MOUVEMENT D'UN POINT LIBRE

MonTement rectiligne.

117. Soient m la masse d'un point matériel se mouvant en ligne droite, F la force qui le sollicite suivant cette droite, x sa distance à un point fixe pris sur la droite, u sa vitesse à l'époque t^ on a les relations suivantes :

«fjr F __ ^i' d^X d^v dt m dt dfi dx

Qa oa donne entre F, t, x et v une relation qui caractérise le problème avec les circonstances initiales, on est ramené à Yme simple question d'Analyse.

118. MouxfemenL d'un point matériel M tiré du repos par une action attractii^e émanant d'un centre fixe O et inversement proportionnelle au cube de la distance. (Licence, 1860.)

Le mobile reste sur la droite qui va de O à sa position initiale A. Soient OM = x , OA := a , mfA* l'attraction i IWté de distance^ l'équation du mouvement est

dO '^ ;r»'

ipa KEGUEIL D EXERCICES

inultipiions par aaj:, ou remplaçons — - par — -— j on a rintégrale des forces vives

d'où

riz xd.r yi

(2) ~ =:^dt.

On prend d'abord le signe — , parce que x commence par décroître, et Ton a l'intégrale seconde

(3) v^:rp=^'.

La constante d'intégration est nulle, puisque ar — x^ csl nul pour t = o. Cette intégrale ne peut être constammeni

vérifiée, car elle exigerait que t ne dépassât point —3 ce

qui serait absurbe; elle est du moins vraie jusqu'à ce que t atteigne cette valeur avec a: = o, car jusque-là (a) ne donne pas de difficultés. A cette époque, M arrive en O avec une vitesse infinie et se trouve soumis à une force infinie : il v aurait de l'indétermination*, mais il est naturel d'admettre que M dépassera O et que l'intégrale des forces vives aura toujours lieu. En n'étudiant que le mouvement défini par cette convention, on voit que, x devenant négatif, il faudra prendre le signe 4- dans l'équation (2), et l'on aura une nouvelle intégrale avec une constante indéterminée

(4) — v^a»— jr'=:i — -Î-C.

La constante C n'est plus nulle ^ quand M est venu en O,

a} X est zéro et t == — ; donc C = — aa, t étant toujours

SXTR LÀ MÉCAKIQUE RATION 19 ELLE. IQ3

compté k partir de Torigine du mouvement ; daus sa seconde période, le mouvement est donc défini par la loi

Cette nécessité de changer non-seulement le signe du radical qui entre dans l'intégrale, mais aussi la constante arbitraire, ne se rencontre pas généralement, témoin le mouvement d'un point attiré proportionnellement à la distance : cela tient à ce que, lorsqu'il y a à changer le signe d'un radical dans l'équation difierentiellc , le radical est ordinairement nul, ainsi que le terme qui en résulte dans l'intégrale, et celle-ci n'offre pas de discontinuité à laquelle on est forcé de parer à l'aide d'un changement de constante arbitraire. J'en aurai un exemple en suivant encore notre mobile^ l'équation (5) montre qu'il parcourra une distance

0A'=: a en sens contraire de OA dans le temps — ; alors

a: = — a, et (a) prouve que dx doit devenir ]> o, et le radical reprendre le signe — ; le retour de A' vers O serait défini par l'équation

Comme on a x = — a avec t = - — ^ C est égal à — la,

et la troisième période du mouvement est définie par la loi

f ut

il suffit de changer le signe du radical dans l'équation ( 5) ^ mais, quand nous repassons au delà de O vers A, le radical doit changer de signe sans s'annuler : nous revenons à la

(orme d'intégrale (4), or ici x est nul avec ^= — ; il

De S.-G. — Ree. 1 3

194 RECUEIL D^EXEEGIGES

iaut que C soit — 4^9 ^^ la loi du mouvement jusqu'au troisième passage en O est donnée par la formule

zp sjo}— a^z=z — 4^"^ ~î

alors nouveau changement de constante, et ainsi de suite.

