COS' — C

a-f-i-+-c et a-f-4 — c sont racines de Téquation du second degré

«» — />( a -+-a»-f-P')tf -4-/i*(l-f-aP)^=0;

donc

«-^*±c=;,(.-H"i^')zhWP-a)y';7(ÎIi)'.

On peut former dans la partie rationnelle la quantité sous le radical, et écrire

On a un carré, et, si Ton veut mettre en évidence la racine prise en valeur absolue, on devra écrire, en supposant

d'où

= jp' (p — a) (3 -4- a» -f- ap 4- P').

Comparant à l'équation (a), nous avons l'expression chercliée

Si fit— 9, est>7:, 4/1 + ' (S -h «)' est < i((5- «)% et Ton aura

Ces formules donnent une expression remarquable de Taire d'un secteur parabolique, qui est égal à -c'T ou

-Ty/pflJL^ Paire du secteur est donc

En adoptant pour unité de temps le jour moyen, pour unité de longueur le rayon moyen de l'écliptique, nous avons trouvé

^//^ =0,0172; donc

Celte formule est employée dans la recherche des orbites paraboliques des comètes; si Ton connaît le temps qui sépare les deux passages de l'astre dans le plan de l'écliptique, ou en d'autres termes aux extrémités d'une corde focale, on en conclut la longueur de cette corde ; c étant

égal à a -4- J, la formule devient

'i T = 27Ji5'»Xc\

SUK LA MÉCANIQUE RAT lONIf ELLE. 229

Mouvement rectiligne d'un point attiré par une force proportionnelle à la distance vers un centre d'action qui parcourt d'un mouvement uniformément accéléré la droite que le premier point suit paiement. (Rigcati.)

Un corps pesant tombe sans vitesse initiale d'une hauteur a sur an plan horizontal parfaitement élastique qui le fait rebondir avec vitesse égaie à sa vitesse d'arrivée; le mouvement a lieu dans l'air

dont la résistance est —^ \ à quelle hauteur remontera le mobile

après avoir rebondi n fois? ("W. Walton.)

Les formules du mouvement dans l'air montrent que, si l'on désigne par a/., et ai les hauteurs d'ascension après le / — i'*"* et

/''*• bond, on a

On en conclut

S/ig

^3 („^,)tf*»„ TIC*' — (n — i]

Un point matériel décrit une parabole sous Taction d'une force perpendiculaire à l'axe, proportionnelle à la distance du point à cette droite, et sous l'influence d'une seconde force parallèle i\ Taxe; déterminer la loi de cette force et du mouvement du mobile sur la parabole, connaissant la vitesse c au sommet.

La force donnée étant — X-^r, l'autre est ^A^x»

Un centre fixe attire avec une intensité proportionnelle à la puissance/! de la distance; déterminer n de manière qu'un mobile parti de l'infini ait à la distance c du centre la même vitesse qu'il aurait

à la distance -7 si sa distance initiale eût été c. r = ~* (Walton.)

Étudier le mouvement rectiligne défini par l'équation

—--- = a H- àt — ex.

a3o BECUEIL D*EXERCICES

Un point pesant, lance horizontalement dans un milieu non homogène, dont la résistance est proportionnelle à la densitë et au carre de la vitesse, décrit un quart de cercle dans un plan vertical; comment varie la densité du milieu? (P. Juixibn.)

Mouvement d'un point pesant qui tombe dans un milieu résistant où la densité varie en raison inverse de la distance à un plan horizontal.

Mouvement d'un projectile dans Pair en supposant la résistance proportionnelle au cube de la vitesse ; étudier toute la courbe qui lui sert de trajectoire ; montrer qu'en le supposant en mouvement avant l'instant où Ton compte les temps il a dû avoir une vitesse infinie en un point qui est à distance finie.

Si un fil dont chaque élément est soumis à une force connue F dessine une certaine courbe dans un plan, un point matériel pourra décrire la même courbe sous l'action d'une force F' ayant la même

direction que F aux points correspondants et égale à -. — -.9 / étant

Tangle que F et F' font avec la tangente à la courbe. Ainsi un point lancé parallèlement à une droite dont il est repoussé avec une force proportionnelle à la distance peut décrire une chaînette.

(P. SEmmiT.)

Une bille pesante est lancée horizontalement à partir d'un point d'un plan incliné parfaitement élastique. Quand elle retombe sur le plan, elle rebondit avec une vitesse égale à sa vitesse d'arrivée, mais symétrique par rapport à la normale au point d'incidence ; trouver l'angle d'incidence au /i'^' bond et sa distance au point de

départ. La tanfi[ente de l'angle cherché est -.• (Bot-

*^ ^ o I — 2/2tang'r ^

dovk)

Mouvement d'un point attiré vers un centime fixe par une force

2C*(a'~hb^) Zc*a^¥

a, b, c étant des constantes, r la distance au point fixe ; cette dis-

SUR LÀ MÉGAJfIQUE A1TION9ELLE. 23l

tance est d'abord a, et la vitesse initiale — perpendiculaire au

rayon vecteur. (Licence, 1870.)

On emploiera l'intégrale des forces vives, où les constantes se détruiront, et l'on verra que la trajectoire est la podaire d'une el~ Hpse relative à son centre.

Mouvement d'une bille placée -sur un plan horizontal et attaché à un fil élastique légèrement extensible dont la réaction est proportionnelle à l'allongement ; la vitesse initiale est perpendiculaire

au fil. (Waltow.)

Mouvement d'un point attiré vers un centre fixe par une force

- 4- £ ; la trajectoire est la projection d'une ellipse dont le plan

serait enroulé sur un cône, quand ft est assez petit. Clairaut avait pensé que telle était la trajectoire de la Lune.

2?}2 RECUEIL d'eXEKCICES