MOUVEMENT D'UN POINT SUR UNE COURBE FIXE
Cas où la courbe est donnée et parfaitement polie.
133. Imaginons un point assujetti à rester sur une courbe fixe qui ne produit pas de frottement 5 on peut décomposer la force extérieure F qui sollicite le mobile en une force P, dirigée suivant la. tangente à la courbe, et une composante normale Q. La première produit l'accélération tangentielle
(i) m— =:P, d^ mv'z=Pds;
^ ' di 2,
Q, composé avec la force normale N, qui représente l'ac-
tîon de la courbe, produit l'accélération centripète m--
Comme l'une des équations (i) ne contient que le temps et le paramètre qui détermine la position des points sur la courbe, on peut dire qu'elle donne la loi du mouvement. La seconde proposition fait connaître l'action de la courbe,
résultante de w— et de Q pris en sens contraire 5 cette
réaction fait en général un angle fini avec la normale principale. La pression supportée par la courbe est égale à cette réaction changée de sens.
Si l'on rapporte la courbe à trois axes rectangulaires et qu'on nomme X, Y, Z les composantes de F, X, fi. v les
SUR LA MÉCAKIQITE RATIONNELLE. a33
angles de N avec les axes, on a
m —-- = X 4- N cosX,
h) [ ;„^-r^T-;-Nco8fi,
dH m -— - =r Z + N cosv, dt^
avec la condition dxcosl -f- dj cosjùt -f- dz cos v = o. On en conclut l'équation des forces vives
d - mt'» =Xdr-h Ydj 4- Zrfz.
L'intégration est possible si X, Y, Z ne dépendent que des coordonnées x^ jr^ z^ et, en définitive, d'un paramètre unique^ alors les équations (2) donnent les composantes de N, et le problème est résolu.
134. Mouvement d'un point dont la niasse est l'unité, assujetti à rester sur la courbe d'intersection d'un cylindre parabolique et d 'un cône
et solUcité par une force dont les composantes rectangulaires sont
le point est d'abord placé à l'origine et lancé vers le haut sur la branche qui est en aidant du plan xz^ av^ec une vitesse ak.
Ce problème se traite très-facilement à Taide des équalions générales (2). On tire des équations de la courbe
Iv^-*.
â34 UEGUEIL D^EXERCIGES
d'où
</jr = - dZy djr :=:dz\/ — ? ds ^ dz.
L^équation des forces vives est ici
On peut intégrer sans même remplacer x, j^, dx, ày par leur valeur en r, paramètre le plus propre à définir les points de la courbe,
1 p» — 1 «a/ï = aX-'x» -4- 2 X^'r' + h^iiaz -h 3z»).
Remplaçant j:, ^ et i^ = — par leur valeur en z,
ds" [a-^zY dz" /•» ,
dt^ à" dr à"' ^
d'où
dz
= kdtf a -^ z=: ae^'.
Le mouvement se fera toujours dans le même sens, avec une vitesse croissante. Il nous reste à calculer les compo-
