CA X OP = CB X OQ
Soit - c* l'aire décrite dans l'unité de temps ; en prenant des coordonnées polaires, on aura
d'où
r'dBz^c'dt,
dt'
, dr^ , dB^ dt* dt*
l38 RECUEIL d'eXEEGICES
Eai prenant 6 pour variable indépendante, remplaçant dans yr dt par —3- » et comptant comme positive raccéléralion dirigée vers le pôle, on a
dr
Cette dernière expression se retrouvera comme cas particulier du théorème des forces vives. Soit {x Tangle de la tangente avec le rayon vecteur, Taccélération centripète est
— =7sma;
or c* = p^' = \^r sin/x \ donc
psinft /?'psinp r'p sin'^x
Cette expression a été donnée par Newton \ en la rapprochant de la précédente, on a l'expression générale da rayon de courbure
On voit que dans une conique p sin^jui = —
89. Un mobile parcourt une ellipse de manière que l'càre décrite par le rayon vecteur issu d'un point 0 croisse proportionnellement au temps; exprimer l'accélération du mobile.
Considérons le cercle dont la projection est Fellipse donnée^ o est la projection d'un point O du cercle, la posi-
STm LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. iSp
tion m du mobile est la projection d'un point M du cercle. Soient M' le second point de rencontre du cercle avec OM,
DD'le diamètre parallèle à OM, ^C* Taire décrite par OIM
dans l'unité de temps, P Taccélération de M; on trouve, a et i étant les demi-axes de l'ellipse,
e 8C*a* C* DD'
'"^"^^^ aOM MM' ^^' Om' MM'*
Soient i l'angle de MM' avec sa projection mm\ dd' la projection de Diy, -c* la vitesse aréolaire de m ^ on a
dd' om mm' C a
^ ' DD' OM MM' ' c» b^
d'où
c* dd
om mm
Cette expression, donnée par M. Withworth (Cambridge and Dublin Messenger, 1871), se simplifie dans descas particuliers. Prenons o au centre, dd'=mm!=^i2om^
Prenons o au foyer; soit 6 l'angle de mm* avec l'axe focal, on a
mm =: , dd =. 9 7 = — - — = «
a(i— ^'cos'O) I— tf^cos'Ô b^ ~
£nfin, quand o est sur l'ellipse.
om
l4o RECUEIL d'exercices
90. Un point décrit la podaire. Heu des projections du centre d'une ellipse sur ses tangentes, de manière que la vitesse aréolaire par rapport au centre soit constante,
- c* ; exprimer pour chaque position la vitesse et l'accé-
lération du mobile : rayon de courbure.
En prenant pour axe le grand axe de l'ellipse, l'équation de la podaire sera
r^=za^cos^O -f- ^»sin*9.
L'expression du carré de la vitesse dans cette espèce de mouvement donne
, «*cos*ô -f- b*sm*B
(a'cos»0-f-6'sin»9)*'
en ajoutant au numérateur a*i* sin* 6 -f- a' J* cos* 0 — a* ft*, il vient
(a»cos'9-h 6»sin*0)» \ . r* 7*1
La formule qui donne le plus vite l'accélération est
-7— — cM 2
dr \ r*
Comme il est évident que, 6 croissant de zéro à ->
r*=a^ — (a* — A*) sin*9 décroit de a* à i% pour croître
ensuite, y varie de (aa* — i*) — à (aJ*— a^Tr; elle est
d'abord positive, et la courbe concave vers le pôle-, mais, si a*^ ai', y devient négative et la courbe tourne sa convexité vers le pôle : il y a une inflexion, et la podaire a udc partie rentrante. Pour calculer le rayon de courbure, nous
SUKOJk XéCAlflQDB BÀTXOIfNBLLE. l4l
prendrons
91. {7h ^oi/i< 5e meut de manière que sa vitesse soit woportionnelle à la puissance n — i du rayon vecteur , H que la vitesse aréolaire de ce rayon soit constante : iétemdner la trajectoire et l'accélération.
