Condition pour qne le plan (i) ax -hbjr-^cz -\-dt = o

soit tangent à la surface du second degré

\f{x, x,Zyt] = kx^-¥ Ay + A"z»-4- îiBjz -4- iWzx 4- ^Vxy

Soient x\ f y z', V les coordonnées homogènes du point de contact. L'équation homogène du plan tangent sera

elle sera identique avec l'équation (i) du plan donné» si Ton a f^.= iaky f^.^ibly /^. = 2c>, f^.=iidl,

\ désignant une inc^éterminée.

Nous avons ainsi entre les cinq inconnues x\ y y z\ t' et X les cinq équations homogènes

— o.X-ha x'-^b y -\-c z' -{-d t' = o,

— «.X4-Aa:'+By4-B'7'-+-C /' = o, ~-6.X-hB"^'-hAy4-Bz'-4-C'/' = o,

— c.X + B'x' -h B r' -4- AV4- C''/' = o, -rf.X-hC a:'-^Cy-f-CV + D/' = o.

(^) G. DoSTORi jérchives de MathémtUiques et de Phjrsique^ 1876, t. LVII^ p. 198.

LITEE lY. — CHàPITEB 1.

dont la première exprime que le point de contact («r',y , 2'» i\ appartient au plan tangent (i). Pour que ces équations soient compatibles, il faut et il suffit que leur déterminant soit nul. On trouve ainsi la condition demandée

Il est aisé de voir que le premier membre de cette égaillé est le discriminant de la fonction

f{x,jr, z, t) -+- 2X(a^ -h ft^-f-cz H- dl)

des cinq variables x^y, z, t et A. Par conséquent ;

Pour qu'un plan ( 1 ] soit tangent à une surface du second degré (2), il faut et il suffit qu'on trouve zéro pour le discriminant de la fonction que Von obtient, en ajoutant au premier membre de l'équation de la surface le double produit du premier membre de l'équation du plan par une nouvelle variable,