MOUVEMENT DUNE FIGURE DANS UN PLAN
Da centre instantané de rotation.
99. Quand une figure plane se déplace infiaiment peu dans son plan, un de ses points reste immobile^ les vitesses de tous les autres sont normales aux droites qui joignent les points correspondants au centre instantané de rotation, et proportionnelles à ces mêmes droites. Le mouvement fini de la figure peut s'obtenir en la liant à une courbe Si, lieu de ses points qui doivent être successivement centres instantanés, et faisant rouler S sur la courbe S, lieu des centres dans le plan immobile. Les points où une ligne L touche son enveloppe sont aux pieds des normales abaissées du centre instantané sur la ligne mobile.
Le centre de courbure de la roulette décrite par un point de la figure mobile s'obtient par la construction de Savary ' (98), sauf à remplacer la roulante Si et la base S par leurs cercles osculateurs de rayon R| et R. Le centre de courbure de l'enveloppe d'une ligne L entraînée dans le mouvement s'obtient en appliquant la même construction au centre du cercle osculateur à L au point où elle touche son enveloppe. Soient n la longueur d'une normale menée du centre instantané I à un point M de L, (f l'angle de cette droite avec la normale commune à S et Si en I, px le rayon de courbure de L en M, |D celui de l'enveloppe de L^ on a, en supposant p compté de M vers I, pi en sens contraire, R
SDR LA MÉCAiriQUE EÀTIONHELLE . l57
et Ri opposés,
^ ' \n-hp, p-^n/ ^ R R,
Quand Tune des lignes change de sens, on change son signe, mais la construction de Savarj s'applique toujours.
Dans cette formule, la base et la roulante n'interviennent que par la somme de leurs courbures *, le premier membre n'est pas altéré si l'on change R et Rj, la somme de leurs inverses restant constante. Faisons, par exemple, R infini, avec Ri = a, et l'on pourra traiter pendant deux instants consécutifs le mouvement comme un mouvement cycloïdal-, a est dit rayon de roulement, et la formule (i), appliquée à la trajectoire d'un point M avec pi = o, donne
n — /zcosf
Prenons sur la normale aux deux surfaces roulantes en I une longueur II' égale à a ^ le point l' est le centre instantané du second ordre, et le cercle décrit sur 11^ comme diamètre est le cercle des inflexions. Soit P le point où IM rencontre ce cercle \ le rayon de courbure de la trajectoire de M est troisième proportionnelle à M P et à IM : ce rayon est infini quand M se trouve sur le cercle, c'est-à-dire que la trajectoire présente un point d'inflexion, d'où le nom du cercle, qui souvent est plus facile à déterminer que les centres de courbure de la base et de la roulante \ on peut ensuite en déduire le rayon de courbure d'une roulette quelconque. Enfin, si, dans la formule (i), on fait |9|^ infini, et si l'on
remplace 5- -i- ^ par -9 on a, pour déterminer le rayon R R| €t
de courbure de l'enveloppe d'une droite entraînée,
p — /i = acosf.
l58 RECUEIL d'bXBBCICES
Le centre de courbure est sur la circonférence symétrique de celle des inflexions par rapport au point I. Quand un polygone se déplace d'une manière quelconque, ses côtés enveloppent des courbes dont les centres de courbure sont à chaque instant sur un cercle passant au centre instantané du premier ordre.
100. Théorème de Bobillier. — Quand un triangle de forme in^fariable ABC [fi g' i^) se meut de manière que deux de ses côtés AB, AC restent tangents à deux cercles, l'enueloppe du troisième côté est aussi un cercle.
Soient E, F les centres des deux cercles donnés, G, H les points de contact avec AB, AC^ les points G et H du
triangle se mouvant pour un instant suivant les tangentes aux cercles, HE, GF sont normales à leurs trajectoires, et le centre instantané de rotation du triangle est à leur point de concours T. L'angle EIF est constant, n — A, en sorte que le lieu S de I dans le plan est un segment capable de îT — A décrit sur EF. TVaçons tout le cercle dont il fait partie, abaissons la perpendiculaire IP sur BC : ce sera une normale à l'enveloppe de BC, et elle rencontre le cercle EIF en un point O; mais l'arc EO est constant, comme mesurant deux fois l'angle EIO égal à B. Toutes
SUK LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. l5g
les normales à l'enveloppe cherchée passent en un même point O \ cette enveloppe est un cercle dont O est le centre. Le «dernier théorème du paragraphe précédent se vérifie. Enfin les normales aux trajectoires de A, B, C sont lA, IB, IC. Il est aisé d'avoir le lieu du point A, soit le lieu du sommet d'un angle constant qui glisse sur deux cercles. Par E et F je mène des parallèles à AB et AC qui se coupent en un point A'; les droites EA', FA' forment avec ABC une figure invariable, et LA' est un diamètre de la circonférence EIF, puisque lEA', IFA' sont droits. La courbe S^, lien de I par rapport à ABC, est un cercle dont le centre est A', le rayon lA' double du rayon de S. On sait que, si mi cercle roule sur un autre de rayon moitié moindre, en l'englobant, tout rayon tel que A^ A du cercle mobile passe en un point fixe sur le petit cercle ; de plus la distance AA' est constante, et le point A' reste sur le cercle EIP; le point A décrit donc un limaçon de Pascal.
