Condition pour que rintersection des deux droites
(9) aj7-f- 6j-4- C3 = 0, a'x-+-6'j4-c'-5 =0,
appartienne à la conique (2). — Admettons que les deux droites (9) se coupent sur la conique (2) au point [x^y^z].
Les droites qui passent par rintersection des deux droites [9 sont représentées par l'équation générale
fl^ H- 6^4- C2 + V{a! X -f- 6'/ -4- c* z] = 0, ou
(10) {a-ha'V)x-\'{b-{-b''k]r-h{c-h'k'c')z=zo.
Or Tune de ces droites est tangente à la conique (2) au point d*intersectîon même des deux droites (9). Si l'équation (10, représente celte tangente, on devra avoir les égalités de condition
Jx Jjr Jz
a -h a'W "~ ft -h b'V "" c -h c'V
U8 BISCtlMINiLlfTS. 3^7
Les coordonnées x^ yy z du point (9) et les deux indéterminées X et XX' devront donc satisfaire aux cinq équations
0.X-+-0 .XX' H- a x-hftjH-c «=o, o.X-ho .XX'-ha'j; + 6'j + c'« = o, a.X -+- a'.XX'H- A « 4- B^ -f- Dz = o, *.X -4- ft' .XX' H- B a: -H C ;r •+- Ez = o, C.X-+-C' .XX'-f-Djc-4-Ej-f-Fz = o,
dont les deux premières expriment que le point d'intersection [xyjTj z) appartient aux deux droites (g).
Pour que ces cinq équations, linéaires et homogènes par rapport aux cinq inconnues X, XX', x, j, z, soient vériGées par les mêmes valeurs de ces inconnues, il faut et il suffit que leur déterminant soit nul. La condition cherchée est donc
(IX
Il est facile de voir que le premier membre de cette relation est le discriminant de la fonction
aX(a^+67-hcz)-haX'(a'x-Hi'7H-c'2) -f-/(jr, y-, «),
pris par rapport aux cinq variables x^ 7, z, X et X'. Par conséquent:
Pour que Vinlersection de deux droites soit située sur une conique, il faut et il suffit que Von trouve zéro pour le discri^ minant de la fonction que l'on obtient, en ajoutant, au premier membre de l'équation homogène de la conique, les doubles produits respectifs des premiers membres des équations homogènes des deux droites par deux nouvelles variables.
Ainsi l'intersection des deux droites
LIYRB lY. — CHAPITRE I.
appartient à la conique
5jc*-f-4^/-+- J^— ajT— i5 = o;
car on a
tt
369. Ëquation des tangentes menées, d'un point extérieur, à la courbe du second degré (2). — Soient jt., Ji, Zi les coordonnées homogènes du point donné P, et x, j, z celles d'un point quelconque M de Tune des deux tangentes menées de ce point P à la conique (2]. L'équation de cette tangente sera
\—x\ Y — ri Z— Zt
T — T\ Z — Zy
X, Yy Z étant les coordonnées courantes de cette droite.
Désignons par x' y y* ^ z' les coordonnées du point de contact C de la tangente (1 ij; on a évidemment (193)
ar' =
\Xx
TTT'
Xr.
i-4-).Zi
OÙ X est une indéterminée, dont la valeur dépend de la position du point M sur la tangente (ii).
Puisque le point C appartient à la conique (2), nous avons
ou» en ayant égard aux valeurs (12}, X -+- \xy y -^ X^i 5 4- Xa,
LES ]>18CBtllllfAlTT8. 829
Or on sait que (200)
=/(x, j, z) -h Xxlf, H-ri^/^-h X^./[ -H X7'(j:.,7-„ ^,);
par suite, puisque x,f^-^y,f^-\-z,f^ = xf^^-^yf^^-\^zf^^, nous avons, pour déterminer la valeur de X, l'équation du second degré
Mais la droite (12] étant tangente, X ne peut avoir qu'une seule et même valeur; il s'ensuit que les deux racines de l'équation précédente sont égales, ce qui nous fournit la relation
ou
