Position d'équilibre d'un poids C attiré vers deux
SVH LÀ JIÉCAHIQUE hatiohiielle. 5
points égaux Â, B, situés sur une horizontale, par des forces "variant en raison inv^erse de la distance.
Soient a, b^ c les côtés de ABC -, P le poids du mobile C^ les attractions qu'il reçoit de A et de B peuvent se repré-
XP IP senter par --r-> — » X étant la distance pour laquelle l'attraction serait égale au poids. Egalons à zéro la somme des projections horizontales et verticales des forces agissant sur C,
W >P XP . IP
-=-cosA cosB = o, -7-sinA-< sinB — P =:^ o.
r» 1 7 sinA sinB ,, .
Kemplaçons a et 6 par c -:—- » c -r—^ » et réduisons :
smC smC
« ^ /smA sinB\ sia2 A = sin 2B, a ( -.— =r -î- ~ — - ) == -.
\sinB sinAJ si
sinC
Il y a deux solutions :
A=B, sinC=:-r
Cette solution n'est acceptable que si c<[ '-iX^ ABC est isoscèle, C étant susceptible de deux valeurs supplémentaires.
1 A= B, sinC^i,
/ c = A(tangA-h cotA) = -r-^ — .-> sin2A= — • ' ' sin2A c
Il faut que c soit ]>2X^ à cette solution correspondent deux triangles rectangles symétriques par rapport à la verticale issue du milieu de AB.
Il y a toujours deux positions d'équilibre, et pas davantage.
Ce problème est un cas particulier du suivant :
Trouver les positions d' équilibre d'un point (x^ j) attiré "vers des centres fixes [Xi^ ji^ Xj, j^i- • • •)? situés dans un plan, avec des intensités réciproques à la dis* tance.
Les coordonnées étant rectangulaires, m, désignant la masse du centre Xf^ j^/, les équations d'équilibre sont évidemment
Zà {.T — Xi)' -4- (jr -^ j,)^ ' Z#(:c — j^i)- -h (j — J/j«
Ces équations ont une interprétation remarquable : ajoutons-les, après avoir multiplié la seconde par — yj — i ,
Posons
ce qui revient à définir chaque point du plan par une valeur de l'imaginaire z ; Féquation précédente s'obtiendrait en égalant à zéro la dérivée de la fonction
Pour en déduire notre cas particulier, nous supposerons d'abord C attiré par A et B et par un point H situé sur la perpendiculaire au milieu de AB; on prend cette droite
pour axe des y^ AB pour axe des x^ alors z, = -? z^ = j
z^^ssi-hyj—i^ faisons m,c=mi=i, et choisissons m», de manière que pour l'origine les attractions de A et de H
soient dans le rapport de — - à P-, — == — , mj= r-î
puis on fera tendre h vers l'infini. En multipliant les masses
SUR LÀ MÉCAiriQUE RATIONNELLE. 7
par X, on a
Egalant à zéro F' (z),
Remplaçons z par x -^-jsj — i, et séparons les parties réelles et imaginaires :
Divisant par h et faisant h infini,
on en déduit les quatre positions trouvées géométriquement.
5. Un fil flexible, inextensible et sans niasse est fixé à l'une de ses extrémités B : il porte en C un poids P qui y est attaché à une distance connue a deB] puis il passe sur une très-petite poulie A située à la même hauteur que B-, enfin il porte un poids Q à l'autre extrémité, qui est libre. Quelle est la figure d'équilibre? Cas rfe P = Q.
La tension du cordon CA est, comme on Ta remarqué au commencement, égale à celle de AQ, c'est-à-dire à Q : le point C est donc en équilibre sous l'influence d'une force Q dirigée suivant CA, d'une force verticale P et d'une force inconnue T qui n'est autre que la tension du cordon CB. Chacune de ces forces est proportionnelle au sinus de Tangle des deux autres :
cosB sinC ces A
Soit AB = c, on a, dans le triangle ABC,
. . rsinB
SinC = — , — =r: tf
I I — cos'B y û^ -f- c- — lac cosB
Égalons cette valeur à celle qu'on déduit de (i), et réduisons^ il vient
(2) aacP^cos^B — (fl»P^-h c»P=-+- c'Q-)cos'B -f- c"Q»=r o.
