I -i- 2 cos
Cette tension est d'abord ^ mg et diminue jusqu'à zéro.
138. Deux points pesants se meurent sur un cercle ver-tical dans des conditions telles, que leurs ^vitesses au point le plus bas sont égales; montrer que la corde gui joint les positions simultanées des deux pendules enveloppe un cercle ayant pour axe radical avec le cercle donné l'horizontale mesurant la hauteur d'où il faudrait /aire tomber les mobiles pour leur donner leurs vitesses réelles,
(Jacobi.) i6.
a44 UEGUEiL d'exercices
Soient [Jig' ai) À et B deux positions simultanées des mobiles, A^, B' des positions infiniment voisines, P le point
le plus bas du cercle, yj^gh les vitesses en ce point, HHThorizontale située à la hauteur h au-dessus : les carrés des
Fig. ai.
vitesses sont entre eux comme les distances de A et B à HH' ou comme AS : BS, S étant le point de rencontre de AB et de HH'. D'ailleurs la similitude des triangles A A'M, BB'M montre que le point M, où AB touche son enveloppe, partage la corde dans le rapport de AA' à BB', c'est-à-dire des vitesses correspondantes ; donc
SA Im^ (SA-^SM)»
SB"^iS' ""{SM-SBf
Développons et réduisons; nous pourrons diviser par AB et écrire
sm"=saxsb.
Le cercle qui passe en M, H et H', ou qui admet avec le cercle donné HH' pour axe radical, est donc tangent à AB; quand cette droite se déplace infiniment peu, le cercle qui la touche et passe en H et H' vient à une distance de M qui est du second ordre infinitésimal au moins : c'est dire qu'il
SVH LÀ HÉCÂHIQUE 1UTI01INEL1.E. ^45
se confond avec le premier et constitue ^'enveloppe de la corde AB. Pour construire ce cercle, il sera nécessaire de connaître h et une position particulière de AB.
La propriété que je yiens d'établir est l'interprétation mécanique d'une forme que Jacobi a donnée à l'intégrale de l'équation d'Euler^ on sait que cette équation peut
s'écrire
M df d^
Jacobi prend deux cercles dont les centres sont O et C, les rayons R et r; il considère une tangente mobile AB au second cercle et remarque que, si l'on désigne par sRcp et iR^f les arcs PA, PB interceptés sur le premier cercle par la tangente variable à partir de l'extrémité P du diamètre commun, les variations des angles f et ^ satisfont à une équation de la forme (a). En effet, d'après une remarque faite dans la démonstration géométrique, si M est le point de contact de AB avec le cercle C, et si OC = a, nous aurons
iRrff AM __ yAc'—Mc' __ V^R^-h<»'-f-2aRcos2y — r» 2Kd^ ~" BM ~~ J^'Z/^' ~ ^R» 4- a' 4- 2 ûR côs 2>|; -^»
Je remplace cos2f par i — 2 sîn*y, cos2^ par i — asin'^j/y
et, en divisant les deux radicaux par ^{R-h a)* — ;•*, je trouve précisément entre </cp et d^ une relation de la forme (a), avec la valeur du carré du module,
4aR
Toute équation entre f et <)i, exprimant la propriété de la corde AB, sera l'intégrale générale de l'équation (a) si elle renferme ime arbitraire*, ainsi prenons l'équation de
246 RECUEIL d'eXEEGICBS
ÂB et écrivons qye sa distance à C est r
(7) ûcos(4>-4- (f) -hRcos(4» — f) = /:
c'est l'intégrale cherchée. Mous n'avonS) en réalité, qae
deux paramètres, ^ et ^-, réquation (|3) détermine Tun
d'eux, mais il en reste dans l'intégrale précédente un tout
a fait arbitraire.
