CI CI
Nous calculerons dx et dy par les relations
«=ptff8mô=— sin^atane*"-a ^-— :-n=2yc' du.
7 ® 2 sm»Otang*"-^ô ' uV^^
dx^pdtcosB=fc* —Es* *'"'
d'où
^ ' ^ 2/I-hI \f'*^' «*"-^7 2/Z — I\I»»-» «"-7'
X gardera une valeur finie tant que n sera ^ -9 j^ ne sera
fini que si /i > i ; donc, quand /i esl ^ i , le mobile s'arrête en un point dont les coordonnées sont données par les formules (5) et (6), où Ton fait u infini; quand n est compris
entre i et -9 la trajectoire a une asymptote verticale à une
distance donnée par Téquation (5); enfin, si nS-j la tra-
jectoirc présente une branche parabolique. A gauche de OY, on peut supposer que la courbe définie par les équations (5) et (6) soit prolongée : on trouve que, pour i/ =0,
X (il y sont infinis, -- ayant une limite infinie; il y a donc
toujours de ce côté une branche parabolique à axe vertical. Les résultats obtenus pour le cas où la résistance du milieu es^ ki^ sont notablement modifiés.
Elans le cas de n = i, les équations (3), (4)9 (5), (6) deviennent
/8in|a\» c [ i i\ ^ u « . , i
y = fl( ... 9 r=-{-- : -hcL-» c = -sm*-a,
ysinyôy ?. \«' U'J I 72
L'élimination de u entre ;r et^ est irréalisable; mais on n'en voit pas moins clairement la forme de la trajectoire, branche hyperbolique à droite, branche parabolique à gauche. Pour 6 = TT, la limite de u est a sin' - a.
Sm LA MÉCAIÏIQUE RATIOIVNELLE. 21 3
128. Moui^ement d'un point matériel M attiré vers un centre fixe O par une force -j" ^ '' étant la distance OM, c une constante; la distance initiale est a, la vitesse ini-
Cl*
iiale — fait l'angle aigu a ai^ec la droite MO ; enfin le
centre O est entouré d'un milieu non homogène exerçant
, . , 3mcosoL , une résistance mesurée par 1^'.
Soit yi l'angle de la tangente avec le rayon vecteur ; on aura
rdB , dr ds dr
tangf* = — - , dsz=z. , p =
dr costt ^ dh-^diL . dr
* sin^ h cos|A^fA
Projetons les forces sur la tangente et la normale a la trajectoire, qui est évidemment plane, et divisons par m^
. . dv d^i^ r* St^cosa «'^ r' .
^ ' dt ds c^ ^ r p cl '^
La seconde donne, en remplaçant p par sa valeur,
..(,+,cot^^)
La première équation (i) peut s'écrire
d.v^ 2r' Gf'cosa
dr c*
COSpi
On y remplacera j'* par sa valeur tirée de l'équation ( a), et -^ par la valeur obtenue en diiTérentiant cette formule^ il
ai4 RECUEIL d'exercices
vient, après réduction,
d^yi i-h sîna fA rf/x* 6 cosa -+- 7 cospi d'j,
6sina , ,
= — r- (cosa + costt).
r*cos»ft ^^
On ne peut intégrer cette équation ; mais, comme on aperçoit l'intégrale particulière cos/x = — cosa, yL = it — a, on devra essayer si elle peut vérifier les équations (i) du problème, en tenant compte des conditions initiales. Or les équations (1), ou leurs transformées (2) et (3), donnent, par fx = ir — a,
d,v^ tr* 6r'
c' dr c* /• '
la seconde est conséquence de la première et elles sont compaliblcs; |x étant constant, la trajectoire est une spirale logarithmique, et la loi du mouvement est donnée par la formule
r' dr ï T ^cosa
c dt cosa. r a c
Ainsi le mouvement donné par l'intégrale particulière satisfait à toutes les conditions du problème; il aura donc réellement lieu.
Forces centrales.
Quand la force qui sollicite un point passe constamment par un point fixe, la trajectoire est plane, le principe des aires a lieu, et les simplifications qui s'offrent dans la valeur de l'accélération se reproduisent quand on considère les forces. Si la force motrice rencontre toujours une droite fixe, c'est pour la projection du mouvement sur un plan perpendiculaire à la droite que le théorème des aires est vérifié.
SUR LA MÉCAlflQDE RÂTIOH19ELLE. ai5
129. Mouvement d'un point attiré vers un centre fixe C avec une intensité proportionnelle à la distance; étudier les variations de la trajectoire quand on change la direc^ tion de la vitesse initiale.
