i^T 1 M r A ^^^ dW d^z
santés de J\, et pour cela il tant connaître -^ï -y^ j ^, • Ona
dx dx dz X-3(a-+-z) d^x d /dx\dz X*(a-h«)(a-4-22]
lû'^dz dt"^ a ' 'dÔ'~''^\dt)di~^ a '
^=— =(a-+-z)(a-h3z), —~ = Ir'(a-^z);
Sun LA MÉGAJriQUE RATIONNELLE. a35
par conséquent
Nc0SfA= .. [n}-\- \a% — 3z'),
Ncosy = — ^'(tf -i-5«).
D est aisé de constater que cos\dx -h . . . = o ^ quant à l*angle de N et de la normale principale, on en aura facilement le cosinus, mais il est très-compliqué.
1 33. Un point matériel, assujetti à rester sur une ellipse, est attiré "vers les deux foyers par des forces inx^ersement proportionnelles au carré de la distance et vers le centre par une force proportionnelle à la distance; démontrer que la pression exercée en chaque point de l'ellipse est inversement proportionnelle au rayon de courbure; déterminer la vitesse initiale qui annulerait la pression; mouvement correspondant. (Question de licence, i865, généralisée.)
Je suppose la masse du mobile M égale à l'unité, et je d&igne par r, r\ u ses distances aux foyers F, F' et au ceotre O, par jix, (i\ X les attractions de ces trois points â Tunité de distance, par ^^ et co les angles de la normale en M avec MF et MF' d'une part, avec MO de l'autre. On sait que le travail d'une force attractive émanant d'un centre fixe est égal et de signe contraire au produit de la force par i accroissement de distance du mobile au centre. Le théorème des forces vives donne ici
I dr , dr'
d'où
(I) ^.;=af.(i-i) + v(p-^) ->(«•-«:)•
236 aECVEIL D^EXERGICES
Soit N la réaction normale de la courbe, supposée positive quand elle est dirigée vers le centre de courbure^ nous avons
C U tÂ
- = N H- — , cos^ -h ~- cos-J; -h Xtt cosw;
d'où, en tenant compte de la valeur de u* tirée de l'équation (I),
/ 9. COS;|;\ fu^ \
Pour évaluer les termes variables en fi et fx', je rappelle les relations
b^ ... rr'
a cos*>ji
û= —^ rr' cos^'i/ = b\ p coSt^ = — ;
• ^ orkcS.fj ' ITT ^ J
cos\|; 2r — pcosi|/ 2flr — rr' i i cosi|»
'« rfTr»"'* j^ M »•'<» ^ î
rp r^ r'p ar'p ap r p
Pour calculer les termes en A, je désigne par p la perpendiculaire abaissée de O sur la tangente en M; on sait que u coso) =p et p^p = a^b^ ; donc
La dernière transformation est fondée suir les théorèmes
d'Apollonius, d'où résulte que — est le diamètre conjugué
de OM. Les calculs précédents donnent à la valeur de N la forme proposée
fX. '■* r; 'a J
SUU LÀ MÉCANIQUE RATiONICELLE. sSj
n a été dit que, si N est positif, c'est que le point tend à sortir de Tellipse. Pour qu'elle soit nulle ou que le point décrive librement la courbe, il faut avoir
Pour avoir l'équation différentielle du mouvement dans ce cas particulier, je reprends l'équation (I), en l'additionnant membre à membre avec Téquation (U),
Déterminons les points de l'ellipse par leur anomalie excentrique 9 *, on a
T-=ia[\ — tfCOSy), r'^:: a(i -+- ccoso),
là = a^ cos' ç -+- 1^ sin^ ^ , às^rr: a^[i — <?' cos- ? 1 ^^'.
Substituant dans l'équation précédente, on lui donne, après de simples réductions, la forme suivante :
On ne peut effectuer l'intégration^ mais, comme -y ne peut
s'annuler, on voit que le mouvement sera continu.