Les équations (i) exigent que B soit aigu, et aussi A si Ton veut que T soit positif; cette dernière condition exige
que c soit ^ a cos B, ou cosB «<; - • On ne peut donc prendre que les racines de l'équation (2), qui sont positives et moindres que - et que l'unité. Le premier membre de l'équation (2) est positif pour cosB=o, négatif et égal à — P*(a — c)* pour cosB='i; il s'annule toujours pour une valeur de cosB comprise entre o et i; quand c est >■«, cette racine est acceptable et donne une figure d'équilibre.
Lorsque c est <^ a, il faut que la racine soit <[ - ou que le
premier membre de l'équation soit <]o pour cosB = -',
le résultat de cette substitution est c* — ; — • (Q* — P*) ^ les
deux premiers facteurs étant positifs, il faut Q <[ P : il y a alors une figure d'équilibre 5 mais, si Q ]> P, l'équilibre est impossible^ le point C serait tiré jusqu'en A, et AC ne serait pas rectilîgne comme on l'a supposé.
Dans le cas de P =:-- Q, l'équation pourrait être résolue,
car elle admet la racine --, mais il est plus simple de remarquer que les équations ( i ) donnent alors
sinC = cosB, d'où C = - zh B.
Le signe -h exige c'^a^ alors
a COS2B
, cosB= — (a -h v^a^-r bc)
c cosB 4 ^
Si l'on prend C = B, ABC sera rectangle en A, c <; a-,
alors T est nul, comme l'exige la verticalité du fil AC.
Si le poids P était porté par un anneau dans lequel pas* serait le fil, on aurait facilement
T = Q, sinA=sinB = -TT-
Trouver la position d'équilibre d'un point non pesant attiré vers deux centres fixes par des forces variant en raison inverse du carré de la distance.
Les trois sommets d'un triangle attirent un point situe dans le plan du triangle avec des intensités proportionnelles à leurs masses et à l'inverse du carré de la distance, autrement dit suivant la loi newtonienne. Quel doit être le rapport des masses des points attirants pour que le point mobile se tienne en équilibre dans une position donnée? (Fchrmaiin.)
Un fil est attaché à ses extrémités A, B, en deux points d'une horizontale : détarminer deux points C, D de ce fil où il faudrait attacher deux poids donnés pour que, dans la figure d'équilibre, la droite CD fût horizontale et à une distance connue de AB. (W. Waitok.)
Cas où le point doit rester sur une surface on une courbe.
6. Quand un point sollicité par des forces F, F', . • • •» est assujetti à rester sur une surface ou une courbe rigide Cl polie, il peut être en équilibre sans que la résultante des forces soit nulle ^ il suffit qu'elle soit normale à la surface
lO RECUEIL d'eXERGICE5
OU à la courbe \ autrement dit, les forces représentées par les projections de F, F', . . . soit sur le plan tangent, soit sur la tangente, se font équilibre.
Soient X, Y, Z les sommes des projections de F, F', . . . sur trois axes rectangulaires^ pour que le mobile soit en équilibre au point x^ y^ z d'ulie surface fj (x, j^, jc ) = o, on doit avoir
?* fr ?*
Le point doit-il être en équilibre en un point d'une courbe sur laquelle les déplacements dx^ dy^ dz sont liés par les deux équations de la courbe, on a
(2) Tidx ^Ydy-^Zdz=zo.
