Trouver les surfaces de nweau pour un point dont
le poids est P, et qui est attiré vers un point fixe O par une force constante Q.
Prenons pour origine le point O, et pour axe des z une verticale dans le sens de la pesanteur \ les composantes de l'attraction du point O sont
en sorte que l'équation des surfaces de niveau sera
d'où
xdx -4- Ydy -h zdz
Pdz-^q — ~~£~l—- = o,
Les surfaces de niveau sont les lieux des points tels que leurs distances à l'origine et au plan z = c soient dans un rapport constant : ce sont des surfaces de révolution aulour de l'axe des z, et leur méridienne est une conique ayant pour foyer l'origine, pour directrice la droite z = c\ ce sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon que P sera <C Q, = Q» !> Qî mais il ne faut prendre que les points pour lesquels z — c est > o, c'est-à-dire ceux qui sont au-dessous du plan z = c\ les autres correspondent au cas où Q serait négatif, c'est-à-dire au cas où le point serait repoussé de l'origine. Lorsque l'on a un ellipsoïde ou un paraboloïde, il faut que c soit négatif, et toute la surface répond à la question ^ dans le cas de l'hyperboloïde, c peut être quelconque, et la partie utile est toujours la nappe inférieure de l'hyperboloïde.
La pression exercée sur la surface est dirigée suivant la partie de la normale qui va rencontrer l'axe des z^ sa gran- Dk s.-g. ~~ Rec, ^
l8 RECUEIL d'exercices
deur est
v/X^H-Y'-f-Z> = 4 /p»-+-Q'— 2PQ —
Sur Tellipsoïde, elle va de P -+- Q, au sommet supérieur, à Q — P, au point le plus bas 5 dans Thyperboloïde, elle va
de P -;- Q ou de P — Q à y^P* — Q% selon que c est ^ o.
Un corps pesant place sur un plan incliné est tenu en équilibre par deux forces égales à la moitié de son poids, Tune horizontale, l'autre suivant une ligne de plus grande pente, toutes deux tendant à faire monter le mobile : quel est l'angle du plan avec l'horizon?
C est 2 arc tang - •
Un ûl de longueur donnée passe sur une petite poidie et se termine par deux poids qui reposent sur deux plans inclinés, la poulie étant située à une distance connue au-dessus de leur intersection : figure d'équilibre.
Positions d'équilibre d'un point pesant, assujetti à rester sur une spirale logarithmique et repoussé du centre par une force constante. (FUHR.MANN.)
Un point pesant est obligé de rester sur une hyperbole équilatère dont une asymptote est verticale; quelle force horizontale faudrait-il lui appliquer pour qu'il soit partout en équilibre sur l'hyperbole? (Fublemaïw.)
Trouver sur un cylindre X'-\-x^=z a* une courbe de niveau pour un point sollicité par une force dont les composantes sont
Surface de isiveau pour nn point sollicité par une force dont les oMT^santes parallMes à trois axes rectaagûhiires sont a:r -4- «,
SUR LA UÈCÀXIQVE RATIOFNELLE. I9
6/ + p, C2 + 7 ; en déduire le cas où le mobile est attiré vers des centres fixes, proportionnellement à la distance.
Position d'équilibre d'un poids P assujetti à rester sur un ellipsoïde à axe vertical, et attiré vers le centre par une force con* stante Q. On trouve, a^b^c étant les demi-axes,
Q^ Qj Qz-f- P y/x' H~ J-' -f- 8'^ X y ~^ z
II faut annuler ou x ou jr, et les points cherchés sont à l'intersection de l'ellipsoïde et de certaines droites partant du centre; mais, le radical devant être pris avec le signe -f-, on reconnaîtra que, sur chaque droite, il n'y a qu'un point d'intersection admissible, le second répondant au cas où Q serait répulsif.
Cas où il 7 a des frottemenU.