On a, par hypothèse,
9 = \f^\ r»dB = c^dt;
raccélération est
L'équation difierentielle de la trajectoire est fournie par la râleur de i^*
crdr I e*
dSz=i f ndB= d -.
Intégrant,
«(0 — a) ==ArCCOST^ — » '*=r tt r-
^ . -' Xr« Xcos/i(Ô — a)
Ces courbes dérivent de la droite par une transformation ipéciale. M. Roberts a remarqué que, si Ton change a en ^,Ies courbes se coupent sous Pangle |3 — a; si l'on suppose ti = a, -j > — I , on a une hyperbole équilatère,
luie parabole, une cardioïde, un cercle passant au pôle ;
laccélération est proportionnelle respectivement aux puis-
Wûces I , — 2, — 4? — 5 du rayon vecteur. Pour /i = ->
l4a RBCUBU. D IXSRCICES
y est constant, et la trajectoire est une courbe du sixîème ordre, avec trois asymptotes se coupant au pôle sous des angles de 120 degrés.
Le cas de /i = o, la vitesse étant réciproque à r, donne une intégrale différente \ on a
c'dr O-T-''—
rfO= — ■ - r=rjC •xï-ë*.
La trajectoire est une spirale logarithmique, et l'accélération réciproque au cube de la distance au pôle.
La position du mobile sur sa trajectoire est donnée dans tous les cas par la formule
r»rfÔ z=L c'dt, qu'on intègre en remplaçant r par sa valeur en 0.
Un point A parcourt uniformément une droite ; un autre mobile M se meut de manière que la tangente à sa trajectoire rencontre toujours le point A et que MA soit de longueur constante. Trouver la trajectoire du point M, sa vitesse, son accélération, le rayon de courbure de la trajectoire. La trajectoire se nomme tractrice; en appelant a la longueur AM, c la vitesse de A, et prenant la droite que suit ce mobile pour axe des x^ on trouve
la développée de la trac trice est une chaînette.
Trajectoire d'un mobile qui se meut uniformément, de manière, que la tangente rencontre toujours un autre point qui parcourt une droite avec une vitesse constante, accélération, rayon de cosr^ bure. La courbe décrite est appelée courbe du chien, l'animal étant supposé se diriger vers son maître; l'équation est algébrique, sauf le cas où les deux vitesses sont égales, n étant le rapport de la
SUE LA MÉCAKIQTJE RATIONNELLE. l43
Vitesse du chien k celle du maître, a l'angle de sa direction arec la droite suivie par le maître, x ^ distance à cette droite, on a
p = ii^coséc*a.
Un mobile parcourt uniformément un cercle pendant que le plan de ce cercle tourne autour d'un de ses diamètres avec une vitesse angulaire égale à celle du point sur le cercle ; étudier le mouvement résultant dans l'espace.
Déterminer la loi du mouvement rectiligne d'un point, sachant
qu'on a
a étant une constante; accélération.
Un point parcourt une hyperbole de manière que la vitesse aréolaire par rapport à un des foyers soit constante. Déterminer raccélération et la loi de mouvement. Prouver que si, par un point fixe, on mène des droites égales et parallèles aux vitesses, le lieu de leurs extrémités est un cercle.
Si Ton pose
on aura, en supposant ^ = 0 pour u=.i, et appelant e l'excentricité,
2 \ uj à'Ji-he'
équation analogue à celle de Kepler.
Mouvement d*un point sur le limaçon de Pascal, en supposant que le rayon vecteur issu du point double tourne uniformément : tangente, rayon de courbure.
Accélération des divers ordres.
d2. Si par un point fixe on mène des droites égales et parallèles à l'accélération d'un mobUe aux époques t et t+ àty OA et OA^, l'accélération du second ordre ou sur-
l44 KBCUEIL d'exercices
accëlération est représentée en grandeur par la limite de