H9. Mous^ement d'un point M attiré vers deux centres fixes OetQ awec des intensités im^ersement proportionnelles au carré des distances, le mobile restant sur la droite OC , ce serait le cas d 'un corps se moui^ant entre la Lune et la Terre,

Prenons le point O pour origine et la masse du mobile pour unité. Soient OC = c, a et 4 les distances respectives auxquelles les attractions de O et de C sont égales à g. Dans le cas actuel, c'est Téquation différentielle du problème qui change selon la position du mobile : si celui-ci est entre O et C, on aura

Quand le mobile est au delà de C ou de O, on a respectivement

Plaçons-nous dans le premier cas, et soit Vo la valeur initiale de s^ pour o: = x© : on a pour intégrale première

La seconde intégration qui donnerait t en fonction de x conduit à une intégrale elliptique 5 mais il suffît de discuter les valeurs que ^ peut prendre pour se faire une idée nette du mouvement. En égalant ^'^ à zéro, on a une équation du

SUA LA HÉCÂlflQUE KÀTIOKNELLE. igS

second degré, outre la solution x = ±: x) ; quand x est très* près de zéro ou de c, y(x) est > o ^ il faut voir si l'expression peut devenir négative, et pour cela substituer la valeuï' Xj qui annule /'(x) 5 on a

iW ^1 __ g — -^1 g

Si cette valeur est ]>- o, le mobile ira sans s'arrêter depuis son point de départ jusqu'à O ou C, selon le sens de la vitesse initiale, dépassera ces points avec une vitesse infinie, et son mouvement sera déterminé par une des deux autres équations qu'il faut substituer à (i) en dehors de l'espace OC. Supposons, au contraire, /'(xi) <^ 05 si le mobile est lancé dans la direction de O vers C, et si x^ <^ Xj , le mobile s'arrête pour la plus petite valeur de x qui annule i^*, puis il revient vers O qu'il dépasse avec une vitesse infinie. Le cas limite est celui où f{xi) est nulle; on peut alors transformer l'équation (2), en retranchant du second membre y (Xi) qui est nulle; en tenant compte de (3), on a

dt* cx[c — x)

On n'a qu'une irrationnelle du second degré; mais, sans expliciter l'intégrale, on voit que x variera de x© à x^ pour n'atteindre cette valeur (ju'après un temps infini. Examinons l'hypothèse où les points O et C seraient les centres de la Terre et de la Lune; a est le rayon terrestre, soit

636o kilomètres; b est environ -a, c= 60a. Imaginons

que x^ soit égal à a; pour que le mobile atteigne la position de repos correspondant à x = X| = 54 a, il faudrait

tg6 RECUEIL d'exercices

le lancer avec une vitesse telle que

»; = 2ga ( I -h 5 = s ^ ) > t'. = 7000 met.

env.

Avec une vitesse moindre, le point retombera sur la Terre.

120. Mouvement vertical d'un point pesant, en adinettant qu'il éprouve dans l'air une résistance proportionnelle au cube de la vitesse.

Supposons que le corps monte, l'équation de son mouvement sera de la forme

(•) Tt=~«-n-'

Séparons les variables et décomposons en fractions simples :

^gdt SX-'rfp dv (p— ^k)dv

X """^ if^-hp" """"ji-hX- "^ j,a ^,/ -f. >t» *

Zgt __ [ç^^k]\Jv^—s>k'^ /•'

Jl arc tang —7; ^7^ 4—

djf!

Si dans (i) on remplace dt par — -^ on en tire

3gdr 3 kvdv dv f <' -4- X* ) dv

d*où

X» X^»-4-i^ i'-f-X p>— pX^h-^*'

^' "" {p.-hX)v/f' — pX-f-X»

V 3 arc tang —7; y-, ^—-7

^ *'2X«— X-(p-4-P,)-f- 2PP«

SITU LA MÉCAiriQUE RATIONlfELLE. I97

D suffit d'éliminer u entre (a) et (3) pour avoir une relation entre x et t^ et il y aurait avantage à remplacer ces équations par leur somme et leur différence. Le résultat est compliqué ^ mais, si l'on donne à u des valeurs arbitraires entre (/q et zéro, on aura autant de valeurs simultanées qu'on voudra de t et de or ; en faisant i^ = o, on trouve, pour la position la plus élevée du mobile,

x= — (h^L^ Î-- h v'S arc tang -fî^ — ).

