CHAPITRE n

LES INVARIANTS,

S 1. Les transformations linéaires. — § II. Les invariants.

§ I. — Les transformations linéaires.

379. On appelle transformation linéaire d'une fonction homogène de n variables jt, jr, Zy ., . \e résultat qu'on obtient en remplaçant, dans la fonction, ces n variables par des fonctions linéaires de nouvelles -variables x\ y\ z', . . ., c'est-àdire en y faisant

X = Xi x' -h \ixy^ -;- Vi 2' -+•... , y = l^x' -4- iijf -4- v,z' -i- . . . ,

380. Exemple. — Dans la fonction homogène du- second degré à deux variables

(i) /(^»r) ~ Ax»H- ^Bxy-^Cj^,

faisons

(2) X -r X, x' -f- ^,/, y^zl.x'-h fity ;

elle devient

-4- 2B(X,:t?' -i- fji,/) [hx' -f- /ut,/) -4- C(X,j:' 4- fJt,/A

LES INVABIANTS. 343

OU, en effecluant et en ordonnant par rapport à x\

-î- 2 ( AX, fx, H- B X, /Xï -h B Xî |x, -f- ex, fx, ) j:' y -î-(Afx|-4-2B|ui.|ui,-+-Cfxîy».

Cette fonction transformée peut se mettre sous la forme

(3) (p(^',/)=rA'ar'»4-2B'x'/ + Cy% si l'on a soin de poser

A'r^Ax; -4-2Bx,x,-+-cx;,

B' =-= AX|U| -4- B ( Xi |Lti -h X,/:X|) -f- CX,/uia, C' = A|LtJ -h2B/jti/Xj-i- C/uiî.

Ces trois égalités fournissent les coefficients A', B', C de la fonction transformée (2).

381. Au moyen de ces dernières égalités, nous pouvons calculer le discriminant A-C' — B'' de la fonction transformée (3) en valeur des coefficients A, B et C de la fonction primitive.

Nous trouvons en effet que

A'C - B'»= ACXJ/xJ H- ACXJ/x; — 2ACX,X,^.fx,

-f- 2B»X,X,^a,|ui,- B»X;^Î - B'XJ^Î, ou bien

A'C'-B'»r-^AC(X.|ui,~X,^.)*-B»(X.|Lt,-X,^,)',

c'est-à-dire

(4) A'C~ B^--! (AC - B») (X.i^,- X,/ut.;'.

Dans cette égalité, le facteur XifXa— X3/JI1 est le déterminant des équations de transformation (2). Par conséquent, nous voyons que le discriminant A'C— B'* de la fonction transformée (3) est égal au discriminant AC — B» de la fonction primitive (i), multiplié parle carré du déterminant Xifx, — Xajùt, des formules de transformation (2).

Le déterminant Xifx^ — X^fXi se nomme le module de transformation.

344 LIYftE lY. — CHAPITRE 11.

Le changement des coordonnées, en Géométrie analytique, s'opérant par des substitutions linéaires» est un cas particulier des transformations linéaires.

§ II. — Les invarunts.

382. Définition. — Dans la transformation linéaire des n<>* 380 et 381, la quantité AC — B' est un invariant de la

. fonction Aar*-}- 2837' + C^*-

En général, on appelle invariant d'une fonction homogène de n variables toute expression entre les coefficients de cette fonction qu'une transformation linéaire change en une expression identique entre le$ coefficients analogues de la fonction transformée, divisée par une puissance du module de transformation.

L'invarianl est absolu^ si cette puissance est égale à l'unité.

383. Théorème. — Les discriminants sont des invariants. Considérons la fonction homogène du second degré

(i) F(X,Y)=rAX'-r-2BXY-4-CY%

dont le discriminant est le déterminant des deux équations

|Fx=AX-hBY=:o, |F',= BXh-CY=:o,

et a pour valeur