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AA'A"-h 2BB'B"— AB^— A'B'^— A'B*^',

LIS l>ISGftIMIlfANT8« Sig

3"^ Soit donnée la fonction homogène du second degré à quatre variables

f(a:,r, z, /) = Ax^-h A'y^-h A'js'-4- aB^z -^^Wzx-h 7.^"xy

-+- iÇ^xi -4- aC'// -4- %ÇJ'z r -4- Dr».

Égalons à zéro les demi-dérivées de cette fonction prises successivement par rapport aux quatre variables x^ y, z, t; nous formerons les quatre équations

J;/^ = B^or -h A> -f- B z-4-Cr = o, 1/; =B' ^ -4- B j-f- A-'z 4- C^/ = o, |/; = C x-^C'x-^CU-hD i = o,

dont le résultant est le déterminant

(IV

c'est le discriminant demandé.

Ce discriminant, que nous représenterons par (D4, joue un grand rôle dans l'analyse des surfaces du second degré; il se développe suivant le polynôme

i (D, = D(AA'A'-f-2BB'B''-AB'-A'B"-A''B"»)

4-0(B»— A'A'')-f-C'»(B'»~A"A)-hC''»(B"'-AA') ( H-2C'C''(AB-B'B'')-H2C"C(A'B'~B'B)-4-2CC'(A''B''-BB'

361. Discriminaiit de la fonction homogène dn troisième degré à deux Tariahles .

(5) f(x,y) = ax''^3bjcy-+-3cxy-h(fy'^.

De cette égalité nous tirons les quatre équations homogènes (146)

^xf = ax^-h ^bx^jr-^ cxy"^ =0,

ir/x = ^^^y -^ ^bxf-^ cf = o,

ir/; =

ÔX'/-H 2C J^H- dy^z=^ o,

3io

LITKB lY. -> GHAPITtB !•

entre les quatre inconnued a?*, as^y^ xy*^ y^. Éliminant ces variableB, on obtient le discriminant

(VI

o a nb c

ù ne d o

= (ad- bcY- 4(^»- ac) (c'- bd).

362. Ditcriminaiit de la fonction homogine dn quatrième degré à deux Tariables

/{•^j7) = ax*-h ibx^x-hùcx^y-h ida^-i- ey*.

Egalons encore à zéro les dérivées de cette fonction prises par rapport ^ x eiy] nous formons les deux équations

ax^-i- 3bx^y-h Scx^h- dy*= o, bx^-h Zcx^y-h 3r/xj<^-H cy^= o.

Multiplions-les successivement par x% xy,y; nous en tirons les sis équations

ax^-h ^bx^y-h^cx^y-h dx*y =0,

ax^y-h^bx/^y^-hScx^y-^ dxy =0,

ax^y^-h 3bx*y-+' 3cxy*-hdy^= o,

6 Jc* -H 3^ x*y ■+■ ^da^y •+■ c j^y* = o,

bx^y-hZcx^y^-h^dx'y^-h exy* =0,

b x^y* -H 3c x^y^ -h Zdxy* -h <?/* = o,

entre les six inconnues :c*, ar*j, jc*/*, x*y^ xy*^ y*. L'élimination de cses variables nous fournit le discriminant

(VII

[(a<f-46rf^3c')>

1 H- 2y{ace -+- ibcd— ad*— eb^ — r*) '

LB8 DISCRIMINANTS. 321

§ II. — Application des discriminants aux courbes