Le cas du corps descendant se déduit sans peine du premier en changeant g en — g^, Ar en — h\ on trouve qu'avec le temps \f s'approcbe de plus en plus de A:, et que x croit indéfiniment.

Pour voir ce que devient t quand on fait k infini, écrivons-le ainsi :

/=--| -L h -L r H-V^arctang -— ^~

La partie qui reste finie est •, un développement ana-

logue donne -^ pour les termes finis de la valeur de x\

mais, si Ton voulait avoir Iovlx^tl série ordonnée suivant les puissances négatives de Ar, il vaudrait mieux ordonner de la même manière réquation différentielle primitive-, ainsi pour t

Sclt = ; = dv -J^ ; -7- H" . • • j

et l'on intègre aisément.

I9S EECUEIL d'exercices

121 . Un point matériel est attiré "vers un centre fixe O as^ec une intensité fonction continue de la distance, et il se meut dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse; déterminer la loi d'attraction de manière que le mobile partant du repos arrive en O dans un temps T indépendant de la distance initiale a. ( W. Walton.)

Soient y (x) la fonction cherchée de la distance x, kv^ la résistance de Tair ;

Faisons

Jo Soit a la valeur de u qui répond k x =-a] on a

X Jo •/o

On n'a qu'à intégrer la valeur de dt tirée de (1) pour avoir

Jo S/OL — U

o V'^ changeons de variables en posant u = az^ nous aurons

r^ )fôif^[7.L]dz r^ \fôïz.9{az)dz

Jo v/i— « Jo )/z — z-

Pour que T ne dépende pas de ce, il faut que ^'azrf{az) soît une constante ; autrement elle serait croissante ou décroissante tant que la variable az serait comprise entre zéro et une valeur finie h. Donnons à a deux valeurs différentes

8UB LA MÉCAHIQtJE aATIORNELLE. I99

moindres que h\ les éléments de l'intégrale dans un des cas seront tous plus grands ou plus petits que dans l'autre et T ne sera pas constant. On a donc

La seconde équation (2) devient

la constante d'intégration étant choisie de manière que u s'annule avec x. En diâerentiant la première équation (2),

^e'^f[x)dj:=zdu=zer**dx^ = tf "** ^rr^—dx,

d'où

Quant au temps de la chute, c'est

\dz

=:itX.

Lorsque k est nul ou qu'on néglige la résistance de l'air, on voit sans peine que f{x) se réduit à -^•

Mouvement curviligne.

122. Ce mouvement se détermine d'une manière générale en exprimant que les diverses composantes de l'accélération, multipliées par la masse du mobile, sont égales aux composantes analogues de la force motrice qui agit sur le mobile. On a, pour déterminer les trois coordonnées en fonction de ^, trois équations différentielles du second

aOO RECtlEIL D EXE11CICE8

ordre ^ rintégration donne six constantes qu'on détermine à l'aide des valeurs initiales des coordonnées et de leurs dérivées par rapport au temps. Il sera souvent utile de considérer l'intégrale des aires et celle des forces vives quand elles ont lieu.

Je rappelle dès maintenant une proposition générale qui est vraie pour un système matériel placé dans des conditions quelconques : un problème de Dynamique n'a qu'une solution ^ un système placé dans des circonstances données prend un mouvement nécessaire et fatal. Si donc on trouve pour les différents points une loi de mouvement qui satisfasse aux équations différentielles du problème et aux conditions initiales, le problème est résolu : le mouvement possible est seul possible.

123. Mouvement d 'un point attiré vers une droite fixe par une force ins^ersernent proportionnelle au carré de la distance et ayant une vitesse initiale a parallèle à cette droite.