L'équation (EL) est remarquable : si l'on y annule tour à tour fx' et X, fx et X, fji et /x', on reconnaît que t^J est la somme des carrés de trois vitesses initiales avec lesquelles le mobile décrirait librement l'ellipse sous l'action de F seul, ou de F', ou de O. Nous avons un cas particulier d'un jhéorème général : lorsqu'un mobile, partant d'un point donné avec des vitesses dirigées suivant une droite donnée, peut, sous l'action de forces qui donnent lieu à l'intégrale des forces nves, décrire une certaine courbe, il la décrit encore si
a38 RECUEIL d'exercices
toutes les forces agissent à la fois, pourvu que la vitesse initiale soit dirigée suivant la droite donnée, et que son carré soit la somme des carrés des vitesses correspondant à l'action individuelle de chaque force. Il suffit d'écrire l'intégrale des forces vives avec toutes les forces pour y lire ce résultat.
Une autre proposition, qui comprend le cas proposé, consiste en ceci : soit un mobile soumis à l'action de certaines forces, qui, avec une vitesse initiale donnée, décrit une courbe plane; si l'on change la vitesse initiale et qu'on oblige le mobile à décrire la même courbe, il exercera une pression inversement proportionnelle au rayon de courbure. En effet la valeur de N, qui était nulle dans le premier cas, se complique seulement d'un terme provenant
de "• Or la valeur de v'* ne diffère de ce qru'elle est dans le
P premier cas que par l'addition d'une constante A, qui rend
i36. Un mobile M, non pesant, assujetti à rester sur une circonférence de cercle, est attiré "vers un point O de cette courbe par une force fonction de la distance; déterminer cette fonction de manière que la pression exercée sur le cercle soit constante; nature du mouvement produit,
(Licence, 1868.)
Prenons la masse du mobile pour unité, le point O pour pôle, le diamètre OÂ pour. axe polaire; désignons par a le diamètre, par r la distance OM et par ç(r) l'attraction du centre O. La vitesse est donnée par le théorème des forces vives
(I) d.v^=i^if9[r)dr.
La réaction normale N du cercle fait avec r un angle égal
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. a3g
à S, et, comme le rayon de courbure est -9 on a
— =:N -+-cose(p{r), f'= h - '•?(n>
puisque a cos 9 = r. Différentions et comparons à l'équation (2}
d,i^=z-f[r)dr'\ rif'[r)drz=z — 2(f[r)dr :
c désigne une constante-, l'attraction varie en raison inverse de la cinquième puissance de la distance. On peut alors intégrer l'équation (2), qui donne
La pression exercée sur le cercle est égale à N, mais dirigée en sens contraire *,
a ar\
Quand N est positif, c'est que le mobile tend à sortir du cercle; si N est négatif, il tend à j pénétrer. Je tire c de cette relation pour le substituer dans l'équation (3), en même temps que les valeurs
d& /NX
vz=za—-y p,=ao>, /-p^izacosa, c = «*cos*a ( ««' |:
al \ 2/
elle devient
On ne peut intégrer dans le cas général; mais on voit
a4o RECUEIL d'exeb.giges
que, si N est ^aaw* ou c<^o, le mobile n'atteindra jamais le point O et oscillera entre les points dont l'angle polaire est ±6', où Ton a
cos^ô ~ I — - I cos^a.
Qand N <^ aaw', c'est-à-dire quand la force est attractive, le mobile arrirera en O avec une vitesse infinie; mais il n'atteindra pas toujours le point diamétralement opposé. U n'y arrivera pas si
h (««' Jcos*a<^0, N<C — 2fl«*COt*a;
mais, lorsque N sera compris entre aaw* et — a a w* col* a. dt
-— ne s'annulera jamais, et le mouvement sera continu.