Revenons à nos pendules, que je suppose en A et B; en
P, leur vitesse était >J^gh^ et l'équation des forces vives prend la même forme pour les deux :
d'où
V " - ^sin'y V ' ^ X '^'''*
f et i{/ sont liés par une équation de la forme (a) ^ donc la droite ÂB enveloppe un cercle analogue à celui que Jacobi a considéré -, on a
i;t\ 2R 4flR
^^ h "-(aH.R)»-H'
On obtient une seconde relation entre a et r en considérant Tinstant où A et B sont sur une même horizontale^ on peut regarder op comme égal à — a et (p = a, et l'on a
évidemment
Rcos2a = r — a^
comme l'indique aussi l'équation (7). Si donc 2T est l'intervalle entre les époques du passage des deux mobiles en P, il est clair qu'il faudra un temps T à l'un d'eux pour parcourir un arc 2 Roc à partir de P, et a sera déterminé
SVH LA XÉCAniQVB RÀTIOIT H ELLE . ^47
par Téquation
et l'on pourra adjoindre i (d), pour déterminer z et a,
^ / T J2gh' . , T v/i^ \ r — /i = R cos'am— ^î--^ sm»am ~~- )•
Supposons A^aR, le mouvement des pendules sera continu. Soit T le temps nécessaire pour parcourir tout le
cercle ', si, à des intervalles de temps -j on lance n mobiles
da point P avec la vitesse ^2gh^ ces mobiles forment les sommets d'un polygone dont les côtés enveloppent toujours un même cercle ] d'où ce théorème, du au général Poncelet : Si deux cercles sont tels qu'on puisse construire un poly^ gone inscrit dans l'un et circonscrit à l'autre, il existera une infinité de polygones ajant la même propriété.
Le temps d'une petite oscillation est donné par les formules précédentes. Soit 29 l'angle maximum du pendule avec la verticale, on aura
h=. 2Rsm'9, et, si l'on pose sin'p = sinS sinu, il viendra
smô V/ ~ ^f = %
V R ^i — sin'Osin'u
dt i/^ = rftf f i-f. - sin'ô sia»« -+-...)>
Cas OÙ il y a des résistances de milienz et de frottement.
Les résistances du milieu, étant des fonctions de la vitesse, n'empêchent pas l'équation du travail, d.y* = Vds^ de donner la loi du mouvement sur la courbe; seulement, comme P dépend de ^, l'intégrale du premier ordre ne se trouve plus à l'aide d'une simple quadrature*, on a une équation différentielle à intégrer. S'il y a une force de frottement proportionnelle à la pression normale, il faut calculer cette pression, résultante de la force centrifuge et de la composante normale des forces extérieures ; en la reportant dans l'équation du travail, on est encore ramené à une équation différentielle en v*.
139. Un point pesant est lancé ai^ec une vitesse horizontale j^oi à partir du sommet d'une cjcloïde dépolie dont la base est horizontale et la convexité tournée vers le haut; le plan de la courbe est vertical. Mouvement du mobile; point où il quitte la courbe en le supposant posé au-dessus.
En prenant pour axes la tangente au sommet et l'axe de la cjcloïde, les coordonnées d'un de ses points ont la forme
connue
x = /i(u + sintt], jr = a{i — cosic).
On sait que la tangente fait avec l'axe des x l'angle -9 et que
ds= ^acos-udu. p = Aacos-u.
Soit N la réaction normale de la courbe dirigée vers le haut, y*N sera la réaction tangcntielle, et, en faisant la masse du mobile égale à l'unité, nous aurons, comme dans les cas précédents, les deux équations du mouvement
(I) d^i^=(gsin^ ^/Ji\ds, !l'=g^cos^ — N.
SUR LA MÉCAUXQITB RÂTIOirzIELLE. ^49
Eliminoiu N,
/- = ^ I sm - « — /cos - u I
a ds '' p \2 2/
oa
-— fi^=z 2ag[9inu — /(i -i- cosw)].