On peut résoudre les mêmes questions en traitant le point comme un point libre, pourvu qu'aux forces extérieures F, P, . . . on adjoigne la réaction de la courbe ou de la surface^ on n'en connaît pas la grandeur a priori, mais on sait qu'elle est normale : elle est d'ailleurs égale et opposée à la résultante des projections de F, F', . . . soit sur la normale à la surface, soit sur le plan normal a la courbe. J'appellerai seulement l'attention sur le cas où le point est en équilibre sur une surface dans laquelle il ne peut pénétrer, mais dont il peut s'éloigner extérieurement. La résultante des forces F, F', . • • ? qui est alors normale, doit être dirigée vers la partie de l'espace où le mobile ne peut pénétrer^ et Ton sait (Calcul dijfférentiel de M. Bertrand, p. 94) que la portion de normale allant vers les points extérieurs, pour lesquels © (x, ^, ^) > o, a pour cosinus directeurs
VÎ" Vîy VÎ'*' V^-t-V(îx/H-(?yj'-hV?*j'
SUK LÀ MÉCANIQUE lUTIOniTELLE. Il
Aa lieu de donner la surface ou la courbe sur laquelle le point est obligé de rester, on peut demander quelle doit être leur nature pour que le point y soit partout en équilibre sous Taction de forces données; appelons, pour abréger, ces lieux surfaces ou courbes de niveau. Les équa* lions (i) et (a) doivent y être satisfaites pour tous leurs points; mais, au lieu de définir les surfaces par les équations simultanées (i), il revient au même de les regarder comme déterminées par l'équation différentielle totale (2) ; elle peut n'être pas intégrable : alors il n'y a pas de surface de niveau pour les forces données. Quant aux courbes, cette équation (2) ne suffirait pas à les définir : il faut se donner une surface sur laquelle elles doivent se trouver. Lorsqu'il s'agit de courbes planes situées dans le plan xy^ on fera z = G dans les équations qui précèdent.
7. Un point pesant est placé sur une ellipse dont le petit axe est ^vertical et exerce sur ce point une action répulsive horizontale proportionnelle à la distance du point à l'axe : position d'équilibre, pression correspondante.
Les composantes de la force qui sollicite le point sont
X = Xjr, T= — p.
L'équation de l'ellipse -^-{^j-^ = i donne La condition Xdx-hYdjr=z o devient
La solution jc = o montre qu'il y a équilibre si le point est aux extrémités du petit axe; la pression sur l'ellipse est
1 a KEGUEIL D EXERCICES
le poids du corps. L'autre solution
donne deux positions d équilibre si Xa']>pJ. La pression exercée sur la courbe a pour composantes
ces composantes sont de même signe que les cosinus directeurs de la normale extérieure - cj-'^., — y^ : le point est donc appuyé contre la partie concave de Tellipse.
8. Tromper dans un plan vertical une courbe de nii^eau pour un point pesant, repoussé de l'axe des y, qui est vertical, par une force X jc.
En tous les points de la courbe, on doit avoir
\xdx — pdy -=. o; intégrant,
On a des paraboles égales, ayant pour axe Taxe des r \ la pression est dirigée vers l'extérieur et égale à ^X*x*-f-^*.
9. Trouuer dans un plan une courbe de niv^eau pour un point repoussé de l'origine avec une force proportion^ nelle à la distance et sollicité par une force constante di^ rigée suivant la tangente et dans le sens qui fait un angle aigu avec le rayon vecteur.
Soient F la force constante, — la force émanant du pôle;
, Tidx -r^dy Ta! Fr ,
leurs composantes sont — r -r-? — F -p- et — ? -^ ; la con- ' as as a a '
SVK LÀ MÉCAKfQDE lUTIONNKLLE. l3
dition d'équilibre devient, après avoir divisé par F,
\a ds 1 \a ds)
djr = o.
On aurait aisément l'intégrale en prenant des coordonnées polaires^ mais, si Ton écrit l'équation sous la forme équivalente
iLe dr
elle exprime que la distance de Torlgine à une normale quelconque de la courbe est égale à a; la ligne cherchée est donc la développante d'un cercle ayant pour centre le pôle et pour rayon a. La pression normale est égale à
y ^ /fj- dxy ir dr\^ F y
elle est proportionnelle au rayon de courbure de la développante.
10. Position d' équilibre d'un point pesant assujetti à rester sur une hélice dont l'axe est vertical; un point de l'axe repousse le mobile awec une intensité réciproque au carré de la distance.
