DU SECOND DEGRÉ

363. Condition pour que Téquation générale du second degré à deux variables

(i) fi^yy) = A:c-H-2Bar/-4-C/'-+-2Dr -f-2Ej-f-F = 0

représente deux droites qui se coupent. — Dans ce cas, le centre est nécessairement situé sur ia courbe (i). Soient donc a, b, c les coordonnées homogènes de ce centre et

(2) /(x,j, «) = Aj?*-f-2B^-hCj'-*-h2D:p« -f-2Ez-f-F^'=o réquatîon homogène de la courbe. On a (200)

et, comme les coordonnées a, b, c doivent satisfaire à cette équation, il vient

Mais on sait que les coordonnées du centre annulent les déri vées /^ et ^ , de sorte que /^ = o et /J = o ; par suite on a aussiy^ = o.

IL.es coordonnées a, ft, c du centre satisfont donc simultanément aux trois équations'

1/; = Ax -h B/ -h Dz = o,

iy; = Bar-f.Cy-+-E2==o,

|/;=DjF-f-E/-4-Fz=:0,

qui, pour être compatibles, exigent que leur déterminant soit nul. On trouve ainsi la relation de condition

^^^^^TCîi' — Déterm, 91

LITBB lY* ^ GHJlPITRB I.

Boric ( 360, 2? j : Pour que l'équation du second degré à deux variables représente deux droites concourantes, il faut et il suffit que le discriminant de son premier membre, rendu homogène, soit égal à zéro.

36b. Condition pour qne l'équation générale du second degré (i) représente deux droites paraUèles (*). — L'équation (i) représentera deux droites parallèles à la droite

a o si toute tangente

est parallèle à cette droite» c'est-à-dire si l'équation (3) af^,^bf^.= o

est vériflée, quelles que soient les coordonnées x', y du point de contact.

Or l'équation précédente (3) revient à

{Aa + B6)a7'+(Ba-4-C6)/ + Da4-E* = o;

et, pour que celle-c) soit satisfaite par les coordonnées de tout point de la courbe (i), il faut et il suffit que l'on ait à la fois

Aa-f-Bft = o, Ba4-C6 = o, Da + Eft = o.

Ces trois équations ne sauraient être satisfaites par les mêmes valeurs des paramètres a et b, que si l'on a les trois relations

C) Quoique cette question soit indépendante des discriminants, elle trCMiT«> ici ta place, à la suite de l'équation de deux droites concourantes.

LES D»GftIVl£fÀlfT8. 3^3

qui reviennent à

(iri) B'-AC = o, BD-AE = o, BE-CD = o.

Chacune de ces trois égalités est une conséquence des deux autres. Elles peuvent s'écrire

IV) :^ = ? = 5

Les équations des deux parallèles seront (Vj Aa: H- B/ H- D =±: yT)*— a AF.