L mtégrale de cette équation linéaire est donnée par une formule générale
nuis
= tf^" I •'î •+- nag j (sin« — /— /cosi/)ff~-^"rftf I ;
/, , sinu — fcosu . e-J" cosudu = ^ e-J'^
/*-f. • j co8tt4-/sini/ ,
En posant f= tangcf , cette expression prend une forme remarquable
(n) f^z=z (ir; — 4fl^sia»f )<?««•»«? -*- ^agûn^ U'— -«)•
Avant de discuter cette formule, je rappelle que nos é(|nations (I) sont établies en supposant la réaction de la conrbe dirigée vers l'extérieur, et N > o-, si N devient négatif, quand le mobile reposera simplement sur la courbe, il la quittera, et quand il ne pourra s'échapper, conmie une I)ille enfermée dans un tube cjcloïdal, il faudra écrire la première équation (I)
I his] d^s^zzzlgsm-u -^/N^ ds.
a5o ESCVBIL D*EXBRCICBS
et la formule (II) ne sera plus exacte. Or nous avons
If = if cos -u :
la formule (U) s'applique seulement tant que
v^ <C gp cos '- u<C^og cos' - u.
Il faut que i^l soit <C i^g^ sinon le mobile quitterait tout de suite la courbe. La formule (II) commence par être applicable tant qu'on a
— 4fl^sin»^~^tfj<o.
Distinguons deux cas selon le signe de »^| — /^agsin*^: s'il est positif, la formule (II) montre que y^ ne s'annule pas 'j mais l'inégalité (lU) cesse d'être satisfaite quand u dépasse une certaine valeur moindre que it\ alors le mobile s'échappe s'il en est libre, ou sinon il faut modifier les équations du mouvement comme il est dit (I bis).
Soit v] — 4^é'sin*cp<[o5 la formule (II) montre que*'* s'annule pour une valeur de u moindre que acp, car le second membre, positif pour u = o, est négatif pour - u = 9 *, mais le deuxième terme du premier membre de la formule (III) est moindre que le troisième, à cause de f <^-;
l'inégalité sera toujours vérifiée; le mobile restera sur la courbe jusqu'à ce que v^ devienne nul, et l'on arrivera â un repos indéfini.
Soit \^l — /iagsin*(f=o. Le mobile s'arrête pour tt= af, sans que l'inégalité (UI) cesse d'être vérifiée ; mais le poini de repos est une position d'équilibre instable -, u peut dé-
8XJ11 LA MÉCABIQUB RÂTIOHlfELLE. dSl
passer la Talenr 39 sans que i^ devienne imaginaire^ la vitesse est toujours donnée par la formule (II), du moins
jusqu'à II = f H- -9 valeur pour laquelle N est nul, et le
mouvement change de nature. On peut exprimer t en fonction de u'y car, avec la valeur actuelle de v\^
v=z^a cos - ir — = ±: 2 ^Jag sin 1 f « J •
On met le signe + ou — selon que le mobile est au-dessus ou au-dessous du point d'arrêt. Prenons la première hypothèse^
y a siii(f — ^u) siû(ç — •£«)
Développant et intégrant,
vl=
sm© a cosfL -T— 7 —. — r -*- « sm».
sm(7 — la) '
U faudra un temps infini pour arriver au point d'arrêt.
Le cas de y = o se déduit aisément de nos formules ou se traite directement.
140. Mouvement d'un point pesant sur une hélice dépolie, tracée sur un cylindre droit vertical, de rayon R \ la tangente à V hélice fait l'angle a as^ec l'horizon.