Les seuls cas où l'équation (4) s'intègre à l'aide des fonctions élémentaires sont celui de N = aaw* et de N =o : le premier répond à une attraction nulle et donne un mouvement uniforme; le second, où le point suit librement le cercle, donne à l'équation (4) 1^ forme simple
d^ cos' a
dt cos-ô ^
Le mouvement est continu, périodique, et la durée de la révolution sur le cercle est
irfl»
61 ces' a
137. On donne, dans un plari 'vertical, une cycloïde dont la base est horizontale et la cons^exité tournée vers le bas; le rayon du cercle générateur est a. Un fil stms masse, de longueur 6a^ est attaché par une de ses extrémités à l'un des points de rebroussement de la cycloïde; le fil est d'abord vertical et se termine par une
SUA LÀ MÉCAHIQUE EATIOUSELLE. ^il
masse m à laquelle on donne une vitesse horizontale ^8g^a ; moui^ement du point m, tension duJiL (Licence, i864*)
Je prends pour origine le point O, où le fil est attaché -, pour axe des x l'horizontale, et pour axe des j' la verticale descendante. Soit  la position initiale de m^ le fil OA s'enroulera sur la cycloïde, une portion OP s'infléchîssant suivant un arc égal de la courbe, l'autre partie PM étant dirigée suivant la tangente. Les coordonnées du point P peuvent s'écrire
Xyz=ia[u — sînu], ^, = fl(i — cosu). Un calcul connu donne
donc
arcOP = 4a ( I — cos - ] ; PM = 2 a f I -i- 2. cos - J •
D'ailleurs - est l'angle de PM avec OY ou de la tangente à
la trajectoire avec OX. Je le désigne par ç. En projetant sur les axes l'arc OP et la tangente PM, on a les coordonnées du point M
a:=fl(2(p— sin2<p) -4-2a( m-2 cosf) sinç == a (2Ç-+- 2sinf 4-sina <p),
jrz=a[Z-^ 2COSf -*- COS2^).
Sans effectuer l'élimination de cy , qui donne un résultat irès-compliqué, on peut reconnaître la forme de la coixrbe.
On a d*abord
rf' = 2acosç(n-2cosç)£/y, ^^ = — aa(n-2Cosç)siii^eî^.
Dans la cycloïde, on fait toujours croître u-, on fera, de
même pour 9-, x commence par croître, j par décroîtra-,
Pourç = ^, rfor devient négatif -, alors x diminue i^Scïyi.'î
De S.-G. — Ree.
^4^ &BGVEIL d'bXBEGIGBS
ce que f soit égal à -r--, dx et dy chaDgent de signe a ce
moment; x tly vont augmenter, et Ton a un point de re-
broussement Bj a: = a( ^ TtH — V^)» J==^ -au situé sur
la cjcloïde, tandis que tout le reste de la courbe est en dessous. Â partir du rebroussement jusqu'à 9 == ir, a: et j^ augmentent pour atteindre 2 a xr et 2 a. La partie qui suit est symétrique de celle que je viens d'esquisser, par rapport à la verticale du second point de rebroussement de la cycloïde \ mais le poids m n'atteint pas même le point B, car le théorème des forces vives donne
Or ds^= 2a(i + a cos<^)d(f\ il vient alors
t»' = 4«'(l H- 2C0Sy)*-~ = ^g^{l •+• 2COSy-+- 2COSf );
d'où
^ ' V « \/cOS9fl
^COSy(H- COSf )
On voit que <f ne peut croître au delà de - ] pour cette valeur^
le mobile s'arrête et va rebrousser chemin pour exécuter des oscillations symétriques; les coordonnées du point d'arrêt sont x = (7r-i-2)a, j^=2a; la tangente est verticale; l'arc parcouru est
2a(l -+- 2C0S^)rff = a(ir -4-4)o
Pour intégrer l'équation (I), on prendra pour variable tang - 9, ce qui laisse un radical ; mais, comme f reste com-
8U& LA HÉGÀXriQUB AATIOlflfBLLE. ^43
pris entre =h -» on posera tang - cp = sinfji; d*où
zcosuduL cos'u.
^•= rV-» COSf= r-r-'
•^ i-4-sin'/Ji H-sin*pt
Substituant dans Téquation (I),
/g 3 — sin»tt ,- . 4 ^^f* r j
y « I -h sinV ^ «^ 1-+- sin'fA ^ *^
i/5/=42^'ct*ng(V'^**D6p) — f*V^^
= 4arcsîn ( ^asin-f | — ^arcsinl tang-^ )•
Le temps d'une demi -oscillation s'obtient en faisant
-'Vl('-^)
La tension correspondant à une position quelconque du fil est la résultante de la force centrifuge et de la composante normale du poids ; or p = PM, et nous avons trouvé l'expression de ^' ^ on en déduit
4cos9 H- Scos'flp
N = m l — t g cos^ J =
