III. — CHAPITRE IT

si nous éliminons les trois quantités — cosa\ — cos^', — cose' entre ces quatre équations, nous obtenons la relation

(vn)

s ABC

A — B cosc — C cos^ Soc

' B — Ccosû — Acosc o S o

C — Acos^ — Bcosrt o o S

qui, étant développée, revient à

(VIII) S' - A='-h B'^ C^- aBC cosa - aCA cos6 - aAB cosc.

290. Théorème V. — Dans, tout tétraèdre, les faces sont entre elles comme les sinus des suppléments des trièdres opposés (*).

Dans les équations fondamentales (2) nous pouvons considérer comme inconnus le dièdre a! et les deux faces non adjacentes B et C. Pour éliminer ces quantités entre les quatre équations (a), nous mettrons cellesci sous la forme

S -+- o H-A( — COSû') hcosè' (— B)"»-cosc';--C) -0,

o I- A -f- S(— cosfl') -+-COSC (— B) -f cos3 {— C) --0,

— Scos^'— Acosc -f-o(— cosû')— (— B) -+-cosûr (— C) =0,

— Scosc' — Acos^-i- o (— cosrt') -hcosa ( — B)— (— C) — o.

Comme elles sont compatibles, le déterminant par rapport aux trois inconnues — cosa', — B, — C est nul. Nous obtenons ainsi la relation

S-:-o A cos6' cosc' i

o -! A S cosc cos6

I — Scos^' — Acosc o —I cosû

I — Scosc' — Acos^ o cosa —I

qui, par la décomposition du premier membre en deux déterminants, peut s'écrire

-Scosi»' — Scosc'

A cos^' cosc' S cosc cos^

o — I COSfl

o COS« — I

— A COSC

— Acos^

A cos^' cosc' :

S cosc cosb

o — I COSfl

o cosa — I

Dans chacun de ces deux déterminants, nous pouvons intervertir les

(' ) DosTon, Archives de Mathématiques et de Physique^ iSy^Ji t. LVII, p. li'

LB TÉTRAÈDRE

deux premières colonnes, après avoir divisé la première colonne de l'un par S et de l'autre par A; il nous vient, en intervertissant aussi les deux premières lignes dans le premier déterminant résultant

cos<?

cos^

cosb'

cosc'

cos^'

COSÔ'

cos^' cosa

cosc

cosb cosa

cosc'

cosa

cosb

cosa

Développons suivant les éléments de la première colonne chacun de ces deux déterminants que nous représenterons par âs^ ^a; nous aurons

SAs =

AAa= A

— I cosb' cosc' — S' CiOsb' — I cosa cosc' cosa — I

— I cosc cos^ cosc — T cosa cosb cosa — ï

o cosc cos^

<- S.A cosb' —I cosa

cosc' cosa — I

o cosb' cosc' S. A cosc —I cosa cosb cosa ~ I

Or le facteur de — S. A ne diffère de celui de h- S, A que par le changement des lignes en colonnes et des colonnes en lignes ; par suite ils sont égaux. On a donc Tégalité

— I cos^' cosc' cosb' — I cosa cosc' cosa — I

— I cosc cosb cosc — I cosa cosb cosa — I

Mais le coefficient de S' est le carré du sinus du supplément du trièdre

en A (236), sinus que nous pouvons représenter par sin(A'); de môme

le coefficient de — A' est le carré du supplément du trièdre en S; par

suite il vient

S»8in'(A')-A»sin*(S')=o;

donc on a

^ sin(S') sin(A') sin(B') sin(C')'

291. Somme des carrés des quatre faces en yalenr des produits des arêtes opposées et des sinus des angles compris entre ces arêtes ('). — Par le sommet C (fig. 1 1) menons le plan CG'A' perpen-

(*) DosTOR, Archives de Mathématiques et de Physique^ 187^, t. LVU, p. i43.