LIVRE III. — CHAPITRE IV

diculaire à Tarête SA ; par le sommet B tirons les droites BB', BÂ', Fane perpendiculaire et Tautre parallèle à la même arête SA ; puis menons la droite CA' qui sera perpendiculaire à BA'.

Dans le triangle A'CC nous avons

A'C- CC'H- A'C"- aCC'.A'C'.cosCC'A';

or

A'C - BC sinCBA' -= û'sina,

ce ::^CSsinCSC':=csinpi,

A'C - BB' = BS sinBSA =- b sinv,

cosCC'A':;^ cosa;

par su! le nous obtenons

fl'*sin*a^ c*sin'fA-+- t^sin'v — acsînpi.ésinv.cosoy et, en multipliant par à^,

d^a^ sin'a — c^a^ siri'f* -r- tj^b^ sin*v — ica %\xi\i.,ah sinv.oosr:.

Mais

casin/i — 2By tfi&sinv = aG;

donc il vient

(X) rt^fl'^sin'a-^ 4B»-+-4C^-8BCcos«.

Nous aurions de même

(XI) «Vsin'a = 4A»H- 4S'- SAScosa'.

Nous trouvons ainsi les valeurs des dièdres a et d^

cos« = -

^B»-h4C* — a»r7"sin»a

(XH) <' ^^^.

, 4A-H-4S-— /iV/^sîn'a COS.- ^

LE TÉTRAÈDRE

Ajoutons les trois égalités

4B'-f- 4C'— SBC cosfl = d'a'^ sin*a, 4C'H-4A'-8CAcos6=6*A'*sin'p, 4 A» -h 4B»— 8 ABcosc = c^ c" sin^y

membres à membres et avec l'égalité (Vm du n"" 2^)

4S*= 4A'-4- 4B>-î- 4C'— SBC cosû — SCA cos6 — SAB cosr, Dous obtenons la relation remarquable (XIU) 4(A'-^ B»-4- C^-4- S») = /i*fl'»sin'a -^ ^^^'^sin'P -+- e^c'^sin^y.

§ II. — Expressions diverse^ du volume du tétraèdre.

292. Volume dn tétraèdre en Yaleur de trois arêtes contiguês, de l'angle de deux de ces arêtes et de rinclinaison de la troisième arête sur le plan des deux premières. ^ Du sommet C {Jig, 12) abaissons sur le plan de la face opposée

SAB la perpendiculaire CD. Le volume du tétraèdre sera