AA

-— > et en direction par la direction limite de AA'. On passe

de la même manière aux accélérations des ordres suivants. n est aisé de démontrer que la projection de Taccélération d'un ordre quelconque sur un axe ou sur un plan est égale à l'accélération de même ordre dans le mouvement de la projection du mobile; d'autre part, il est visible que les accélérations successives dans un mouvement rectiligne sont égales aux dérivées successives de l'espace par rapport au temps. Si donc on rapporte un mobile à trois axes coordonnés, l'accélération du n'^""' ordre a pour composantes

On en conclut par exemple que, dans le mouvement elliptique représenté par les équations

x=zacosfùt^ j^=r6sin«f,

les accélérations d'ordre impair sont dirigées suivant le rayon vecteur et proportionnelles à ce rayon \ celles d'ordre pair seront parallèles et proportionnelles au diamètre conjugué; il est facile de compléter l'énoncé.

Soit à calculer les projections de l'accélération d'ordre n^ y„, sur la tangente à la trajectoire, sur sa normale principale et sur l'axe du plan osculateur ou binormale (de Saint- Venakt). On y arrive à l'aide des formules de M. Serret; mais on peut employer une méthode géométrique régulière que j'exposerai, parce que son point de départ peut être utilisé dans d'autres questions sur les lignes à double courbure.

Menons en un point O d'une courbe la tangente OT, la normale principale ON et la binormale OB : prenons un arc infiniment petit OM = ds dans le sens de OT, et suppo-

sons que M soit par rapport au plan osculateur en O du côté oppose à OB.

Considérons la tangente, la normale principale et la binormale en M, et clierchons, à moins d'infiniment petits du second ordre, les cosinus des angles que ces droites font avec OT, ON, OB5 pour cela je leur mène en O les parallèles or, ON', OB'î si Ion prend 0B= BB', BB' sera dans le sens de la normale principale. En négligeant les infiniment petits du second ordre, on peut regarder OT' comme situé dans le plan TON, et il est facile de déduire de la figure le tableau des neuf cosinus :