AC-4-0C = 0M

suB LA mégàhique ratioumelle. i5i

si donc on élève OV perpendiculaire à OM et égal à OP, la droite M V représente en direction et en grandeur, vu notre unité de temps, la vitesse de M ^ on a une construction simple de la tangente.

97 . Déterminer la tangente au lieu des points M {Jig* i a) , tels que le rapport de leurs distances normales à deux courbes C e^ S soit une constante n.

On peut regarder le point M comme glissant sur une nor-

male AM à C, tandis que cette droite se déplace en restant toujours normale : la vitesse de glissement sera -— - qu'on

peut prendre égale à AM avec une unité de temps convenable. La vitesse d'entraînement est inconnue^ mais on sait qu elle est perpendiculaire à AM, puisque le mouvement d'entraînement fait décrire des courbes parallèles à C^ la vitesse s'obtiendra en joignant M à un point convenable de la tangente à C en A ; mais on peut aussi bien produire le mouvement de M en le faisant glisser sur une normale variable à la courbe S. Or MA = /iMB donne

rf.MA=«/.MB;

donc la vitesse de glissement sera BM avec notre unité de temps : la vitesse d'entraînement sera parallèle à la tangente à S en B, et la vitesse absolue s'obtiendra en joignant

M à un point convenable de cette tangente. L'extrémité de

la droite qui représente cette vitesse est donc au point V

commun aux deux tangentes. Les triangles rectangles MA\\

M6V donnent

co8AMV = /îCosBMV;

on en conclut aisément que, si des rayons lumineux s'échappaut normalement de la courbe C se réfractaient sur la surface lieu du point M, et si l'indice de réfraction était /i, les rayons réfractés seraient normaux à S', car cosAMV n'est autre que le sinus de l'angle d'incidence, etc. La courbe S a été nommée par M. Quetelet V anticaustique de C.

C peut se réduire à une droite et S à un point ^ le lieu de M est une conique dont nous savons ainsi mener la tangente. Supposons /i> I, la courbe est une ellipse^ si des rayons lumineux arrivant parallèlement à MA et dans le sens de cette droite se réfractent sur une surface elliptiqce dont Texcentricité soit égale à l'inverse de Tindice de réfraction, ils iront converger au foyer de la courbe; si l'on veut les recevoir en ce point, il faut limiter la lentille elliptique par une surface sphérique intérieure décrite du foyer comme centre. Une autre disposition, préférable pour concentrer en un point des rayons parallèles, consiste dans l'emploi d'une lentille plan convexe, la partie convexe AiMB {Jig» i3) étant formée par la rotation d'une hyperbole dont

Fîg. i3.

le foyer est F et la directrice PQ; l'excentricité sera égale

SUR LÀ MÉCANIQUE aATlOSlIELLE. l53

à l'indice de réfraction. La tangente s'obtient en joignant M au point Q, où la directrice rencontre la perpendiculaire au rayon MF.

98. La méthode de Roberval proprement dite n'est pas toujours facile à appliquer; cependant je citerai cooime exercices, outre les cas les plus connus, la détermination de la tangente à la cissoïde et à la courbe de Viviaui, considérée comme lieu d'un point qui parcourt uniformément un cercle, tandis que celui-ci fait un tour autour d'im de ses diamètres, d'un mouvement aussi uniforme. L'étude des vitesses simultanées revient à une question de Géométrie infinitésimale; j'en donnerai un seul exemple, la recherche, d'après M. Mannheim, du point où une droite, mobile dans certaines conditions, touche son enveloppe, et l'application du résultat obtenu pour construire le centre de courbure d'une épicycloïde.

Considérons une droite qui tourne autour du pôle O dans un plan, et qui fasse avec l'axe fixe un angle 0. Soient sur cette droite trois points M, M', M" décrivant des courbes C, C, C'' ; la perpendiculaire menée au point O sur OM est rencontrée en N, N', Wpar les normales à C, C, C" aux points M, M', M''. On a, d'après une formule de Géométrie,

0N=--, op^'=-^, ^«"=-5r-'

d'où

Supposons les courbes C, C, C telles que MM' et M' M'' aient un rapport constant X ; il en sera de même de leurs différentielles, et par suite de NN' et N'W; si donc on savait mener les normales en M, M', M'"^, et qu'on voulût trouver le point O autour duquel tourne la droite MM'M^,

l54 BBCtlEIL D^EXERCICBS

OU, simplement, auquel elle rencontre sa position infiniment voisine, c'est-à-dire touche son enveloppe, il n'y aurait qu'à chercher une perpendiculaire à M M' M''', telle que les segments déterminés sur cette droite par les normales connues aient un rapport donné.

Soit [fig* i4) un cercle de rayon Ci A = Ri, qui roule sur \kXk cercle fixe dont le centre est C et le rayon R \ un point M

lié au cercle Ci engendre une épicycloïde. Cherchons la tangente en M par la méthode de Roherval \ le mouvement du cercle d peut s'obtenir en supposant que son centre tourne autour de C avec une vitesse od.CCi, tandis que le cercle tourne autour d'axes de direction fixe, menés par C|

ce

avec une vitesse angulaire — w --i • La vitesse relative de

M sera perpendiculaire àTWCi et égale à w.CCi ^'ï la vi-

tesse d'entraînement est w.CCi perpendiculaire sur ACiî le triangle formé par ces vitesses et leur résultante est semblable à MCi A et a ses côtés perpendiculaires \ la vitesse résultante est perpendiculaire à MA, et cette droite normale à l'épicycloïde.

La normale MA se meut dans des conditions où la méthode de M. Mannheim donne le point O où elle touche

SI311 LA MÉGAIflQUE KATIOHHELLE. l55

son enveloppe ; en efiet, menons CM' parallèle à MCi jusqu'à la rencontre de MA. On a