Prenons pour origine le point de départ, pour axe des z la droite OC, et pour axes des x et des^ deux droites quelconques passant en O. Les équations du mouvement ont une forme bien connue
Je désigne la vitesse initiale par X|x, et ses composantes suivant les axes par Xfxa, X^x^, Xfxy ^ les intégrales di:^ problème sont
x = >asinp./, ^=:Xpsinfx^, z = c(i — cosp/) -4- XYsiiifir. Les équations de la trajectoire s'obtiennent en éliminant f
On reconnaît une ellipse passant en O et ayant son centre en C.
Cherchons le lieu i'ormé par les trajectoires quand ou suppose la vitesse initiale constante en grandeur, mais prenant toutes les directions dans un plan donné. Je choisis ce plan })our plan des xy^ je prends la projectioi^ de OC pour axe des x et une perpendiculaire pour axe desj^^ on aura
7 = 0, a»-hp«=l.
L'élimination de a, P, y entre ces relations et les équations (i) donne
La surface formée par les trajectoires considérées est un
ai6 RECUEIL d'exeegices
ellipsoïde dont C est le centre, O un ombilic^ le plan donné le touche en O, et le plan ZOX est principal.
1 30 . Mouvement d ' un poin t M sollicité par deux forces émanant d'un centre d'action O, l'une, attractive, pro* portionnelle à la dislance, l'autre, répulsive, en raison inverse du cube de la distance. Cas ou, à l'instant initial, la vitesse est perpendiculaire à la droite qui passe en 0, et les deux forces se font équilibre, (Licence, 1869.)
Le mouvement a lieu dans le plan qui passe par 0 et par la vitesse initiale; en prenant O pour pôle et employant la valeur de raccélération qui convient dans le cas des forces centrales, où r*rfô = c*rf«, nous avons
dr ^ r»
Multipliant par a^r, on en déduit l'intégrale des forces vives
Désignons par e l'angle de Tq et de i^o 9 on a
€^z=i 7*0 ('«sine;
si l'on divise l'équation précédente par r*, on peut récrire
SI dr* I
Le second membre est positif pour r=ir^^ mais il devient négatif quand r est très-grand ou très-petit; r doit donc rester entre deux limites a et &, et, quand elle les atteint,
BVK LA MÉGÀIÎIQDB UÀTIOVHELLE. 217
dr est nul ; la vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur ^ les valeurs correspondantes A et A de cette vitesse sont telles que oA = i/r = c* = To i^o sin«.
Si Ton prenait pour origine des temps l'époque où le rayon vecteur atteint un de ces maxima ou un de ces minima, l'équation des forces vives garderait la forme (i), où
l'ou ferait r© = a, i^o == ^^ ' = - »
Posons, pour simplifier l'écriture, X* -4- a* A* = n^a* :
[rû^^^a^Y
Nous prendrons — pour inconnue, et, en admettant qu'elle
commence par décroître, c'est-à-dire que a soit un minimum, nous aurons
— rfO = -=========== — -^1:^3:;-^.
£n supposant 0 = o pour r = a, on aura, sans constante
d'intégration.
—7- = arc cos h
doù
p; -7 = -1 cos» -p -f- ~ sm« -7-
Cette courbe est comprise entre deux cercles concen-
ai8 BBGUBIL D*EXEnGICES
triques au pôle et ayant pour rayons a et -; l'angle d'un rayon vecteur minimum avec le maximum qui suit est
moindre que -; la courbe est fermée et algébrique si -
est commensurable. II est aisé de voir que, en appliquant
le plan de la figure sur un cône droit dont le demi-angle au
sommet ait pour sinus -» le pôle étant au sommet du cône,
la transformée de la trajectoire se projettera sur un plan
perpendiculaire à Taxe du cône suivant une ellipse dont les
. . ah h
demi-axes sont — et - •
n ft
La trajectoire se réduirait à un cercle si le maximum et le minimum de r étaient égaux, a/x = n ou fL*a*=X*-+-a'/i'. Il faudrait que la vitesse initiale fût perpendiculaire au rayon vecteur et moyenne proportionnelle entre ce rayon et l'accélération du mobile à cette époque^ c'est la relation qui existe constamment dans le mouvement circulaire uniforme.
La trajectoire présente un point d'inflexion lorsque la
valeur de r pour laquelle l'accélération serait nulle -~. est
fi
comprise entre les limites a et - entre lesquelles varie la
f* distance du mobile au pôle.
La loi du mouvement sur la trajectoire est donnée par le principe des aires
— dû rVe ah
dtz=z =
a* h rO h
adQ
I H r- tang' -r- h cos* -7-
Sun LA MÉCANIQUE &ATIOXr»BLLE« arp
L'intégrale devient, en faisant t=zo pour 6 =: o,
tang-T- = — tangfAf.