Le mobile reste dans le plan qui passe par sa position initiale et la droite attirante*, prenons celle-ci pour axe des Xy et une perpendiculaire par la position initiale pour axe desj^', les équations du mouvement sont

intégrales premières :

res :

d^r c" dO ~ /»'

éliminant rft, on a, pour la trajectoire,

àx V «'jjû "~ « V /• V y

SUR LA MÉCAiriQUE RATIOHIïELLB. aOI

Si Ton avait = i, la trajectoire serait un arc de cy-

cloïde, sinon c'est la courbe déduite de cet arc en dilatant

les abscisses dans le rapport de a^j o à y^ac*^ le temps que met le mobile pour arriver à la base est

Par raison de symétrie, le mobile passera au-dessous de la droite en gardant sa vitesse parallèle à OX, et décrira une cycloïde dilatée, égale à celle dont il a décrit une

moitié.

124. Moui^emenl de deux points qui s attirent propor^ tionnellement à leur distance et à leurs niasses, et dont l'un est libre, l'autre obligé de rester sur une droite fixe. Cas ou la niasse du point libre est triple de la masse du second, et oà la droite fixe exerce un frottement, les vitesses initiales des deux points étant nulles, (Licence, i865.)

Prenons la droite fixe OA pour axe des x avec deux autres axes rectangulaires j soient fz la masse du point assujetti à rester sur OA, m celle du point libre, s Tabscisse du point h ^t^i « les coordonnées de m, c' le coefficient d'attraction pour deux unités de masse à Tunité de distance. Les équations du mouvement s'écrivent immédiatement, en divisant parles masses.

df" ^ -'' dt^

Les deux dernières sont des équations linéaires du se

aoa RECUEIL d'exercices

cond ordre à une seule inconnue et à coefficients constants; leurs intégrales ont une forme connue

y = Acosct^ -h A'sinc/y^, a = B co^ctyj^ -f- B' sincf ^p.

On pourrait les écrire sous la forme équivalente

^ = acosc^fA(/ — a), z z=z b c<ysc ^ it,[t — p).

Il en résulte que m se meut sur un cylindre elliptique dont Taxe est Taxe des x^ la projection de son rayon vecteur sur le plan yz décrivant des aires proportionnelles au temps ;

la durée d'une révolution est ■

Cy^

Quant aux deux premières équations ( i), je les remplace par les deux combinaisons suivantes :

^ dt^ dt' ' df" dt^ ^ ' ' ^ '

Les intégrales ont encore une forme connue

lis -^ mxzzzQ -f- G'r,

X — j = H cosct^m -f- p -h H' sinct^m -h fi.

La première exprime que le centre de gravité de (a et de m projeté sur OX se meut uniformément^ les valeurs de s et X prouvent que ces points oscillent autour de ce centre

air

de gravité dans un temps -

Dans le cas particulier proposé, je prends pour origine la position initiale O de fz, et pour plan des xy celui qui passe par la position initiale M de m-^^G fais <jl = i , m = 3. Le point m ne sort pas du plan des xy. Quant à fx, il éprouve de la part de m une attraction dont la composante suivant OX est 3c* (j: — j), et la composante normale 3c'j^; celleci est détruite par la rigidité de OX, mais elle donne lieu

SUA LA MéCA»IQUE RATIOBITELLE. ao3

à une force de frottement en sens contraire de la vitesse de fi et égale à la valeur absolue de 3c*^. Les équations différentielles du mouvement seront d'abord

fit g.

Soient a el b les coordonnées initiales de m, {b^o)\ réqoation (4) admet pour intégrale

j = A costf^ H- B sincr;

mais, comme pour t = o, on a j^ = 6, — = o*, u vient

A=:ft, B = o et j = 6 cosc^

Dans l'équation (a) je remplace j^ par cette valeur; puis, en l'ajoutant à l'équation (3) multipliée par 3 ou en la retranchant de la même équation, je forme les combinaisons suivantes :

dt^

= — ^c^[x — 'f) -H 3c'/6 cosc^

Intégrons, en tenant compte de ce que, pour t = o, on a

5 -+- 3a: = 3ycoscr-i- 3 (a — 6/), X — sz=i bfcosct -f- (a — bf) co%2.ct^

304 BECUBIL d'exercices

d'où

5= 7 (a— ^/)(i — cos2cr),

X =z j[a — bf) -h b/cosct -h y [a — bf) cos^ci.

Ainsi j^ diminue d'abord jusqu'à devenir nul pour t = — i

et, dans la même période, s augmente de zéro à - (rt — bf).

