Condition pour qne la droite

(3) ax -h by-h cz -^dtzzzo, a'x-^b'jr-hcz -4-ûf'/ = o

soit tangente à la surface du second degré (2] (*). — Les plans conduits par l'intersection des deux plans (3) sont représentés par réqualion générale

(4) [a-ha''k')x'h[b'hb''k')r'\'{c-¥'C'V)z-h(d'^d'ï!]t=o.

Or l'un de ces plans est tangent à la surface (2) au poini de contact [x^y, z, t) de la droite (3). Si l'équation (4) représente ce plan, on devra avoir les égalités de condition

Jje Jy J z J t

H- a' A' ~ 6 -h b'V ~" c-4- c'X' ~ rf -h d'i:

C*) G. D08TOB, loc, oit,, p. 300.

LB8 B18CEIH1NAMT8. 333

Les coordonnées du point de contact x^j-y z, / et les deux indéterminées X et X' devront donc satisfaire aux équations

o . X + o . XX' -h ax -^ by -\- cz -h dt = o, 0.X-+-0 .XX' -^o'x 4- 6y-h f'2 + d't = Oy a.X-ha'.XX -+-Ax-f- B'7-f-B'z4-C/ =o, 6.x -f- é'.XX' + B^x-h k'r ^- B^ 4- C7 = o, c.X -f- c'.XX' H- Wx + B/ -+- A'^-s + C'/^: o, rf.X 4- rf'.XX' + C:r + C'7 -H C"^ + D/ == o,

dont les deux premières expriment que le point de contact appartient aux deux plans (3) et par suite à leur droite d'intersection.

Pour que ces six équations, linéaires et homogènes par rapport aux inconnues X, XX'y Xy y-y z, ty soient vérifiées par les mêmes valeurs de ces inconnues, il faut et il suffit que leur déterminant soit nul. La condition cherchée est donc

373. Équation générale des surfaces du second degré qui tonchent les trois axes de coordonnées (')• ^ Les équations de l'axe des x étant j^ = o, z = o, nous obtenons la condition pour que Taxe des x soit tangent à la surface (2), en faisant, dans la relatioti (II),

a=o, 6 = 1, c=o, d^=Oy a' = 0, b' = o, c' = I , d'=z o.

Hais cette condition se détermine plus rapidement en faisant^ =z=o dans réquatlon (2] de la surface, et en exprimant que les deux racines de Téquation résultante en x

Àjf'-i- nCx -4- D = o

(*} G. Do*TOR, loe. eit.j p. 30i

334 LIVRB lY. — GHAPITBB I.

sont égales. Donc Taxe des x est tangent à la surface (2], siC»-AD = o.

De même les deux autres axes de coordonnées sont tangents à la surface du second degré pour C'*— A'D = o, C'»— A"D = o.

Supposons que la surface (2) soit à la fois tangente aux trois axes de coordonnées. Multiplions l'équation (2) par D et dans le résultat remplaçons AD, A'D, A'^D respectivement par C% C'% C"*. L'équation de la surface sera, pour / = i,

0^'+ C'»/«4- C^z^H- 2BD/Z -h i^'\SzX'^7:^'''Qxy

-^2CDx-h2C'D^-4-2C''Dz-^D»=o, ou

{Cx-f-CyH-C"z + D)»-h2(BD-CC")7z

-H 2 (B' D - C"G) zx-^^ (B'^D - CC) xj=o.

Ainsi, en représentant par — P, — Q, — R les coeflicienis de/z, zxy xjr^ on voit que

(UI) [Cx + Cy -+- CTz 4- D)» = P/js -4- Qzir -4- Ra:/-

est Y équation générale des surfaces du second degrés qui touchent à la fois les trois axes de coordonnées.

Si Ton désigne par a, b, c les distances à l'origine des trois points de contact, cette équation prend la forme

/ifrx (x r ^ \' rz zx xr

où /?*, q*, r' sont les quotients de D' par P, Q, R,

Considérons le tétraèdre ayant pour sommet l'origine et pour arêtes latérales les longueurs 2a, 26,2(7, dirigées suivant les axes. La surface (IV) touchera ces arêtes en leurs milieux et coupera les arêtes opposées aux points respectifs

■^ c V ca a ^^ y ca

z=o, f=i±y/.-i:, r=,:py/;r^.

LES OISCRIMINAlfTS. 335

Elle touchera ces arêtes, et forcément aussi en leurs milieux, si l'on a

p^ = 6c, q* =zca, r* = ab.

Donc la surface du second degré

(V) (f + r^f,y=IÎH.îf

^ ' \a b c I oc ca

^ab

touche en leurs milieux les six arêtes du tétraèdre OABC, dont les arêtes latérales OA, OB, OC, issues de V origine et dirigées suivant les axes de coordonnées ^ sont respectivement 2a, a b, ne; de plus la surface a son centre situé au centre de gravité du tétraèdre.