Mouvement d'un point pesant sur un plan incliné dépoli

La pesanteur se décompose à chaque instant en une force m^sini, dirigée suivant la ligne de plus grande pente, et une force normale au plan, qui donne lieu à une force de frottement mjgcosi^ dirigée en sens contraire de la vitesse du point. Ces forces ont des valeurs constantes, que je dé-

signe par my et mny^ n est égal à -^ ,'^ elle est donc ^i,

selon que Fangle de frottement est supérieur ou inférieur à l'angle du plan avec l'horizon. Nous avons un cas particulier du mouvement d'un projectile dans un milieu résistant, où l'on supposerait la résistance constante.

Prenons pour axe des x l'horizontale du point de départ, pour axe des^ la ligne de plus grande pente, en remontant^ désignons par 9 l'angle de la vitesse avec l'axe desj^ et par a la valeur initiale de 0^ la vitesse u a d'abord la valeur a. Projetons les forces qui sollicitent m sur la tangente et la normale, et divisons par m :

II) -— = — 7cos0 — /17, -=7sinO;

^ ai p

' . ds vdt j

mais û = — = — ; donc

^ d^ dO' ♦

pdB

7sinO

Remplaçons dt par sa valeur dans (i), nous en déduirons

dv ^ ^^ ndB sina /tang|a\»

^ ^ V smd smd \tang|0/

L'équation (2) montre que 6 va sans cesse en augmentant, sans que (> s'annule, jusqu'à d = 7r^ l'équation (1)

prouve que, si a est <^ -» j' diminue d'abord jusqu'à ce

SUR LA MÉCAZIIQDB RÂTIOBHELLB. ail

qu'on ait cos0= — n. Nous ti*ouvoiis tout de suite une division essentielle dans la discussion du problème, selon que R est ^ I . Dans le premier cas, u ne cesse de diminuer, et ré(]uation (3) nous montre que, pour 6 = ir, i/ = o •, le mobile s'arrête donc en un certain point et il y reste immobile, car l'hypothèse est précisément que le frottement est plus grand que la force accélératrice. Au contraire, pour n <C 1 1 V passe par un minimum et augmente ensuite indéfiniment quand 9 s'approche de tt. D'ailleurs la formule (2) nous donne la relation, entre 9 et t.

asmatang"ya

7 sin'ô tang"-|-6

Pour abréger l'écriture et avoir une intégrale plus simple,

je pose

- sma tang" - a = ac, tang- 0 = 1/,

et je désigne par e la valeur tang - a. Nous aurons

Selon que n sera ^ i , quand 9 sera égal à ir ou u = 00 , t prendra une valeur finie ou croîtra indéfiniment^ le temps au bout duquel le mobile s'arrête, dans le premier cas, est