MOUVEMENT D'UN POINT MATÉRIEL

Vitesse et accélération.

Je me bornerai à quelques remarques sur la vitesse et raccélération. Un mouvement qui ne peut être défini par des formules analytiques connues peut être utilement représenté par certaines courbes : prenons des abscisses X = at^ des ordonnées j- = cs^s étant le cbemin parcouru an temps t, a la longueur qui représente Tunité de temps, de rapport par lequel sont multipliés les espaces, on a la combe représentative des espaces; la vitesse est égale à

~— ; i accélération tanfi:entielle -r-- = ttî or -r-r est

l'inverse du paramètre de la parabole osculatrice à la courbe figurative et dont Taxe est parallèle à OY. Dans le procédé de M. Morin pour étudier la cbute des corps, la courbe est elle-même une parabole, a = R&), c = i, et l'accélération

est .

L'accélération totale y est égale au carré de la vitesse

divisé par la demi-corde qu'elle-même intercepte dans le

cercle osculateur de la trajectoire.

On sait qu'elle est dirigée dans le plan osculateur et que

sa projection sur la normale principale est - ; soit i l'angle de y avec la normale, on a

rr-7C0S^, y =^ • C. Q. F. D.

p pcos/

Considérons la parabole décrite par un projectile dont h vitesse horizontale est a-, la vitesse à un moment quelconque est .f puisque son angle avec l'horizontale est

égal à celui de la normale et de l'accélération, toujours verticale : la corde interceptée dans le cercle osculateur en chaque point par la direction de la pesanteur, c'est-à-dire

par le diaïhètre correspondant, est donc —• Au sommet

cette corde est 2» = — : donc elle est, en sénéral, — -?

quatre fois la distance du foyer au point d'où elle part : le centre de courbure en un point d'une parabole se projette sur le diamètre correspondant à une distance double de la distance focale. (Maclaurin.)

Dans le mouvement d'un point libre, la force qui agit et l'accélération dépendent si simplement l'une de l'autre^que la plupart des questions se rattachent aussi bien à la Dynamique qu'à la Cinématique. Je traiterai ici les problèmes où l'on étudie un mouvement connu a priori, et je renverrai à la Dynamique la recherche du mouvement produit par une force donnée, ou, ce qui est la même chose, répondant à une accélération connue. Rappelons les formules qui donnent les composantes de la vitesse et de Taecélération en coordonnées polaires.

Soient, dans le plan, r le rayon vecteur, 6 son angle avec l'axe polaire-, les projections de la vitesse sur le rayon vecteur et sur une perpendiculaire sont ~ et r-r-\ on les

SUH LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. I!l5

appelle vitesses de glissement et de circulation : leur résultante est la vitesse. Les projections de raccélération to* taie sont, sur le rayon vecteur,

Ir-

sur la perpendiculaire,

I d [ ^d^\ '^^^7dt\-dty

Dans l'espace, appelons r le rayon vecteur, fl son angle avec une droite fixe OZ, ip Tangle du plan méridien mené par OZ et le point avec un plan méridien fixe, et projetons : 1° sur le rayon vecteur \ 2** sur la normale extérieure au cône droit d'angle B\ 3° sur la perpendiculaire élevée au plan méndien du côté où ^ augmente ; nous aurons, pour les projections de la vitesse,

dr d^ . d^

pour les projections de l'accélération,

d^r d^ . ^dli"

' dt^ dt* dt^

' r de\ dt) dt^

' 7smd dt\ dt]

Ces projections ont pour résultante soit la vitesse, soit l'accélération.

82. Etant donnés {fig> 7) deux axes rectangulaires, ^ point M situé d'abord sur l'axe des x se meut de telle iorte que son ordonnée et V angle de son rayon vecteur

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KEGUEIL D EXERCICES

sur OIÇ. croissent proportionnellement au temps, et que le mobile vienne sur OY à la distance a de l'origine; trouver la trajectoire, la ^vitesse en chaque point, V accéléraJÙon et le rayon de courbure.

L'équation de la trajectoire en coordonnées polaires

s'obtient immédiatement; l'angle décrit par le rayon vec teur étant - quand l'ordonnée est a, on a

aa

d'où r=

fTsinO

C'est la quadratrice de Dinostrate : le rayon vecteur est ii bord — 9 et il croit jusqu'à devenir infini pour d = ir; il

a une asymptote (j^= 2a), puis une branche allant i cette asymptote à l'asymptote j^ = 4^9 et ainsi de suite. Soit (ù la vitesse angulaire du rayon vecteur : la proje tion de la vitesse de M sur une perpendiculaire à ce raj( est gdOM; sa projection sur OY est

dy 7,a d9 ^

-r = — -3- = «OB.

dt ?r dt

SUR LA MÉGÀKIQUE RATIOITNELLB. laj

On n'a pas ainsi deux composantes de la vitesse^ mais si, en M, on élève une perpendiculaire sur OM égale à a)OM, une parallèle à OY égale à eit>06, et si, aux extrémités de ces droites, on leur mène des perpendiculaires, celles-ci se coupent en un point Y tel que MY = i/ ^ la figure ainsi formée a ses lignes perpendiculaire^ et proportionnelles à celles du quadrilatère OMCB^ il en résulte que la vitesse en M est perpendiculaire à OC, et égale à uOC, ce qui donne la tangente à la quadratrice.

L'accélération est parallèle à l'axe des a: ^ or a: = — 0 cot 9 :

donc

y=z—-=^*^ -r-~(Ocote — l) = — -T-rr ( x).

Conmie M CH est le complément de 0, on voit aisément

que

smO \ ir / sm'ô \ n J