suivant MF et MFi : faisons un parallélogramme
Db S.-G. — Ree, Q
l3o HECtEIL d'eXEECICES
sur MA = MF et MB = MFi ; la diagonale MC est dirigée
suivant la normale, puisque Taccélération est centripète.
On a vu y = — - OM5 le rayon de courbure est donc
en faisant l'angle EF^M = Fj MF.
84. Quand un mobile se meut dans un plan et que son accélération totale est constamment dirigée vers le centre de courbure de la déx^eloppée de la trajectoire , l'aire comprise entre un rayon de courbure fixe, une autre variable et l'arc de la développée correspondant croit proportionnellement au temps. (NicolaÏdès.)
Soient ds Tare infiniment petit parcouru par le mobile à partir d'une position M, p le rayon de courbure correspondant ; la difiërentielle de Taire considérée est - p ds^ et il s'agit de prouver qu'elle est égale à dt multiplié par une constante. Supposons -r- positif; il faut que le centre de
courbure de la développée soit, par rapport à la normale en M, du même côté que ds\ l'arc infiniment petit de la développée est égal à — dp\ son angle de contingence, égal
à celui de la courbe, est — ; son rayon de courbure est p,r=.-L^', on a
ou
7/ __ pi p<^ — __ îi 7c p v^dt ds
dû d9 ds ,
-^ H n= O, Vù=zù -rr '=c, ûds = cdt.
0 V ^ ^ dt ^
SUH LA MÉCAKIQUE lUTIONIfELLE. l3l
Si -7- <^ o , c'est dans le premier membre de la formule (1) qu'on a le signe — ^ mais la suite est identique.
80. Etudier le mouv^ement d'un point qui décrit une hélice sur un cylindre vertical dont la base est une ellipse horizontale : le point se déplace de telle sorte que l'aire décrite par la projection horizontale du rayon vecteur issu du centre croisse proportionnellement au temps.
Prenons pour axes des x et des y les axes de l'ellipse, pour axe des z Taxe du cylindre ^ on peut représenter Vx et Vy du mobile par
T=zacosf^ X = ^ sin^\
Taire élémentaire décrite par la projection du rayon vecteur-(xrf;^ — ydx) étant proportionnelle à dt^on doit aYoir (f = ûi)t, Cl) étant constant. Alors
dx , a dy b
dt ^ h '^ €lt ^ a
Soient M la position du mobile, m sa projection sur le plan xy^ p la distance du centre de Tellipse à la tangente en m \ la projection horizontale de la vitesse est
Comme la trajectoire doit couper les génératrices sous un angle constant i^ on a
dz abfù ah tù
= coti et v:=
dt p p sm /
z ne peut s'exprimer en fonction du temps qu'à l'aide d'une intégrale elliptique, ce qui était évident a priori,
l3a RECUEIL D^EXERCIGES
Les projections de raccélération sur les axes sont
— - — M*x — — = — » y. = — — ^ — • coït ,
dt* ' dt^ •^' dt^ a}b'
Taccélération rencontre Taxe du cylindre, et sa projection horizontale est proportionnelle à la distance du mobile à Taxe. Soient a, P, i les angles de la tangente avec les axes, X, p, V ceux de la normale principale*, on a
d^x dv v^ ^ d^Y dv ^ v^
-— = -p COSa H COSX, -r-r = -r- COSB H COSp,
dO dt 0 ^ dt^ dt ^ p '
Or
prsmi - pxsini dv pw'(«*— ô*)J7' cosa = ; j cosB= — 9 -r- = , , > . — : •
On peut tirer des équations précédentes cos>
1 fd^.v dv \ p*xsin*i
cosfi p*ysin^i cosv
p== , . ,.» C0SX=:-- ^^ C08f*=— 7--> COSV = 0.
En supposant i = -> la trajectoire devient l'ellipse de
base, dont on trouve ainsi le rayon de courbure ^ il a avec le rayon de courbure de l'hélice une relation analogue à celle qui lie le rayon d'un cercle au rayon de courbure d'une hélice qui se projette suivant ce cercle. La normale principale de l'hélice elliptique est parallèle à la normale correspondante de l'ellipse de base.
86. Démontrer qu'on peut régler la loi du mouvement d'un point sur une hjperbole de manière que l'accéléra^
SUR LA MÉGAKIQUE RATIOKKELLE. l33
tion totale soit la résultante de deux accélérations dirigées suivant les rayons vecteurs et im^ersement proportionnelles aux carrés de ces rayons; étudier le moui^ement.