Le temps employé pour décrire l'arc compris entre un
maximum et un minimum de r est — et ne dépend point
de X.
Dans le cas particulier proposé, X^ est égal à fA'a^^ on prendra la forme (2) pour l'intégrale des forces vives, a représentant le rayon vecteur initial, h la vitesse initiale^ n' sera égal & fA*a'+ A', mais la trajectoire sera toujours représentée par l'équation (3) ; a est le minimum de r, car
l'autre limite - est > a. Pour r = a, le rayon de courbure
de la trajectoire est infini sans qu'il y ait inflexion^ seulement la tangente a un contact du troisième ordre.
431. Un mobile est attiré tfers un centre fixe avec une intensité fonction de la distance au centre d 'action ; IroU" ver quelle doit être la forme la plus générale de cette fonction pour que la trajectoire soit toujours une courbe fermée, quelle que soit la direction de la vitesse initiale, dont la grandeur doit seulement ne pas dépasser une certaine limite.
Soit y{r) l'attraction du centre fixe qu'on prend pour pôle^ le mouvement s'effectue dans un plan, et l'équation des forces vives, avec la forme qui convient aux forces centrales, donne
Posons - = u, f^f(r) rfr = y (a), et nous aurons
aaO RECUEIL D EXERCICES
Si la trajectoire est une courbe fermée, u devra rester entre certaines limites finies ^ supposons qu'il commence par décroître, il diminuera jusqu'à ce qu'il atteigne une valeur a pour laquelle le second membre de (i) changerait de signe -, il faudra que u aille ensuite en croissant jusqp'à une valeur b pour laquelle (i) changerait encore de signe ; n reviendra ensuite à a, et ainsi de suite. Dans tous les cas la trajectoire sera formée d'arcs superposables et comprise
entre deux cercles de rayons - et -• Les changements de
signe du second membre de (i) ne se feront qu'en passant
par zéro et jamais par l'infini; car alors, — étant infini, la
courbe serait tangente au rayon vecteur, et le principe des aires ne serait plus vérifié. Prenons pour Uq la valeur mî-
nimum a, -^ = a', et 1 équation (i) devient
Pour u = A , -,- est nul : donc
L'angle de deux rayons vecteurs maximum et minimum qui se suivent est
duJ^ih] — î> ( fl ) (a)6.=
(^) Si ç) (u) = Jiu* + /A, la méthode semble en défaut; mais il est aisé d« Toir que la trajectoire peut être dans ce cas une S2>irale.
SUE LA MÉCÀHIQUB RATIONHBLLE. 221
Pour que la trajectoire soit fermée, il faut et il suffit que 6f soit commensurable avec it\ cela implique que Tintegrale (2) soit indépendante de a et i^ sinon, en faisant varier très -peu ces quantités, 0| varierait d'une manière continue, et ne serait pas toujours commensurable avec ir. Faisons a=zc — A, J = c4-A, u=c-i-Az, et supposons h excessivement petit; on développera f (c — A),. . . par
la formule de Taylor, on divisera haut et bas par h^ixh et, négligeant les termes qui contiendront encore A, on trouvera
' X. V(i- »')[?' W -«?"(«)! LT'('^)-^y'WJ *
Le coefficient de tt doit être commensurable; si on le rcprésente par -♦ u vient
Intégrant,
Substituons cette valeur dans l'intégrale qui représente dj > les constantes A et B disparaissent, et, en divisant haut
et bas par yj^(b) — ?(a), on obtient
Je reprends les valeurs a = c — A, i = c-HA, 7< = c + Az, mais je fais c = 15 je développe les différents termes par la formixie du binôme, et j'obtiens pour la quantité entre crociets, après avoir divisé par (2 — /i*) A les deux termes de
aaa eegveil d'exercices
la fraction qu'elle comprend,
-f-iH A(2* — i)— ^ ^^*{a'-f-i)
= 2AU-i- I -4- ^-— ^A(«»— l) + . . . j
donc
\hz^ ■! ^A«[3 — /î^-f-(/i*-4-l)»»]+.J'^
On sait que la première intégrale définie est égale à ir, h deuxième à zéro, la troisième à ->
Or nous avons dit que d doit être indépendant de À ^ il faut
SUR LA MÉCAiriQUE RATIOlffNBLLE. SaS
donc que les coefficients des diverses puissances de ce paramètre soient nuls. Considérons celui de A'; nous trouvons que n} doit être égal à i ou à 4) soit /i = i ou tz = a ; selon celle des deux valeurs qu'on adopte, on trouve
<p'(ll)=A ou ç'(tt)=:~-,
mais
donc, suivant le cas,
/(r)=---l ou /(,)=- -r.
