ÉQUILIBRE D'UN POINT MATÉRIEL

Cas où le point est libre.

1 . Tout système de forces agissant sur un point matériel peut être remplacé par une résultante, dont la projection sur un axe quelconque est égale à la somme des projections des forces données. Si le point est entièrement libre, il y aura équilibre quand la résultante sera nulle ^ et pour cela il faut 6t il suffit que les projections des forces données, faites sur trois axes parallèlement à trois plans qui se coupent, aient une somme nulle. Si toutes les forces agissent dans un même plan, il suffit d'égaler à zéro la somme de leurs projections sur deux axes pris dans ce plan.

Quand trois forces P, Q, R concourantes se font équilibre, elles peuvent être ' représentées en grandeur et en direction par les côtés d'un triangle (principe de Stévin) : chacune est égale et opposée à la résultante des deux autres; elles sont alors liées par les relations de la Trigonométrie,

Ds S.-G. — Kee. 1

RECUEIL D*EXE&CICES

convenablement modiBées,

sm(Q, R) sin(R, P) sin(P, Q)' F=Q--*-E»-h2QRcos(Q, R)

Souvent le point considéré est attaché à un fil dont l'extrémité est sollicitée par une force connue, ou fixée en un point invariable. Dans le premier cas, le fil se dirige suivant la force qui le sollicite, et sa tcusion est égale à cette force si Ton regarde le fil comme de masse négligeable \ dans Tautre cas, la tension est inconnue a priori; mais, en exprimant que l'extrémité est fixe, on a une condition qui, jointe aux autres conditions de l'équilibre, permettra de déterminer la tension du fil et la position du point matériel. Quand un fil sans masse , en équilibre ou non, passe sur une poulie ou dans un anneau qui ne donne lieu à aucun frottement, les deux brins du fil ont la même tension, autrement le fil se mouvrait du côté où il est le plus tendu avec une vitesse infinie, ce qu'on ne peut admettre.

S. Déterminer la position d'équilibre d'un point M, attiré vers des points fixes avec des intensités proportionnelles à la distance.

Soient x,j^, z les coordonnées rectangulaires de M ; X|, jr\t Z\^ '^t» yt-i ^î, . . . celles des points fixes -, rt, r,, . . . les distances de ces points â M. L'intensité de la force exercée par le premier de ces points fixes a pour expression X, r^ -, et, comme elle est dirigée suivant la droite dont les cosinus

directeurs sont -'^ -,..., ses projections sur les axes

sonx\[x, — x),'k,[j^—yr)^l^[z,— z). On a des résultats analogues pour les autres points, et les équations d'é-

SUR LÀ MÉGAHIQUE KATIOniîELLE.

qailibre sont

d'où

iiJTi-f-^iJfj-h...

A| ~T~ A Zj ■~T~ • • «

Aj ■^~ Aj-T" • • •

Si X|, A|, . . . sont proportionnels aux masses des points attirants, on en conclut que la position d'équUibre est au centre de gravité du système de ces points : en tout autre lieu, le mobile est attiré vers ce centre comme si toutes les masses attirantes y étaient réunies.

3. Position d'équilibre d'un point M, attiré vers les trois sommets d'un triangle par des forces constantes, mais qui sont entre elles dans le même rapport que les côtés opposés aux sommets dont elles émanent respectivement.

On peut désigner les trois forces {^fig. i) par V = \a

Fig. I.

suivant MA, Q = XA suivant MB, R = > c suivant MC. La relation

P'=Q^-ha»-l- 2QRcos(Q, R)

donne, en divisant tout par X*,>

a»=ô»-hc2-f-2Ôrcos(P, Q).

4 KECUEIL D EXERCICES

Comparant avec la relation qui lie a^b^ c et A, on en

conclut

(Q, R) = EMF = 7r — A.

De même FMD = tt — B, DME = tt — C. Le point M est à Tintersection des segments capables des angles tt — B, TT — C décrits respectivement sur AC et AB. Soit A le plus grand des angles du triangle^ s'il est aigu, les deux seg~ ments se coupent à l'intérieur du triangle, car leurs tangentes en A, faisant respectivement avec AC et AB les angles B et C dont la somme est ^ A, les segments empiètent Tun sur l'autre. 11 est aisé de voir qu'alors M est le point de concours des hauteurs de ABC; car les quadrilatères inscriplibles AEMF, FMDB donnent

AFM -f- AEM = ir, AEF r-r AMF = ABC.

La dernière égalité prouve que EF et BC sont antiparallèles \ les angles AEM, AFM sont donc égaux \ nous venons de voir qu'ils sont supplémentaires : ils sont donc droits, et BE, CF sont des hauteurs.

Lorsque A est obtus, les deux segments capables n'ont d'autre point commun que le sommet A; or le point attiré ne saurait y être en équilibre, même en supposant à la force P telle direction qu'on voudra; car les forces Q et R, dirigées suivant AB et AC, peuvent se représenter respectivement par des droites AC'= XAC, AB'=XAB ; si l'on construit leur parallélogramme, la diagonale partant de A ne sera pas égale à B'C, c'est-à-dire à X BC ou P ; les trois forces ne se détruiront pas, et il n'y aura aucune position d'équilibre. Si l'on eût cherché les coordonnées de M, on aurait eu des équations compliquées de radicaux, qui n'auraient pas admis de solution quand A est obtus.