LIVRE 111. — CHAPITRE IV
il vient donc, en substituant,
(I) V:=^ûr6c?sinvsinv'.
En désignant par A le sinus du trièdre en S, nous avons trouvé (233) que
sin V sinv'=::^ à=-.^i — cos'A - cos^fx — cos'v -r- 2 cosX cosacosv;
par conséquent nous avons
i\ = ±abc.à
(II)
( =-^abc^i — cos*X — cos'/x — cos'vH- acosÀcos/xcosy.
Ainsi, le volume du tétraèdre est égal au sixième du produit de trois arêtes contiguês^ multiplié par le sinus du trièdre formé par ces trois arêtes.
293. Expression en déterminant du Tolume du tétraèdre en valeur de trois arêtes contignês a, b, c et des ÎBclinaisons mntaeOes ly P,^ de ces arêtes. — Dans l'égalité 36V'=3a'6'c'A', remplaçons a' par son expression (VI) en déterminant du n** 232; nous avons
I COSv COSp COSV I cosX COSfA cosX I
Multiplions respectivement par a, 6, c d'abord les trois lignes, puis les trois colonnes; le déterminant sera multiplié par le produit a,b,cxa,b.c = a*b^c^; par suite, si nous divisons hors barres par t/b'c\ la valeur du second membre de Tégalité précédente ne sera pas altérée. et il viendra encore
a^ ab cosy cacosfi
36 V'- a^cosv b^ bc cos\
cacosii bc cos\ c*
(in)
294. Expression développée du rolnme du tétraèdre en raleor des six arêtes a et a\ b et b'^ c et c', opposées deux à deux. — Dus
le déterminant précédent (III) multiplions les trois lignes par a, puis mettons-y les valeurs
a^cosX = ô'-+-c'— a'',
(i) l n ca cos li. = c^-^a^—b'-y
%ab cosy — a' -h b^ — c'',
LE TtTRAÈORB. 267
que fournissent les trois triangles SBC, SCA, SAB; ce déterminant devient
ih^
Ift^c'-^a"
Si nous développons le second membre par la règle de Sarrus (52), Dous obtenons
et, en effectuant,
295. Expression en déterminant du Yolume du tétraèdre en valeur des six arêtes a et a', b et b\ c et c\ opposées deux à deux. — Dans le déterminant (III) changeons les signes des trois lignes, puis remplaçons le déterminant résultant par un déterminant équivalent du cinquième ordre; nous pouvons écrire
— lab cosv
— 2C^ïC0SfA
— ^ab oosv
— ibccosy^
— 2cr£icosfA
— 26cC0SX
— 2a&C0Sv
— 2CflC0Sf*
— 2a6cosv
— 2 6cC08>
~2CflC0SfX
— 26cC0SX
Dans le premier déterminant on a interverti Tordre des deux premières colonnes.
Si, dans ce dernier déterminant, nous substituons les valeurs (i),nous
DotTOE. — Diterm, 17
a58 obtiendrons
LITRB III. — GHAPITRB IT.
o c- ir'» — r* — û* d^^b^—c" -2c' Ajoutons d'abord la seconde ligne à chacune des trois suivanteSi il vient
Si actuellement nous ajoutons la seconde colonne à chacune des Irob suivantes, nous trouverons l'expression demandée
fl'»
296. Surface de la base d'nn tétraèdre en Yalenr dea trois arêtes latérales et de leurs inclinaisons mutnelles. — Les trois côtés de U face.ABCl^^'. M ) étant BC = «', CA= b\ AB = c',
la surface S de ce triangle est donnée par la formule (204)
-fl'^
LS TÉTRAÈDBB. ttSg
OÙ le second déterminant a été déduit du premier, en y multipKant par — I d'abord la première ligne, puis les trois dernières colonnes résultantes.
