Un point est en équilibre au centre d'un octaèdre

SUH LA HÉGABIQUE HATIONITELLE. I i5

régulier dont les six sommets, de masses égales, l'attirent proportionnellement à la puissance n de la distance; dé^ terminer les valeurs de n pour lesquelles l'équilibre est stable. (Licence, i864-)

J'écarte légèrement le point A de sa position d'équilibre, et je cHerche si la force à laquelle il est soumis tend à le rapprocher du centre O. Soient a:, y^ z les coordonnées très-petites du point A, a la distance de l'origme à un des

sommets 5 ici F (u ) = — - — 1/"+' , et, si l'on pose 71 -H 1 = 2/7,

— ^U = (a* — 2aar-h r»)/»4- (a^-4- 2ûar-i- r^)P

On développe chacun des termes par la formule du binôme, en abrégeant les calculs par symétrie, et l'on trouve, en rapprochant les termes du même ordre de grandeur.

Les composantes de la force «jui sollicite A se trouvent par une simple dérivation; on a, par exemple,

rfU r r'

X=— =-^f.a:aV-^^p + n- (jt, j) (4^ 5)-

Si 2/? -h I > o ou 71^ — 2, X est de signe contraire à or, de même Y à j^, Z à z, et le mobile est ramené vers l'origine^ si 72 <[ — 2, le mobile est tiré dans le sens opposé à l'origine, et l'équilibre est instable^ pour 2/7 = — i,

ii6 REcmsiL d'exercices

n = — 2, ou la loi newtonienne, le premier terme disparait, et il faut avoir recours aux suivants :

cette expression pouvant être positive 5 le point s'éloigne de plus en plus dans certains cas, équilibre instable.