AP 005 MAP -J
l'attraction de MM' est égale à celle de l'arc élémentaire PP' supposé de même densité que la droite dounée. L'attraction totale est dirigée suivant la bissectrice de l'angle HAH'= 2 a et égale à
2 I — cosô^ô= — î—sma.
Si la droite était de longueur infinie, son attraction serait dirigée suivant AP et égale à -^-^ • Cherchons la position d'équilibre d'un point M dans le
IIO KEGITEIL D EXBKGICES
plan d'un triangle ABC dont les cotes sont homogènes et attirent suivant la loi de Newton. Soient a», a^, ayles angles BMC, CM A, AMB^ Pt^t^ 1^» distances de M aux
c6tés; Tattraction du côté BC est de la forme -sîna, et
fait avec l'attraction de CA Tangle a H- (3 ^ écrivons que chaque force est proportionnelle au sinus de l'angle des
deux autres :
sina sinp siny
/?sui(p-4-7) 5'sin(7-+-a) rsin(a4-p) comme a -h j3 -|- y = tt, on aura
73. Une droite rigide a ses extrémités A, B engagées dans des colliers fixes qui empêchent tout mou^emeni] un point C attire chacune des parties de la droite suivant la loi newtonienne; déterminer le point ou la barre tend à se rompre. (Université de Cambridge^ i854-)
Soient H le point demandé, CO = c la perpendiculaire de C sur AB ^ x Tabscisse d'un point de la droite à partir de O-, a, — i, A les abscisses de A, B, H 5 P, Q les composantes normales des réactions qui sjexerccnt en A et B. La somme des moments de P, Q et des attractions par rapport au point H est nulle •, mais, si Ton considéré seulement les forces qui agissent sur la partie HA, ce sont elles qui tendent à rompre la droite en H, et cela avec une énergie proportionnelle à la somme de leurs moments. Cette somme est évidemment de la forme
SUB LÀ MÉCAiriQUE RATIOHN ELLE . III
Si Ton suppose que H coïncide avec B ou si l'on fait hz=z — 6, S doit être nul , parce qu'il comprendra les moments de toutes les forces qui agissent sur AB :
Tirons P, et nous aurons pour la valeur générale de S
f* r / T- c' -+- aA a — h f ,- c* — «6 \ 1
H faut avoir la valeur de h qui rend S maximum; on égale à zéro -^ et Ton trouve, en réduisant.
h ^a»-|-c>— v/6* H- c» CA — CB
h^ a-i- b AB
cosCIlO = -. — ri —- •
sm^(A-f-B)
Le point H est entre les pieds de la médiane et de la bissectrice menées du sommet G dans le triangle ABC; en effet leurs distances au point O sont respectivement
„^ csinj(A — B) csinfA — B) i,^ ^.
ccotCHO— ^!J ^ — . \ . Jj ctang-(A — B),
V^sinA sinB asinAsinB ''2'
et la première expression est comprise entre les deux autres.
74. Attraction d*un ellipsoïde homogène sur un point intérieur, l'attraction étant inversement proportionnelle à la quatrième puissance de la distance.
Soient x^jr^ z les coordonnées du point attiré A, et
l'équation de rellipsoïde. Posons
^«=*-h iicosO, ^,=74- ttsinOcosi|<, 2 = Zi + if sinOsin^»;
lia RECUEIL D EXERCICES
on peut écrire, pour les points à la surface de l'ellipsoïde,
* /jccosô rsin6cos4> zcosôsinMi
La composante de Tattractlon suivant OX est
X=fA I d^ j dB I — sm0cos9;
0 ne variant que de zéro à -9 on doit, pour cliaque valeur de
0 et de v{/, faire varier u depuis zéro jusqu'à la racine positive u' de l'équation (i), et l'on retranclie le résultat obtenu en faisant varier u de zéro à la racine négative u" prise positivement. Pour éviter l'infini qui répondrait à m = o, on intégrera entre une valeur très-petite t et u' ou — u"\ on retire ainsi de l'ellipsoïde une sphère, évidemment sans action, ayant A pour centre et e pour rayon, et cette sphère peut être tout entière dans l'ellipsoïde quand A est intérieur \ l'intégrale relative à u sera
on a la somme des racines de l'équation (i), et, en substituant, il vient
/or» J> z« \
Y et Z s'obtiennent par analogie. C'est Lejeune-Dirichlet qui a remarqué la possibilité d'exprimer en quantités finies l'attraction d'un ellipsoïde sur un point intérieur quand l'attraction est réciproque à une puissance 2 m de la distance, /n ^ I . L'attraction sur un point de la surface est Infinie, et, pour les points extérieurs, on la déduit du point intérieur à l'aide du théorème d'Ivory, généralisé par Poisson.
Calcul à l'aide du potentiel.
7d. On sait que les trois compbsantes de l'attraction exercée sur un point sont les dérivées d'une même intégrale, qu'on appelIeyb/zcfzo/{ potentielle, tant que du moins le point ne fait pas partie de la masse attirante. Soient F (a) une fonction dont la dérivée f{u) exprime la loi d'attraction, et U = — SSS^[ " ) dm \ on démontre qu'on a
dx djr dz
Si, par le point attiré, on mène un arc infiniment petit ds^ dont les projections soient dx^ dy^ dzy la composante de Tattraction suivant la direction ds sera
dV dx dV dy dV dz dV ^
dx ds dj ds dz ds ds
le dernier quotient n'est pas une dérivée partielle, mais le rapport à ds de la dilTérentielle de U répondant à ce déplacement du point X, j^, z.
Les surfaces sur lesquelles U est constant sont dites surfaces de nweau; l'attraction en un de leurs points leur est normale.
76. Calculer l'action d'un anneau sur un autre situé dans le plan et à l'intérieur du premier et passant par
D» S.-G. — Rec. 8
Il4 RECUEIL d'exercices
son centre; l'attraction est en raison inuerse du cube de la distance. (Waltok.)
Soient O et A les deux centres, R et a les rayons, e, e'ies densités, M un élément de Tanneau attiré, 6 l'angle MOA, en sorte que la masse de M soit aae'rfOj je pose
OM = aa cosô = /-,
et je cherche la fonction potentielle de l'anneau attirant^ ici F(m) = îi-- donc
U=uLaKgs'dBl = — i- .
L'attraction est dirigée suivant OM, et sa valeur — se
calcule sans difficulté, car U varie seulement avec r. Faisant la somme de toutes ces attractions multipliées respectivement par cosfl, on a pour leur résultante, dirigée suivant OA,
TT
Jo (R'— 4a'cos'e*)' mais
TT
'de
R»- 4a» cos^Ô 2R V^R»— 4a»
11 suffit de diflTérentier cette équation par rapport à 4 a*, considéré comme im simple paramètre, pour avoir l'intégrale qui figure dans F :