Dans le dernier déterminant, remplaçons a'^ ^% c*^ par leors Taleua tirées des- égalités (i) du n*" 294 ; nous aurons
I o a^ècosv — rt' — b^ 2caco3fi — c* — a*
I ^abcosv—a^—b* o %bccoB'k — b^—c^
I aracosfi — c* — a* a^cosX — b^ — c' o
Multiplions la première ligne successivement par a', 6', c*, et ajoutons les résultats respectivement aux trois autres lignes; il nous vient
i û' aa&cosv — b' acflCOSfA — c*
I aû^cosv— a' b* abc cos\ — c*
I acûcosfx — «' aèccosX — ^' c'
Multiplions maintenant la première colonne successivement par a', ^, c' et ajoutons le résultat aux trois dernières colonnes; nous trouvons que
I ao* ^ab cosv ^cacosu
I aa^cosv ^b* 2bc C03V
1 2cacosfA 2bc cosy< 2C'
Multiplions enfin par 2 la première ligne, puis divisons par 2 les trois dernières lignes résultantes; le déterminant sera divisé plkr 2' : 2 = 4- Kous obtenons ainsi l'expression demandée
VI
cacosp bc cos'k
a* ab cosv
I ab cosv b^
I racosfi bccos'k
bnt le développement est
4S'= ^Vsin'X -+- 2û'^(co8fACOSv — cosX) -+-c*«^sin*fH-2fc'cfl(cosv cosX — cosft] -+- fl*A'8in*v -h^kc^ab (cosà cosp— cosv).
Nous avons donné cette expression (YI) dans les Archipes de Mathémiques et de Physique ^ iS7^> ^* ^VII, p. i53.
26o LIYRB III. — CHAPITRE lY.
297. Surface du triangle déterminé par rintenection d'un plan (2) Ax-+-B/-hC«-f-D = o
avec les trois plans de coordonnées. ^ Prenons le sommet S poar origine des coordonnées et les trois arêtes latérales SÂ,SB,SC pour axes des a:,jr^z; nous aurons
Gela étant, dans le déterminant (VI), divisons d'abord les tiX)is dernières lignes, puis les trois dernières colonnes respectivement para,&,r; nous aurons divisé le déterminant (VI) par le produit a^b^à^ de sorte qu'il nous viendra
T COSv
COSv COSfA
I cos>
- cos^ cosX I
Si nous multiplions la première ligne et la première colonne par - D.| que nous divisions hors barres par D', et que dans le résultat nous renn
placions , — tj par leurs équivalents A, B, C tirés de \y\
nous trouverons Texpression
D* A I B COSV
(VU
COSV COSfi
I cos^
G cos^ cosX 1
pour le quadruple carré de In surface du triangle que déterminent /fl trois plans de coordonnées sur le plan (2).
297 bis. Expression en déterminant de la surface dt triangle, en valeur des coordonnées dans Tespace de ses troij sommets ('). — i** Supposons d'abord que le sommet A i\ triangle ABC soit situé à l'origine des coordonnées et soieoj
(*) D06TOI, archives de Mathématiques et de Physique^ 1B75, CLVUI, p. '^
LE TÉTRAkDRB.
^it/11 2i; x^i yt, JSsles coordonnées des deux autres sommeis B et C. Si nous désignons par S la surface du triangle, et par & et c les côtés ÀC et AB qui sont opposés aux sommets B ei C, il nous viendra de suite
4S'= é^c'sin'A = i'6»— 6«c» cos'A,
ou
Il I
iccosA !
I 6(?cosA
Représentons par ai» ^1, y, et as, p>, y^ les inclinaisons des deux côtés AB et AC sur les axes de coordonnées, supposés reciangulairesy nous aurons
JT, = ccosa,, j^, = ccos(3,, ^, r^ccosy,, a:a==6cosa„ ^a=6cos(3„ ^1— fccosy,:
et, comme
cosA =:cos a, cos ai -f- cos(3, cos(3,H- cosy, cosy^.
il vient, en multipliant par bcy puis en substituant,
fccCOSA =zX,Xi-^ jriXtH- Zx 3».
On sait d'ailleurs que
donc on obtient, en mettant ces valeurs dans l'égalité (4)*
Xx x^ -h j, ji -f- z, -2, x\ -^y\ -h «;
II n*est pas inatile de remarquer (112) que ce déterminant est la somme des carrés des trois déterminants qui sont compris dans le déterminant multiple
et qui expriment les doubles projections de la surface du triangle ABC! sur les trois plans de coordonnées.
