Du potentiel proprement dit
Quand l'attraction est réciproque au carré de la distance, la fonction U devient le potentiel proprement dit
Une couche sphérique homogène étant sans action sur un point intérieur, son potentiel est constant à l'intérieur, et, en se plaçant au centre, on trouve que ce potentiel est 4îrRe<iR, R étant le rayon, rfR l'épaisseur, e la densité. A l'extérieur, il dépend de la distance r au centre, et est
' Pour un point qui fait partie d'une sphère homogène de rayon a, le potentiel est
Quand le point attiré fait partie de la masse attirante, on
dV ^ . ,
a toujours — = X , La démonstration , très - simple
pour un corps homogène, est délicate quand la densité varie. Voici, un peu abrégée, celle qu'a donnée M. Bouquet : soient A {Jîg. 6) le point attiré. A' un point à une distance très-petite, a, de A sur une parallèle à OX^ V, V les po-
SUH LÀ MÉCANIQUE EATIONNELLE. II7
tentiels relatifs à A, A'; on cherche lim • Imaginons
une très-petite sphère dont le centre est A : son attraction
sur A est négligeable ^ la partie de qui se rapporte au
reste de la masse attirante est très-voisine de X, et il suffit
Fig. 6.
de prouver que la partie qui se rapporte au petit volume
considéré, — ^ \ est négligeable. Définissons la position
d'un point quelconque par ses distances r, r' à Aj A\ et l'angle ^ que fait le plan mené par AA' et ce point avec un plan fixe. On peut décomposer un de ces plans azimutaux en parallélogrammes MM', dont les côtés répondent aux valeurs r, /• -+- dr^ r', r'-f- rfr'; l'aire de cet élément est
drdr^ rr'drdr' ... j a A/ -i
-r-^- = — — , et, quand il tourne autour de AA, il
«mM a X MP ' ^ '
donne un élément de volume - rr'drdr'dà. Donc
V, — V, = - r C Ct{r^r')drdr'd^<iinit j jdrdr\
Si étant la densité maximum dans la sphère, et /' — r <^a. L'intégrale double est
j dr l dr'-^ I d, \ rf/'=.aflR-«'.
f|8 KECUEIL d'eXERCIGE6
Donc — î î <^ aTrRci est négligeable quand R est trèspetit.
Il me semble possible de rendre satisfaisante la méthode qui conduit de ce résultat à l'égalité
„ <f'V rf'V d'W ,
Soient toujours x^ y^ z le point attiré, .Ti, y^^ z^ un point de la masse attirante, non homogène ; en faisant
j:, rtiarH- «cosô, /"in: j^ -f- a sinô cos\[», Z| = z -h il sinô sini(>, on aura
' I I f sin0cos9^u^0<Ap, o J o «/ o
A, V est toujours égal à — — h -i — ^T'^ ^^* intégrales précédentes dépendent de x^y^ z, à cause de i et de Ui à la surface, lequel varie avec x^ y^ z pour chaque valeur de 9 et ^. Les limites de 0 et de ip ne dépendant pas de x^y^ 2, on peut difTérentier, sous le sigaeffddd^^
à^\=ffsinBdBd^
XlcosO— / fi£^tf + sin9cos>p^ f «rfu-h---]*
Soient So? ^i 1^ densité pour u = o et u := Ui ^ la parenthèse peut se développer :
I du [cosQ-- — h smO cos* - — H sm 0 sm>p -— ) ■4- f, ( cosô ^ — h smO cosip 3 — H • • • ) ;
SVH LÀ MÉCiNIQOE EATlOVirHLLE. I I9
mais, SI
f=:F{x„^„ Zi) =Y{x -huco&Byy -^usmBcos^,, . ),
on a
di dF A d¥
dx liar, djr df,
de dF dY
— - = C5os0 -z h sinO cos^' -; h • • • ;
du ax, djTf
le coefficient de du^ sous le signe f^ est par conséquent égal
à -r-' et rintégrale à «i — «o- Pour former le coefficient de f «
du ^
dans la partie tout intégrée, écrivons l'équation de la surface
î(jPi,^i, 3i) = f (xH- tfiCosO, ^ H- «I sinOcos^p. . .) = o.
On a, par la règle de^ fonctions implicites,
^ ?'t t^l~ Tr»
dx cosOf^ H- sin 9 cos>|içy^ -H . . . <(r c^s ^?xj -+-...'
il en résulte, en substituant, que le coefficient de £i est — I , et il reste
79. Composer les attractions exercées par un anneau home gène A sur un anneau très -petit B ayant même centre, et dont le plan fait ai^ec celui du grand l'angle a.
Il est facile de voir, par des raisons de symétrie, que les forces appliquées aux divers points du petit anneau se réduisent à un couple dont l'axe est l'intersection des deux plans. Prenons pour axe des x la partie de cette droite qui est dirigée vers le nœud ascendant, Taxe des j^ étant dans le plan du grand anneau. Soient x, y^ z les coordonnées d un élément dm de B, r le rayon de B, t la densité de A ;
lao RECUEIL d'exercices
son potentiel par rapport à dm est
Jq \/R' — 2R(j:cosç+^sinç)-h/*
= ^'Kt^dm I I H 7— h • • • j 1
it\iitdm TvyLgdm 0'K\udm
Si dm ^=r€'d(fi^ on trouve, pour le moment du couple cherché,
L = 2(rZ — «T)=— 3-i- — ^5
= 7/*M/?i--sinacosa.
Le plan de B est sollicité de manier^ à se rapprocher de celui de A.
80. Déterminer le potentiel d'une musse sphérique indéfinie, la densité étant e"'" à la distance r du centre.
V est fonction de r seul, en sorte que
dY
dx
dY dr X dY
dr dx r dr
d'Y f\ ,T'\dY x^ Ibr} ^ \r '"r*) 'dr '^ 7^
dx^ ^ dr' ^ dz'
2 dY d'Y ,
r dr dr' ^
On multiplie par r*, et le premier membre devient la dé-
dY rivée de r* — > qui doit être nul pour /• = o :
dr
Telle est la valeur de l'attraction dirigée vers le centre.
SUR LA MÉCANIQtrE RATIONNELLE. 121
Intégrons encore
pour r =: 6, on a directement
on en conclut que c est nul, et Ton a le potentiel pour un point quelconque.
Ed supposant l'attraction newtonienney calculer l'attraction de l*aire comprise entre la lemniscate r=za ^cos 2 0 et le cercle de rayon
a sin^, sur le point double de la lemniscate : fx ( L cot - ^ — cosf j '
Attraction d'une lame rectangulaire sur un point quelconque.
Déterminer la forme d'un solide de masse donnée, de manière qu'il exerce sur un point une attraction maximum. La composante de l'action d'une molécule dm de la surface estimée suivant une direction fixe doit être constante, quelle que soit la position de dm.
Relation entre les potentiels d'une couche sphérique sur un point extérieur et intérieur.
CINÉMATIQUE.
