III) A

B' B A-' C" "■^' C CCD

Donc 9 pour que l'équation du second degrés à trois varia-bleSy représente un cône, il faut et il suffit que le discriminant de son premier membre ^ rendu homogène, soit égal à zéro.

377. Équation du cône issu du point P (^i, ji, i^i, /i), qui est circonscrit à la surface du second degré ( 3 ] ( ■ ). -— Désignons par scjjr, z, t les coordonnées d'un point quelconque H d'une génératrice du cône» et par x',y,z',t* celles du point de contact C de cette génératrice avec la surface (3). Nous avons évidemment (193)

. x-^lx, j r-+-iri , z-\-\zx . /-f-i/,

dont l'indéterminée X dépend de la position du point M sur la génératrice CM.

Le point de contact C appartenant à la surface (a), nous avons r,^f(^' ^ .' t^\^f(^-^'^^^ y-^'^^r* z-hlz, t-hltA

o^/(^ ,/,^ ,0-/(^— ^Y' TTT ' T^nr' TTTJ

Développant le second membre, on obtient, pour déterminer Ti, l'équation

l^es deux racines de cette équation devant être égales, on trouve

(IV) (^y;-4-ry;.-h-5/:+/X)'--4A^^r'^»0/(^«>r«.'»t,/.)=o

pour l'équation du cône demandé.

(* ) O. DosTOR, loe, cit., p. 3oa.

34o * LIVRB lY- — CHAPITRE I.

378. Équation du cône circonscrit à la surface du second degré (3), et qui touche cette surface suivant son intersection avec le plan

(5) px -r qx-^ rz -\- Stz=:o[^).

Soient xt,/i, z., /. les coordonnées du sommet P du cône; le plan polaire du point P sera

Ce plan sera identique avec (5), si l'on a

Multiplions ces quatre équations par les coordonnées respectives â?i»/i, Zxy /| et ajoutons; nous obtenons l'égalité

ou \ ~ nlipx^ -h qXi -r- rZx -^ «/,;,

qui, jointe aux équations (6), fournit le système des cinq équations

—fi^tpXii Ziy /,) -f- 'kpxt -^IqXi -+- Xrz, ^- Istt r^ o, ~X/?-f-A a:, -hB"/, -+ B'^, -t-C/, = o,

— Xg -h B" a:, H- A' jr. -f- B ^, H- Ct, = o,

— X r -+- B' Xi H- B j, 4- A'z, -f- C/, = o,

— Xi-f-C :r, -h €'^,-1-^-51-+- D/, = o,

entre les quatre inconnues Xt, x, Zi, /> au premier degré- Éliminant ces inconnues, on trouve la relation

/(^i,ri, ^1, <i) y^p ^ Xr Is [

Ip A* B*' B' C I

Iq B" A' B C =0,

Xr B' B A'' C

X* C CCD

(') G. DosTOR, loc. cû., p. aoa.

LES DISGRIHDVAirrS.

qui donne

OÙ. A représente le discriminant (V) de la fonction (4) du n° 296.

Des relations (6) on tire aussi

(8) ^/:. ^-r/; -h zf^^ -h //J^zz. 2X(p:p + qr H- riî -4- st].

Il suffira maintenant de substituer les valeurs (7] et (8) dans l'équation (IV), pour avoir l'équation demandée du cône circonscrit dont le sommet est le pôle du plan (5). Cette équation est

— [px -\- qy -\- rz + st )'

3^7. LITRB lY. — CHâPITRB II.