XII) V'=;A.B.C.A

Donc le carré du volume du tétraèdre est égal aux \ du produit de trois faces multiplié par le sinus du supplément du trièdre compris.

302. Yolnme du tétraèdre en valenr de deux faces et du dièdre compris. — Dans la fig, 12 (p. 255), menons SDE perpendiculaire sur Tarôte AB et tirons CE. Nous avons

V = iSAB.CD = iSAB.tE sinc'= ^SAB. ^^^ sine';

or le produit AB.CE est égal à la double face ABC que nous avons représentée par 2 S, de même que la face SAB a été désignée par C ; il vient par conséquent

(Xin) V=iS.C.?~î=AS.C.sinc':-.

Ainsi le volume d'un tétraèdre est égal au tiers du produit de deux faces, multiplié par le sinus du dièdre compris et divisé par la moitié de V arête de ce dièdre (G. Dostor, Nouvelles Annales de Mathématiques, 2* série, 1867, t. VI, p. 4i3).

^66 LIYRB III. — CHAPITBB IV.

303. Rapport des produits des arêtes opposées. ^ La formule précédente donne

= S.C.sinc',

et de même

3Vc ....

= A. B. sine;

on en tire, en multipliant,

■— — = S.A.B.Csincsinc'.

Or nous avons vu au n* 300 que

par conséquent on a la face

% 'smcsmc On en déduit

/1CÎV\ ^^ ^ ^' ^^

A' h\iïa)»\nct sin^sin^' sincsmc'

Donc, dans tout tétraèdre les produits des arêtes opposées sont enirr eux comme lesprodidts des sinus des dièdres qui émergent de ces arêtes.

304. Volume du tétraèdre en valeur d'une face et de ses inclinaisons sur les trois autres faces. — L'expression (Xm) permet d'écrire

d*où Ton tire les équations

/ Yv\ Asing' Bsin^' C sine'

qui, étant combinées entre. elles et avec Téquation évidente

Acosfl'-HBco8A'-hCcosc'= s,

donnent d'abord

-j A^'sin^ ^ Ar'sina'

puis

LB TtTRAftDBB.

a'cot^'H- 6'col6'-hc'cotc' sina'

Mettant cette valeur de A dans Texpression Y = |S. A.sina', on trouve