Nous ne connaissons pas la direction de la réaction normale N de la courbe^ nous savons seulement qu'elle est dans le plan normal, et nous désignerons par |3 l'angle qu elle fait avec la normale principale 5 celle-ci n'est autre, on le sait, que la normale au cylindre. Supposons la masse du mobile M égale à l'unité, son point de départ sur l'axe des x, et sa vitesse initiale ^0 dirigée vers le bas; les arcs descendants seront comptés comme positifs. Écrivons les
RECUEIL D EXB11CICE8
composantes de raccélération suivant la tangente, la normale principale el la binormale,
(i) -~ — =g^sma--/N, - = Ncosp, grcosa — Nsmp=:o. Conmie p = — --> on en tire
tangp = -^ — , N» = g'» cos»a H ^-— ,
ou
-^ = ^ sina — /cosa y ^' ^- gi c^s'a
rf.f* 2</^cosa
g'R tenga — / )Jg^ R* -t- t^ co8*a ^
Pour intégrer, je pose Y/g^'R*-l-i'*cos'a = gfR -h wf^'oosa, et j'obtiens
(i — tt^jcosa !i,ds cos'a 2 ( 1+ w*) </a
R (i — tt')[tanga — /— (tanga -f-/)"']
La définition de u montre qu'il est compris entre zéro et I , et l'expression de »^* en fonction de u prouve que ces deux variables augmentent ou diminuent ensemble . Lorsque /"est >• tanga, l'équation (3) montre que du est toujours négatif, ds étant [> o ^ u diminue depuis sa valeur initiale Uo, déterminée par ^o? jusqu'à zéro; alors ^ est aussi nul et M s'arrête. Au contraire, si tanga ]>/*, le mobile ne s*arréte
plus. Soit /i = i/ -—- ^, la valeur de f'* correspondante
i u = A sera
/== -^ — ^ tangua — /».
/cos«^ ® "^
SV% LÀ MÉCAHIQtrS lÀTIOHNELLE, ^53
Lorsque Uo sera <^ A, du sera d'abord ]> o ; u augmentera jusqu'à A, et la forme de la difTërentielle prouve qu'il n'atteindra cette limite que pour ^ == oo ^ si u^'^h^u diminue jusqu'à A, qu'il atteint seulement à l'inGni. Enfin, si uq = A, le mouvement sera uniforme avec la vitesse constante k.
On peut trouver la valeur de u en fonction de j : il faut, dans l'équation (3), remplacer le coefficient de du par deux fractions simples relativement à u' :
z/dscos^oL ^tangadu 7. du
R tanga — /— (tanga -+-/) «* l — m*
Dans le cas où/* est ^ tangoe, on a pour intégrale
a/jcos'a (i-f-«»)(i — u)
R "~ (1 — iri)(i-+-tt)
2 tani^a («,— «) i//» — tangua
*" arctang ^ ^^"^ ^
^/>— lang'a ®/--tanga-i-(/4- tanga) i/a.
Pour avoir l'arc parcouru jusqu'à ce que le mobile s'arrête, il suffit de faire dans cette formule u == o. Lorsque /'est <^ tanga, l'intégrale ne renferme que des logarithmes; elle est compliquée et ne pourra conduire à la valeur explicite de 5 en fonction de f ; mais on peut prouver que la courbe qui représente la loi des espaces en fonction du temps a une asymptote : ce sera un nouveau cas où l'équation difierentielle d'une courbe ou d'un mouvement peut suffire pour en étudier les propriétés. Prenons égales les
longueurs qui représentent l'unité d'espace et de temps.
ds Puisque, pour 5 = oo , lim --- = A:, k sera le coefficient angulaire de l'asymptote; l'ordonnée à l'origine sera
mais l'équation (a) peut s'écrire, en nous rappelant la
354 EICDBIL D^BXEACICES
valeur de A^*,
ds R grRtenga -f-/v^^*R'-H<^cos'a
5T? ~" cosa /»cos^a(^* — s^) '
[gYi tanga h-/ ^^R*-t-<^cos*a)
Rtf^f'
/«cos»a(X^-»- it'p 4- Xv^-f- i^)
U est donc fini et déterminé.
L'hypothèse de /*= tanga ne donne pas beaucoup de simplification; on trouve que v diminue toujours jusqu'à zéro, valeur qu'il n'atteint qu'avec s infini.
Le moilvement ascendant se traiterait absolument de la même façon : on compterait les arcs montants comme positifs et l'on n'aurait qu'à changer ^ en — g") il y ^ toujours arrêt; et il n'est pas moins évident que le mouvement ascendant et le mouvement descendant ne peuvent pas être compris dans une même formule.