14. Lorsqu'un corps M est posé sur une surface naturelle qui n'est jamais parfaitement polie, une force tangentielle quelconque ne sufiit pas pour le faire glisser ; elle doit dépasser une certaine limite qui est celle de la résis* tance de la surface au glissement; cette résistance est la force de frottement. On dit que l'expérience montre que la force de frottement est fN^ proportionnelle à la pression normale N; mais il faut bien entendre qu'il s'agit de la valeur maximum qu'elle puisse atteindre, alors que le glissement est près d'avoir Heu; si le corps n'est pas près de glisser, la force de frottement n'est qu'une fraction, inconnue a priori, de fN^ mais égale et opposée à la rësul-* tante tangentielle des forces extérieures. Le frottement au départ, /"N, est dirigé en sens contraire de la direction où le mouvement tend à se produire. Lorsqu'il y a mouvement, l'adhérence des surfaces glissantes produit encore un frottement proportionnel à la pression normale, mais le rap^ port est exprimé par un coefficient moindre que celui du
20 KECUEIL d'exercices
frottement au départ. L'angle qui a pour tangente les coefficients précédents est dit angle de frottement : c'est l'angle de la normale à la surface et de sa réaction. Observons dès à présent que, si deux surfaces, toutes deux mobiles, glissent l'une sur l'autre, elles sont soumises à des forces de frottement égales et opposées, dont la direction est celle du glissement relatif, c'est-à-dire qu'elle est parallèle au plan tangent commun.
15. Trousser sur une parabole dépolie dont Vaxe est vertical le point le plus bas ou puisse rester en équilibre un corps pesant, attiré vers le foyer par une force réciproque au carré de la distance, et qui est égale au poids quand le corps attiré est au sommet : le coefficient de
jrottement est ^ •
Soient p le demi-paramètre, r la distance du foyer au point cherché, a l'angle que la normale en ce point fait avec le rayon vecteur et avec la verticale ] en prenant le poids du corps pour unité de force, l'attraction du foyer
sera ^^ ; projetons les forces sur la normale et sur la tangente, on aura, si le point considéré est la limite des positions d'équilibre,
N = cosa( I 4- ~)> pN résina ( I— Z j.
On trouve aisément que f = ^ ^ •, remplaçons-le par cette valeur, et éliminons N :
sina(i — cos^a) — ^cosa(i 4- cos^a) =r o
ou
5tang»a — Slang^a + lotong^a — 6tang*a— 6 = o.
U y a la solution tanga := i; si on la supprime, il reste Téquation
5 tangua -+- atang'a •+- 1 a tangua -4- 6taDga H- 6 = o,
qui n'a plus de racines positives. Le point cherché est 'à Tiatersection de la parabole et de l'horizontale menée par ]e fojer, où la tangente fait un angle de 4^ degrés avec Taxe.
16. Etant donné un point pesant sur un plan dépoli, incliné d'un angle i à l'horizon, déterminer l'intensité de la force ayant une direction quelconque donnée, qu'il faut appliquer au corps pour qu'il soit sur le point de glisser.
Prenons pour axe des x la ligne de plus grande pente du plaît dans le sens descendant, pour axe des y l'horizontale du point (O), pour axe des z la portion de la normale au plan située au-dessus ; définissons la direction donnée par ses cosinus directeurs a, |3, y. Soient F la force correspondante, P le poids du corps ; les composantes des forces extérieures auxquelles il est soumis sont
X=:Psin/-f-Fa, Y=Fp, Z r.:- F7 — Pcos/.
Le corps étant posé sur le plan exerce sur lui une réaction — Z dirigée en-dessous; la composante, située dans le plan,
qui lire le point, est y/X*-i- Y*; on a donc, si l'équilibre est près d'être rompu,
^(Fa-T-Psini)»-hF^P» =/(P cos/— F7).
Pour étudier la manière dont varie F quand sa direction change, portons sur chaque direction une longueur proportionnelle à la valeur correspondante de F, P étant représenté à la même échelle par une longueur a ; le lieu
2 % RECUEIL D EXEKCICES
des extrémités de ces droites représentatives a pour équation
(i) ^(x -♦- asin/)^-h^'=::tang^(aoos/ — z).