Soit l'hyperbole
en dijETérentiant par rapport au temps, on a deux relations entre les composantes de la vitesse et de raccélération suivant les axes :
Supposons que le mobile soit sur la branche de droite, et nommons e l'excentricité de l'hyperbole, r, r^ les rayons vecteurs \ on a
rz=.ex — a, Tx'=^ ex -^ a\
on doit avoir aussi, par hypothèse,
„ X — ae .r -f- ae
X Z=. U. 7- lA ; r- 5
^ ^[ex^aY ^(ex-^af
n faut que ces équations soient compatibles avec l'équation (i) et avec ses conséquences (2)^ or, si, dans la seconde équation (a), on remplace j' et y par leurs valeurs (i) et (a), puis or" et j^'' par leurs valeurs (3), on trouve
x'» x'^x^ yix r ^ — tf^ x-|-ûtf"j
a»" "" a«(x' — a») "" «^ L(ex— - a)» (ex -^ a)*]
^\a^ ^ ) \{ex — a)* ~^ {ex h a)\\
l34 RECUEIL d'exercices
OU
Cette équation doit être compatible avec la première du groupe (3) : on s'en assure en difTérentiant la valeur de x^ par rapport au temps, et, divisant les deux membres par 2 j/, on retombe sur l'équation (3).
La loi des positions du mobile sur la courbe sera donnée par l'équation (4)
On en conclut
Au sommet, la vitesse est a i/— 7 — - — r» en sorte qu'un
point animé de cette vitesse initiale et soumis à des forces produisant l'accélération donnée décrira l'hyperbole. La valeur de t s'obtient à l'aide d'une quadrature
Intégrant — - par parties et réduisant, on trouve
dx
On a une intégrale elliptique de première espèce, mais elle disparait pour e = ^JZ\ alors
SUR LA MÉCANIQUE KATIONNELLE . l35
87. Etudier le moux^ement d'un point qui décrit a^ec une vitesse constante une loxodrome, cest-^-dire une courbe tracée sur une sphère et coupant tous les méridiens sous un angle constant X. .
Clierchons l'équation de la trajectoire en coordonnées polaires. Soient a le rayon de la sphère, M, M' deux points infiniment voisins sur la loxodrome, P le point de rencontre du parallèle de M avec le méridien de M'^ MPM' peut être assimilé à un triangle rectiligne rectangle *, or M'P = a dOj MF = a sînflrfij;, MM'= ds^ angle MM'P = X-, on a donc
MP sinBd^ éfô
^ ^«g>=S7p--^ë~' s-iirô=^*'^+-
Intégrant et désignant par a la valeur de 9 pour tj/ = o, on a pour la loxodrome
tang - 9 = tang - nef^^^"^.
La courbe forme sur la sphère une infinité de spires qui s'approchent indéfiniment du pôle et du point diamétralement opposé. Comme dsco%k=.ad9^ d'après le triangle MM'P, on voit que la courbe est rectifiable, et sa longueur
d'un point asymptote i l'autre est finie et égale à — r»
La vitesse v est constante et a une direction connue ^ elle
donne
dB fCOsX , ^d^ PsinX
dt a dt a
Si Ton se reporte aux valeurs des composantes de l'accéléraiion rappelées au commencement de ce Chapitre, on trouve qu'elles sont ici
7r = 7 7» = cotGsin^X, 7in= - cotôsinXcosX,
l36 RECUEIL d'exercices
d'où
7 = - V^i -}- cot*0 sin^X.
L'accélération devient infinie quand le mobile s'approche d'un de ses points asymptotiques. Dans toutes les positions elle est centripète ^ soient donc O le centre de la sphère, C le centre de courbure, P le pôle, A le point où OC coupe la sphère, et <f la mesure de l'arc MA. Le théorème de Meunier prouve que OCM est droit. Or
— 7r I tango
cosOMG = smcp = — '— = i tango = ■-. .-■
7 Vï -+-cot»0sin»X «n*
L'angle AMP = X ; donc le triangle AMP est rectangle
en P, et l'on a la règle suivante pour construire le rayon de courbure en un point M de la loxodrome :
On mène le méridien PA perpendiculaire au méridien du point M, et on le prolonge jusqu'à sa rencontre en A avec l'arc MA normal à la courbe : le centre de courbure est au pied de la perpendiculaire abaissée de M sur OA.
Accélération centrale.
88. Quand un mobile parcourt une trajectoire plane, il peut arriver que l'aire décrite par les rayons vecteurs issus d'un point O du plan croisse proportionnellement au temps; c'est un cas particulier très-important ; l'accélération totale est toujours dirigée vers le point O, et la réciproque est vraie. En voici une démonstration géométri<Jue assez précise : il est clair que la vitesse aréolaire est - up^ p étant la
distance du pôle à la tangente k la trajectoire :
Soient {fig* g) deux tangentes infiniment voisines CP, CQ, sur lesquelles je prends CA, CB égales aux vitesses
SDR LÀ MÉGAIIIQVE EATIOHHELLE . liy
correspondantes; abaissons les perpendiculaires OP, OQ,
on a
CAxOP = CBxOQ;
les triangles CBA, OPQ sont semblables :
angle CBA = OPQ = OCQ,
les points O, Q, P, C étant sur un cercle; AB est parallèle
Fîg. 9.
à CO. Or à la limite AB prend la direction de Taccélération totale, CO celle du rayon vecteur du point où la tangente est CP.
Pour la réciproque, on suppose que AB fasse un angle infiniment petit avec CO; ABC, QPO seront semblables, parce que leurs angles sont infiniment près d'être égaux, et Ion aura, en négligeant des infiniment petits du second
ordre,
