OT. ON. OB
or, I, ~, o,
ON', î I, ,
OB', O, ^, i;
f désigne le rayon de courbure, /• le rayon de torsion .
Soient donc à l'époque t Taccélération d'ordre jx, 7^, et ses projections sur la tangente, la normale et la binormale que nous désignerons par y^t^ y^„, y^^-, à l'époque i-f- rff, cette tangente et ces normales ont changé de direction, comme l'indique le tableau, et les projections de l'accéléra» lion sur ces nouvelles droites sont y^^ -f- dy^^^, . . ^ on en conclut les projections de cette accélération sur les premiers ues, et, en divisant par dt les accroissements subis par ces projections dans le temps dt^ on a
7iM..,.- 7 ;^7M+ -^ + 7 ;^7f>
I ds dyy,,„ , I ds
DiS.-G. — iW. vo
l46 REGDEiL d'exercices
Quand on doit prendre des dérivées de p ou de r par
- dp dp ds
rapport au temps, on prend -f- = -*--—!»••• ^ puis on rem-
ds
place -^ par m, et l'on a les composantes de y^ en fonction
, dv d^v dp
On a, pour l'accélération ordinaire,
dp V
on en tire, à l'aide de nos formules générales,
d^ di
dv
"dt
dp
ds'
d^v - v^ dv V* dû
^''' dt^ p* dt f ds
La valeur de y,,, peut être transformée et donner lieu à quelques remarques. L'enveloppe des plans normaux à la trajectoire est une développable appelée surface polaire^ dont les génératrices sont les axes des cercles de courbure de la trajectoire. Considérons le plan P osculateur en 0,1e centre de courbure C^ le centre de courbure au point M infiniment voisin de O se projette sur P en C'^ CC est un élément de ligne de courbure de la surface polaire, sa longueur est dp\ Tangle des deux plans tangents à la polaire en C et
ds C est égal à l'angle de contingence de OM, soit — *, donc
od ^
—f est le rayon de courbure R de la surface polaire en C,
SUR LA MÉCANIQUE HATIONMELLE. l47
et Ton peut écrire
dans le cas d'une trajectoire plane, R est le rayon de cour* bure de la développée.
Dans le mouvement elliptique que nous avons considéré, l'accélération du second ordre est tout entière tangentielle*, 7{^„ est nul, et l'équation précédente donne le rayon de courbure de la développée
a étant l'angle du rayon vecteur de l'ellipse avec la normale, puisque ^ et - sont les composantes de l'accéléra* tion^i. Aux sommets, R = o.
93. En désignant par c, c' les cordes interceptées par l'accélération du premier ordre dans le cercle et dans la parabole osculatrice à la trajectoire, la composante normale de y,, ou suraccélération normale, est
y7,M^^ — p^* (Resal, Cinématique.) Soient (Jig- lo) OT, ON la Ungente et la normale à la
trajectoire, OFG un arc de la parabole osculatrice dont OA
lO.
l4B RECUEIL d'exercices
est un diamètre, OG la droite suivant laquelle est dirigée Taccélération y, a l'angle AON, ç l'angle GON, GP parallèle à OT. Puisque raccélération fait l'angle cp avec la normale, on a
d'où
T^=y.[^^st-^)
La relation (A) précédemment trouvée pour l'ellipse s'applique à la parabole, et l'angle a a conservé sa signification^ il en résulte
V* , 3v* wel[^ — a)
7i.«= 3 ~ (tongfp — tanga^ = —^
p' ' p' cosfcosa
Le triangle GOP donne OP GP c' GP* OP.c'
005^ sm[(f — aj cosa sin'(f — a) cos^cosa
Or — — - = p' =^ = 0 cosa, p' et p désignant le para-
2OP ' cos'a * •> r r n r
mètre relatif au diamètre OA et le paramètre principal de la parabole. On a donc
9 p cosa c' sin(^ — a) / âp
sin*(^ — a) cosfcosa cos^cosa V ^'^^*?
p» V c'cos^j» p v^ac'pcosf ^sjc^
94. Déterminer dans le moui^ement plan les projections de la suraccélération sur le rayon vecteur et sur sa perpendiculaire,
Il suffit d'exprimer -jj- et -^ en fonction de /• et de fl,
SUR Li MÉCANIQUE RATIONNELLE. 1 49
et de les projeter sur le rayon vecteur et sa perpendiculaire^ on trouve
__^d^rdB drd^B ^» d*B
^''^-^^"dF di'^^di'dF'^''do'^' de'
Composition des vitesses.
98. Etant donné un système de points de repère S et un point M, dont la position par rapport à S varie avec le temps, on dit que M a un mouvement relatif, si le système S est lui*mèine mobile par rapport à un second système $i; on peut déduire des deux mouvements précédents quel est le mouvement de M par rapport à Si : ce sera composer les deux mouvements. On appelle vitesse d'entraînement du point M la vitesse par rapport à Si d'un point qui coïnciderait avec M à l'instant considéré, mais qui resterait en repos relatif par rapport au système S. Supposons Si fixe ^ le mouvement résultant que nous étudions sera un mouvement absolu ; on a ce théorème fondamental : la vitesse absolue est la résultante géométrique de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement ^ la vitesse relative s'évalue en négligeant le mouvement de rotation de S, qui ne devient sensible que si Ton considère les accélérations. On généralise aisément pour le cas de plusieurs mouvements composants.
96. La méthode de Roberval pour le tracé des tangentes aux courbes consiste à les regarder comme les trajectoires <i un mobile et à déterminer la direction de sa vitesse \ on y parvient souvent en considérant le mouvement comme résultant de deux ou plusieurs autres.
Soit proposé de mener la tangente à la strophoïde ^ étant
IDO
KEGUBIL D EXERCICES
donnés {fig* ii) un point O et une droite AB, si l'on mène une sécante OC et qu'on la prolonge d'une longueur
CM = CA, OA éunt perpendiculaire sur AB, le lieu de M est la strophoïde.
Le mouvement de C peut être obtenu en supposant qu'il glisse sur la droite OM pendant que celle-ci tourne autour de O avec une vitesse angulaire co \ la vitesse d'entraînement est a>OC perpendiculaire à OC; la vitesse relative
parallèle à OC est — ^ -; la vitesse résultante est -^»
dirigée suivant AB; mais le triangle formé par ces trois vitesses est semblable à OAC comme ayant ses angles égaux. Avec une unité de temps convenable, on aurait