Mais il faut porter notre attention sur l'équation (2), où entre la force de frottement 5 elle est écrite dans Thypo-

thèse ou j^ et -7- sont positifs. Quand Tune des deux quantités changera de signe, il faudra dans cette équation changer le signe de ijc*j\ il en résulterait de la difficulté pour suivre les points dans la suite des temps*, ici les données

ds sont tellement choisies que y et -j- changent de signe en

même temps, en sorte que l'équation (2) sert encore pour le retour de /x vers le point O 5 t croissant de — à - » 5 revient à zéro, jr va de zéro à — i, et x arrive à la valeur finale a — ^bf] alors met fi sont immobiles, et nous nous retrouvons dans les conditions initiales, sauf le chani^cmenl de a en a — 2 bf. L'équation de la trajectoire du point m s'obtient en éliminant t entre les valeurs de x et de ^ :

C'est une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe des x, et le sommet a pour coordonnées

,__ d^-^iahf , h^f

ïï» r=—

le paramètre est -

SUR LA HÉCAiriQUE RATIONNELLE. ao5

Une condition indispensable pour que les choses se passent comme il vient d'être dit, c'est qu'au départ la composante suivant OX de l'attraction subie par le point [i soit plus grande que la composante normale multipliée par /-^ cela revient à dire que a — bf soit ^ o, sinon fi ne bougerait pas, et m se mouvrait sur la droite OM. Quand m sera arrivé à l'extrémité de l'arc que nous lui avons vu parcourir, si û — ai/* — bfona — 3 i/est encore > o, ^ se remettra

en marche pour une excursion d'amplitude - (a — 3 bf)^

et m parcourra un arc de parabole dont l'extrémité finale aura pour coordonnées a — ^bf ex,b \ \i. fera i excursions, tétant le plus petit nombre pour lequel

a — (2/-f- \)hf<Z,o\

ensuite fx sera immobUe et m oscillera en ligne droite de part et d autre de O, sa distance r étant réglée par la formule

/•=:r, cosrf.

On aura un problème facile en prenant notre cas particulier avec y = o.

125. Mouvement plan d'un point matériel M attiré ep, raison directe de la distance par un centre d'action C (fui parcourt un cercle avec une vitesse angulaire constante w, cas ou r attraction est égale à la distance multipliée par w*, et oà M est primitivement en repos au centime du cercle.

On écrit de suite les équations du mouvement, où les lettres ont un sens bien clair,

d^ jc d^ Y

— = ^>{Rcos»r— x), ^ = fx»(Rsin»/— ^). Les intégrales donnent la position du mobile à chaque

2o6 RECUBIL D^EXEUGICES

instant :

a:= -~ -cosw^ + Acosur-h Bsinctr,

r = -;: -sinwr -hCcosut -husinat.

On peut se faire une idée nette du mouvement de M en imaginant un point P dont les coordonnées seraient

j?, =r -f -coswf, 7,= -^ -smw/;

ce point parcourt un cercle concentrique à Torigine et de

rayon — ^» avec une vitesse angulaire (ù. Par rapport à

ce point P, les coordonnées de M sont

(2) 5= a: — jr, = AcosfA^-l- Bsinfif, >i = Ccosftf -h Dsinfxf.

L'équation de la trajectoire relative est celle d'une ellipse

(3) (Au — CÇ)^-f- (Bu — DÇ)'= (AD — BC)».

M parcourt cette ellipse avec une vitesse aréolaire constante, tandis que l'ellipse a un mouvement de translation, tel que son centre décrit uniformément un cercle de rayon

R'= -^' L'ellipse (3) devient un cercle si

AC-+-BD=:o, A'-hB»=C»-l-D% d'où ^— — l=±i.

