Condition pour que Fintersection I des trois plans

If =:ax -h by -h cz -h dt = o, P'= a!x -t- b\r 4- c' ^ -h rf'/ = o, V^zzz a^x -H by 4- e^'z -f- rf^/ = o

appartienne à la surface du second degré (2). — Les plans qui passent par l'intersection I des trois plans P = o, P' = 0, P''=o, sont représentés par l'équation générale

Or l'un de ces plans est tangent à la surface (2) au point d'in* tersection même I des trois plans (5}. Si l'équation (3) représente ce plan, on doit avoir *

c -1- c'X' -h c"X" d + rf'X'4-d"X"

= -aX,

Les coordonnées x,y, z, t du point I et les trois indétermi-

336 LITRI IV. — CHAPITRE I.

nées 1, }f, Y devront donc satisraire aux sept équations

o.>-+- 0. XX'+o. XX"+ ax -{- by -hcz -h rf/ =o, o.X -H o. W-h G. XX'' 4- a'x -h Vy-\-dz -hd't = o, o.X-t-o. XX' 4- o. XX"4-a''x-i-fc"j-f-c^^4-rf'/=o, a.X 4- a^XX'-hrt^XX"-^ Ax 4-B'y4- B'2-h C/ = o, 6.x 4- ft'.XX' -f- 6".XX"+ B'^x -h A'; + Bz + CV = o, cl -h c',XX'-+- c".XX"4- B'ar 4- Bj -i-A'^is + C/^ o, d.X + rf'.XX+d".XX"-4-Cx -^Cy-hC'z-{'Bl=o,

dont les deux premiers expriment que le point d'intersection I (x^j'fZ, t) appartient aux trois plans (5).

Pour que ces sept équations, linéaires et homogènes par rapport aux sept inconnues X, XX', XX", x, ^, ^, /, soient vériflées par les mêmes valeurs de ces Inconnues, il faut et il suffit que leur déterminant soit nul. La condition cherchée est donc

(VI

Il est aisé de voir que le premier membre de cette relation est le discriminant de la fonction

2XP -f- aX'P' -+- 2X"P" -4-/(ar,r, z, i) = o,

pris par rapport aux sept variables X, X\ X'^, jr,^, z, /. Par conséquent, pour que l* intersection de trois plans soit située sur une surface du second degrés il faut et il suffit que l'on trouve zéro pour le discriminant de la fonction que l'on obtient en ajoutant au premier membre de l'équation homogène de la surface les doubles produits respectifs des premiers membres des équations homogènes des trois plans par trois nouvelles variables*

LES DISGRIMIlfANTS.

On verrait ainsi que rintersection des trois plans

appartient à la surface

6x^ — y — 2Z*-r- 2.yz -f-6a:j^-t- ix — 4/ — 22=0,

§ IV. — Les cônes circonscrits aux surfaces du second