2"* Transportons actuellement l'origine des coordonnées en
LTTHB III. — CHAPITM lY.
un point quelconque de l'espace dont les coordonnées sont — jT, — j, — js; et soient J?', 7', z'; x"^ y'^ «" lesnouYelles coordonnées des deux sommets B et C; les coordonnées du point A par rapport à la nouvelle origine sont jr, /, z. Cela fait, nous avons
x,z=ix'—x^ yx=y—y\ z.^zz' — z, x,= x'''-'X, y^=f-'y, zt=z''--z\
d'où nous tirons
^î + rî -<- ^î = ( ^' - ^)' -H {/ - r )' + ( 3' - « )*
+ rî + '2Î =
a:,Jr,-+-7,7,H-Z,Zr
Si nous posons
^' -H/^-f-z* =/, X* X** '\'fy^ '^z'z''-=^f, «" +7'* + -8'* = 'W, a:*' a: -4- J^*'^ 4- z" z = 7, ^"'-+-y-h2;'''=:n, xx' -i-y/ -^zz* =r,
nous aurons
La substitution de ces valeurs dans la formule (5) nous
donne
o /-hm — 2r l-h p^ q — r
o l-h p— q — r /-hn — 2g
U TÊTRAfeDRB. ^63
OU, en ajoutant la première ligne aux deux suivantes :
l-hn— q
Dans ce dernier déterminant, multiplions I9 seconde colonne par — ly puis ajoutons la somme des deux premières colonnes à chacune des deux suivantes; il nous vient
Si nous remplaçons ici /, m, n et p^ q^ r par leurs expressions (6), nous obtiendrons enfln pour 4S' la valeur cherchée
I ^c' + j^H-z' XX* -h jr/ -^ zz' xx" -\- yy -^ zz" I xx'-^yy I xx^-^yy
zz' x"" -+-/'-+- 2" x' x" -^y f -\-z' z"* zz" x' x" ^y' f ^z* z" x*"^ -^ y^ -h z''*
Il est facile de vérifier que ce déterminant est le produit (lli) des deux déterminants multiples
!298. Yolnme du tétraèdre en valeur de denz arêtes opposées et de leur plus conrta distance. — Par les extrémités B et G de l'arête BC, menons les droites BB', CG' parallèles et égales à Taréte opposée SA;
264 UYKE nu — CHAPITHI lY.
tirons les droites SB', SC' et B'C (Jlg. i5). Nous formons ainsi k prisnif triangulaire SABCG'B'.
Fig. 14.
La distance de l'arête SA au plan BCC'B' sera égale à la plus courte distance d des deux arôtes opposées SA et BG.
Nous avons lé tétraèdre SABC = iSABCC'B'; or le prisme triaogolaire SABCCF est la moitié du parallélépipède qui a BGG'B' pour base et d pour hauteur; et, comme le parallélogramme
BGG'B'= Bfi'.BG.sinB'BG = aa' sina,
on a
vol.SABCG'B' = ifftf'fiina.i/;
donc
(IX) vol.SABC ou y=id.ûa'8\na.
Ainsi ie volume d'un tétraèdre s'obtient aussi en midtipliant le demproduit de deux arêtes opposées par le sinus de r angle compris et par le tiers de la plus courte distance de ces mêmes arêtes*
299. Relation entre les plus courtes distances d, d\ d' des arêtes opposées a et a\ b et b\ c et c* et les angles x, p, 7 compris antre ces arêtes. — La formule (IX) nous donne
daa'sMiOL = d*bb' sinp = d'cc' siii'^;
divisant par ces trois quantités égales les trois termes respectifs de l'égalité (U) du n» ^4
tfa'cosa -+- bb* cosp -f- fc'cosy = o, nous obtenons la relation
,^. cota col 6 C0I7
300. Dans la formule (IX) mettons à la place de otf'anasa valeur
Urée de la première des relations (I) du n"" 283 ; elle devient, par Télé- \^tion au carré,
i44V'= £r[4fl V- ( ^'-h b"- c'^ c'»)'],
et donne
(XI) V = — /{2fla'-+- 6»HhT*— c' — c'^) (aflfl'H- c^-i- c'^— 6^— b'^).
301. Yoliime du tétraèdre en ralenr de trois faces et du sinns du supplément du triàdre comprU. ~ L'expression (H) du n"* 292 peut sécrire
A* \'' = Tïfl'ô'c*A'=TÎr.^csinX.c<i8ina.ûèsinv. :
or on sait que
6rsinX = 2A, rasinfA = 2B, tf68inv = 2C;
d'ailleurs, en vertu de la formule (7) du n''240, on a
sinÀsinpisiny '
donc il vient