C'est la nappe inférieure d'un cône droit : le sommet a pour coordonnées — asini, O, acosi^ Taxe est perpendiculaire au plan, et fait avec les génératrices l'angle ^- (La nappe supérieure répondrait au cas où le mobile serait en dessous du plan.) Lorsque ©>^i, le point O est à l'intérieur du cône; pour les directions au-dessus du plan, F aura une seule grandeur, et il en sera de même si F est dirigée audessous du plan, mais fait avec Taxe du cône un angle ]>y, si l'angle est <[y, la demi-droite correspondante ne coupe plus le cône, et, pour ces directions, le problème est impossible. Soit maintenant <f <! ^; l'origine est en dehors du cône, en sorte que certaines droites ne le rencontreront pas, et pour celles-là le problème est impossible; d'autres le coupent en deux points, et la force correspondante a deux valeurs. Il faut remarquer que, dans chaque cas, le glissement se fait dans la direction indiquée par les composantes X, Y; cette direction n'est pas liée d'une manière évidente a priori k a, (3, y, mais elle est parallèle à la trace du plan méridien qui contient l'extrémité de la droite représentative de la force.
Du point O on peut mener deux normales au cône, et l'une a une longueur minima ; elle fait avec le plan l'angle (j), et est au-dessus si ç > i, au-dessous si (p <^ i ; c'est la force minimum qui mettra le corps sur le point de glisser. La seconde normale n'est minima que parmi les droites comprises dans le plan méridien de l'origine ; elle fait l'angle (f au-dessus du plan, et c'est la direction la plus avantageuse pour faire remonter le corps suivant la ligne de plus grande pente.
Si, dans une direction donnée, on applique une force rc-
présentée par une droite qui se termine à l'intérieur du cône, il n'y a pas mouvement^ car, pour l'extrémité de cette droite, le premier membre de l'équation (i) est moindre que le second-, la composante tangentielle est <C^f' Si l'extrémité de la droite qui représente la force est extérieure au cône, il y aura mouvement dans le sens de la droite dont les projections sont X et Y.
Lorsqu'on donne la grandeur de F et qu'on dierche sa direction, on voit que cette force doit se trouver sur un cône ayant O pour sommet et pour directrice l'intersection du cône étudié précédemment avec une sphère dont le centre est O, et le rayon égal k la droite qui représente F.
17. On donne un paraboloïde xy ^=. az rapporté à trois axes rectangulaires, l'axe des z étant vertical; un poids P est placé sur sa surface dépolie, et repoussé de V axe des z par une force horizontale, proportionnelle à la distance du point à l'axe, et qui serait égale à P pour la distance a; lieu des points où P est près de glisser,
Pj-
La force qui sollicite le point a pour composantes — -9
— j — P^ il suffit d'écrire qu'elle fait avec la normale en j:,j,z l'angle de frottement
2P^-+-.zP
COSç = p -— —
2 *> fÊ f 1 y»î
ixy -\' <v 'i.az-^a
x^ -f-7* -f- a^ x^ -4- /» H- fl»
La courbe cherchée est donc à l'intersection du paraboloïde équilatère avec un paraboloïde de révolution ayant même axe ; c'est une courbe gauche à branches infinies.
Un poids place sur un plan incliné dépoli est près de remonter suivant une ligne de pente sous l'action d'une force horizontale donnée : calculer Tangle du plan avec l'horizon.
Déterminer sur un ellipsoïde à axe vertical la zone sur laquelle on puisse poser un point pesant sans qu'il glisse (cette xone est quarrable).
Un poids est posé sur un plan dépoli et tiré par un fil situé dans le même plan vertical que la ligne de pente du point donné ; le fil passe sur une très-petite poulie et soutient à sa seconde extrémité un second poids qui pend librement : figure d'équilibre.
Sun LA XÉGAiriQUE aATIONNELLE. aS