Pour interpréter ces relations, je désigne par r la grandeur initiale de PM, par 6 son angle avec OX, par sv la vitesse relative initiale de M, par cp l'angle de cette vitesse avec OX -, les équations ( 2 ) montrent que

A=rcosO, C::=rsinO, B=:-cos«, D= — sin«:

SUR LÀ xécAMIQUE RATIOIINELLE. ^Oy

donc

taDg9== — coty, w=.^7\

la vitesse relative initiale est perpendiculaire à la droite PqMo et égale à cette droite multipliée par fx. M se meut

comme s'il était lié à un cercle de rayon 9 roulant intérieurement ou extérieurement (selon le signe admis dans les dernières relations ) sur un cercle de rayon R' ( 1 ± - j •

L épicycloïde décrite par M sera allongée ou raccourcie

selon que r \ — • On ne pourra, toutefois, avoir le mouvement donné par le roulement d'un cercle dans un autre de rayon double^ car il faudrait o) = |x, et, pour ce cas, les intégrales (i) ont une forme illusoire^ c'est le cas particulier proposé, n est permis d'écrire les équations (i), dans le cas général, sous la forme

H- A' cos^f 4- B sin|Ar,

cos«>^ —

'COS^t

sin«r —

ÛXï\Lt

Que [L tende vers cr>, il est aisé de trouver la limite de ces expressions

x= -R6»/sin«>/ + A'cos»^ -t- B siuttf,

Y = Rwfcosw^ H- C'cosûo^-4- Dsin6»r.

Le mouvement est celui d'un point se déplaçant sur une ellipse analogue à l'ellipse (3), mais dont le centre décrit une spirale d'Archimède avec une vitesse angulaire con-

ao8 RECUEIL D^EXERCICES

stante od. Si au début x, y et leurs dérivées sont nulles, on connaît les constantes, et il vient

X = - R«i>rsinb>f, y ■=. Rwrcos»^ H — Rsinw/.

Le point M peut être regardé comme oscillant sur une droite de longueur R, qui reste parallèle à Taxe des j, tandis que son milieu décrit une spirale d'Arcliimède dont

l'équation serait r ^:=z -[^-^ — j-La courbe que décrit M

présente à Torigine un rebroussement où la tangente est l'axe des x, puis le rayon vecteur grandit constamment^ car son carré est

7 R'(«*/* — ifùi slnurcosttf + sin'wf );

la dérivée de cette expression est R*û)*£sin*€0£, toujours positive.

Le milieu P de la droite sur laquelle oscille M est tou-

jours dans un azimut en arrière de - sur celui où se trouve

le centre d'attraction G \ mais on a un exemple bien remarquable de la modification profonde et singulière qu'un fait analytique peut apporter à un mouvement.

1S56. Un corps pesant est soumis à l'action d'une force ^variable, mais toujours tangentielle ; déterminer la loi de cette force de manière que la vitesse soit constante] trajectoire du mobile.

Ce problème s'appliquerait, dans une certaine mesure, à une fusée lancée dans l'air.

Prenons pour axes des x et des j- l'horizontale et la verticale du point de départ, et désignons par a l'angle de la vitesse avec l'horizon, par a la grandeur constante de cette

SVA LA MéCAJflQUE RÀTlOniTELLE. 20g

vitesse et par F la force inconnue. La trajectoire est contenue dans le plan vertical qui passe par la vitesse initiale. Projetons les forces qui sollicitent le mobile sur la tangente et la normale à sa trajectoire; on doit avoir

F — mgsinoL = o. m— = mg^cosa;

la première fait connaître F et la seconde donne, f étant la valeur initiale de tf ,

a' dscosoL dx «' . gx

— = pCOSa= ; = — j x-=. — (• — a], a = 9 — = — •

ensuite

dy ( g.r\ «' ^'(f-Ç)

Le mobile s'élève d'abord, atteint une hauteur maximum

— Lsécç pour x = — -9 puis redescend indéfiniment et

devient asymptote à la droite x=:— (yn — j; la courbe

est symétrique par rapport à la verticale du sommet. Résolvant son équation par rapport à (p, on trouve

y y fi'tî? • £^X

e^* ^= cos ^ -h tangf sin — ;

on en déduit l'angle de projection nécessaire pour que la trajectoire passe en un point donné, x est nui poiu*

^ = 2 — y 5 le jet est maximum pour cj> = - • La position du mobile à chaque instant se déduira de la relation

-r = a cosa

Ob S.-G. ^ Bec, i4