Les seules lois d'attraction qui donnent des trajectoires toujours fermées, et par suite un mouvement tel que le mobile revienne dans un même azimut après des temps égaux, sont la loi de Newton et l'attraction proportionnelle à la distance, et cette dernière ne saurait guère se réaliser pour des corps éloignés. La loi newtonienne est la seule qui convienne aux mouvements périodiques de tous les astres, même des étoiles doubles où l'on ne peut guère constater que la périodicité.
Cette proposition est due à M. Bertrand [Comptes rendus de V Académie des Sciences, 1873), et j'ai reproduit en partie sa démonstration. La formule (3) avait été donnée par Newton pour les mouvements presque circulaires, et la lenteur extrême du mouvement des périhélies planétaires confirmait l'exactitude de la loi de la gravitation universelle.
132. Sur les constantes du mouvement d'un corps attiré vers un centre fixe suiv^ant la loi de Newton; mouv^ement sur une trajectoire paraboli(/ue; théorème de Lambert,
Soit ^ la valeur de l'attraction à la distance /': la loi du
aa4 EECIJEIL D EXERCICES
mouvement est donnée par Téquation des aires et celle des forces vives
On en tire
L'intégrale du second membre est un arc cosinus, et en résolvant par rapport au cosinus, on aura l'équation delà
trajectoire
K hirh — a -v— -f- 1 co5(e — «)
On reconnaît la section conique dont le pôle est un foyer j si l'on égale les termes de notre équation aux termes correspondants de 'l'équation ordinaire des com'ques, on a de quoi déterminer les éléments de la trajectoire
On en déduit
La trajectoire est une ellipse, une parabole ou une bjper-
bole selon que e' = i, ou selon que -jA est <" o, = o
ou > o. Quand la trajectoire est elliptique, en appelant T le temps d'une révolution, on a
2»ra*i/i — e* T '
SI7H LA MéCANIQUE RATIONNELLE. 2 2 5
— est le moyen mouvement, vitesse angulaire moyenne,
que Ton désigne par n ^ donc, en nous reportant à une formule précédente,
Si Ton applique cette dernière formule à la Terre, en supposant le Soleil fixe, et si Ton prend pour unité de temps le jour solaire, pour unité de longueur le rayon moyen de 1 ecliptique, on trouve
Mais, si Ton prend la seconde pour unité de -temps, le rayon terrestre pour unité de longueur, on trouve à peu , près
c'est environ g divisé par le rayon terrestre exprimé en mètres et multiplié par le rapport de la masse du Soleil à celle de la Terre, 356ooo5 on retrouve l'identité de la pesanteur et de l'attraction universelle.
Quand la trajectoire est parabolique ou que 7.f\i=-r^v\^ on trouve le paramètre
P=J^— 7j7 = 2roSin-(r„P,).
L'angle du périhélie avec le rayon vecteur initial se déduit de Técpiation de la parabole en y faisant r ^=:r^^ fl = o-,
on a
p I -4- cosa = — •
Pour avoir la position du mobile' sur sa trajectoire, je suppose que l'axe polaire passe au périhélie, en sorte que
De S.-G. — Ree, 1 5
226 RECUEIL d'eXERGICËS
d désignera Tanoinalie vraie. Le théorème des aires dous donne
Intégrant et faisant t = o pour 6 = 0,
Il ne sera pas commode de résoudre par rapport à 9, mais on construira des Tables qui donneront t en fonction de 0, et par interpolation on en déduira l'anomalie vraie du mobile à chaque instant.
Le théorème de Lambert consiste en ce que Tintervalle de temps employé par le mobile pour aller d'un point à im autre de la parabole peut s'exprimer sans faire intervenir le paramètre, et seulement au moyen des rayons vecteurs extrêmes et de la corde de l'arc parcouru. Soient actb ces rayons extrêmes, di, d, leurs anomalies vraies, a, (3 les tangentes des moitiés de ces angles, c la corde de l'arc parabolique^ l'équation (i) donne, pour le temps que le mobile met à passer d'une position à l'autre,
T=gy/^[3(p-«) + ?'-«•]
Le carré de la corde de l'arc parcouru est d'où
(a •+- ô)' — c'=:4tf^cos'
^ C05» ^ ?.* =:p* ( I -f. ap)«.
cos'— cos' —
Nous connaissons le produit de a-f- i-f- c et de rt -f- 4 — c\ nous aurons facilement leur somme
ia-h2b= -^^ H ^— =/>{2-f-a»-hP');