Prenons le centre de répulsion pour origine, l'axe de l'hélice pour axe des 2, et appelons a le rayon du cylindre qui contient l'hélice. Si la force répulsive est P à la distance c, ses composantes seront, pour la distance yja^ + 2' ,
Vc^x Pc^j Vc^z
Pour tous les points de l'hélice, on a
xdx -¥ ydy rr:o;
l4 RECUEIL DEXEUCIGES
la condition d'équilibre se réduit a Z = o, ou, divisant parP,
Posons a*-f- «*= u, nous aurons Téquation
/(u) = «=» — e*U ^-«'c'rr O.
On ne peut admettre que les racines >a*. Or f{a*) et f( 00 ) sont positifs ; pour qu'il y ait une position d'équilibre, il faut que la racine positive de Téquation dérivée soit > a et rende f{ii)<^o] cette double condition est comprise
dans rinégalité c^^ -a^yJZ. Si elle est vérifiée, il y aura
deux positions d'équilibre, et non quatre, parce qu'à chaque valeur de u il faut faire correspondre la valeur de z qui est positive. La pression exercée sur la courbe aura pour composantes
Elle est dirigée suivant la normale principale de Thélice, et, comme le reste, indépendante du pas.
1 1 . Tromper sur une sphère une courbe de nweau pour un point pesant, attiré vers l'extrémité d'un diamètre horizontal par une force réciproque au cube de la distance.
Prenons pour origine le centre de la sphère dont le rayon est a, et faisons passer Taxe des x par le point attirant \ les composantes de l'attraction peuvent se représenter par
Vc^ia — x) — J?c*jr
La condition d'équilibre en un point de la coiu*be cherchée
SUR Ll ICÉGAHIQDE RATIOVHELLB. l5
sera
Pc'
^^ r; [fa — x)dj: — ydr ^ zdz] — Vdz =1 o.
Or
(a — x)^ -4-^*-h3'= 2a(a — x) et xdx -h ydjr -hzdz = 0;
donc
/^a(a — xy
Les courbes cherchées sont à double coui-bure et se projettent sur le plan des x^ suivant des portions d'hyperboles équilatères dont une asymptote touche la sphère au point attirant. La pression sur la courbe se calcule aisément pour chaque point :
12. Position d'équilibre d'un point pesant assujetti à rester sur la sui^face d'un ellipsoïde dont le petit axe est vertical. Le point est attiré "vers une extrémité de l'axe moyen par une force proportionnelle à la distance, et qui serait égale au poids du point s'il était au centre de la surface.
Prenons pour axe des x le grand axe, Taxe moyen pour axe des y, l'autre pour axe des z] l'équation de l'ellipsoïde sera
Les composantes de la force qui sollicite le point x^ y^ z sont
X=— — , T— — P:i-— -, Zziz-P- — h h h
l6 RECVEIL d'exercices
Par suite, les équations d'équilibre sont, en multipliant
b par -
y — b zA-b
Ce sont précisément les conditions pour que la normale à Tellipsoïde en x^j^ z passe au point S dont les coordonnées sont o, i, — i. Le résultat pouvait se prévoir, car les valeurs de X, Y, Z montrent que la force attractive et la pesanteur se composent en une attraction aussi proportionnelle à la distance et émanant de S.
Les équations (i) se réduisent à une seule en faisant jr = o 5 mais on ne trouve alors que deux systèmes de valeurs réelles pour x^y^ z\ car on ne peut mener que deux normales à la trace de l'ellipsoïde sur le plan yz par notre point S qui est extérieur à la développée de cette trace. Dans Tune des solutions, la valeur de z est négative \ dans l'autre, positive^ comme la composante Z de la pression sur rellipsoïde est toujours négative, il en résulte que dans la première position le point est pressé contre le côté concave de la surface, dans l'autre, contre le côté convexe.
En supposant j:^ o, les équations (i) donnent deux nouvelles positions d'équilibre à Tintersection de l'ellipsoïde et de la droite
b^ __ bc'
Ces points sont réels si a*(a" — i i*) [o? — c-)->i* c*, a' — J-j*; le point y sera pressé contre le côté convexe de la surface; ■«n sorte que, si le mobile était posé dans l'ellipsoïde, il n'aurait qu'une position d'équilibre.