101 . On donne {fig^ 1 6) un point O et une droite AB', un angle droit EMB, dont le côté MB est égal à la distance OA deO àBy se meut de manière que le point B reste sur
Fig. i6.
la droite AB et que le côté ME passe toujours en O, lieu du sommet M, sa normale, son rayon de courbure : déterminer les courbes qu'il faut /aire rouler Vune sur l'autre pour produire le moui^ement.
l6o RECUEIL D^EXBRGICES
Les triangles OAB, OMB sont égaux ; OM = AB, et, si Ton prolonge OM jusqu'à ce qu'il coupe AB en K, OKB sera isoscèle, OK = BK^ donc MK= AK, et le lieu de M est une strophoïde.
Le point B se déplaçant sur AB, le centre instantané I est sur BI perpendiculaire à AB; quant au point O considéré comme faisant partie du côté ME, sa trajectoire sera tangente à OM, et il suffira de mener OI perpendiculaire à OM pour achever de déterminer le centre I.
Les triangles OMH, HAB sont égaux*, donc OH= HB, et OHBI est un losange. Puisque OI == IB, le lieu S de 1 dans le plan est une parabole ayant O pour foyer, AB pour directrice. La même égalité prouve que, par rapport à la figure mobile, le lieu Si de I est une parabole dont le foyer est B, la directrice ME. Ce sont ces deux courbes égales qu'il faut faire rouler Tune sur l'autre pour produire le mouvement : la tangente commune en I est la diagonale IH du losange. Comme on n'a pas immédiatement les centres de courbure des paraboles, nous chercherons le cercle des inflexions pour arriver à la courbure de la strophoïde.
Le cercle des inflexions a pour diamètre une perpendiculaire à IH, et il passe au point B qui décrit une droite : il est aisé d'en conclure que son diamètre «est II' et que le centre instantané du second ordre est le point l' pris sur AB ; I' est aussi le centre du cercle de roulement. Comme les deux paraboles S, Si sont égales, et qu'on a
le rayon de courbure de la parabole qui a O pour foyer, AB pour directrice est âlI', et II' est la direction de la normale.
La normale à la strophoïde en M est MI \ le centre de courbure s'obtient à l'aide du rayon de roulement II' par la
SVft LA MtCAHlQUB RATIOlflIBLLV. l6l
construclion de Savarj*, on joint l'M qui rencontre en T la perpendiculaire en I à IM \ puis on mène en T une parallèle à n' qui coupe JVQ au centre de courbure C. Si Ton cherchait le point P où MI rencontre une seconde fois le cercle des inflexions, on aurait
On sait que le milieu du côté MB décrit une cissoïde, dont le cercle directeur a pour centre A et pour rayon
- MB ; on aura par là un moyen de trouver le centre de
courbure de la cissoïde.
102. Étant donnés {fig^ 17) deux cercles égaux qui se coupent à angle droit, une droite AB égale à la distance
Fig. 17.
des centres O, O' se déplace de manière que ses extrémités glissent sur les deux cercles; lieu du milieu M de AB, centre instantané, raj-on de courbure; mouvement général à' me bielle.
Soit a le rayon des deux cercles ; 00'= AB ^^a^JoL. Les triangles OAB, OO'B sont égaux, comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun^ donc OAO'B est un trapèze ^scèle. OM étant médiane dans le triangle OAB, nous
Di S.-G. — Bec.
l62 RECUEIL d'exercices
avons
2 0m' = oaV Ob'— 2Am'= obV
On démontrerait de même que aO'M = O'A ; donc
Le trapèze OAO^B étant inscriptible, on a (théorème de Ptolémée)
OB.O'A = 00'.AB — 0A.0'B=2a'— tf»;
donc enfin