Détermination de la courbe par les propriétés données
du mouTement.
On peut demander sur quelle courbe un point, sollicité par des forces connues, doit être assujetti à rester pour que son mouvement satisfasse à des conditions données. Il faut donner deux conditions relatives à la courbe ou au mouvement; car on aura ainsi deux relations qui, avec les trois équations du mouvement et la condition de perpendicularité de la tangente à la courbe et de sa réaction, permettent de trouver en fonction du temps les coordonnées du mobile et les composantes de la réaction. En général, on écrira les équations du mouvement comme nous l'avons fait dans le
SUR LA JtiCAHIQVB AATIOVNELLB. sSS
cas prëcëdent, et rélimination de la réaction et du temps fera connaître la courbe.
141 . Déterminer dans un plan vertical une courbe telle quun point pesant, assujetti à la suii^re, exerce une prèsnon dont le rapport wec la composante normale du poids soit une constante X^ cas oii l'on peut intégrer jusqu'à la fin. ( Licence, 1 865 , 1 87 1 . )
Je prends pour origine le point de départ, l'axe des x étant horizontal, Taxe des j^ dans le sens de la pesanteur^
je désigne par ^^gh la vitesse initiale et par N la réaction de la courbe, comptée comme positive quand elle agit dans le sens du rayon de courbure. Si la masse du mobile est égale à l'unité, on a
On mettra le signe + ou le signe — selon que la courbe tournera sa convexité vers le haut ou vers le bas : dans le premier cas, la pression exercée sur la courbe, égale à
^^-7-9 sera dirigée vers le centre de courbure, en sorte que
N devra être représenté par — ^S^;j~) dans le second cas,
la pression, étant encore vers le bas, sera opposée au centre
dx de courbure, et N, dans le sens de ce rayon, sera ^g'j-'^
donc
^ /. K dx
Remplaçons u* par sa valeur tirée de l'équation des forces >îves, et X — I par /i.
a56 RECUEIL d'exercices
àr maïs, en faisant -7- = p et supposant d'abord dx de même
signe que dsy j'ai
ds v^i4-/>» "^ V ^ / ^^p
L'équation de la courbe est donc, en divisant par g^,
Intégrant et désignant par 0 la constante A(i +/'«)'')
On ne sait intégrer cette différentielle binôme que lorsque
ou sera entier: ces deux cas sont com-
pris dans la formule /i == -j |ui étant entier. Voyons quelques
valeurs simples de |ui.
Soit (X = — 2 : alors /i = — t , X = o 5 l'équation (i) devient
dxz=i± /^-^^ , 4c(A -h j^ - c) = [* - 2 v^c(A-c;]'.
C'est une parabole à axe vertical que le mobile suivra librement, en sorte que la courbe, ne réagissant pas, n'éprouvera aucune pression.
Soient /x = — i, n = — 2, X = — i-, la pression sur U courbe est égale et opposée à la composante normale du poids ^ Téquation (i) devient
81711 LA mAgAVIQVB mlTIOiriIBLLB. . ^57
C'est nne chaînette, cjur on déduit de l'équation précédente
La loi du mouTement sur la chaînette se déduit de Téquatien des forces vives ; on a
On sera conduit à une intégrale elliptique de deuxième espèce; mais on voit que j' grandit indéfiniment avec f .
Soient fA = i,n = a, X = 3; la pression est triple de la composante normale du poids; l'équation (i) nous donne
C'est un cercle dont le mobile parcourt la moitié inférieure. Soient yL = ^i n=:i, X = a; la pression double de la composante du poids
La courbe est une cycloïde tournant sa convexité vers le bas *, la base est sur l'horizontale jr = — A, et le diamètre du cercle générateur est c ; quant au mouvement sur la cycloïde, il est bien connu. Dans toutes les courbes brachistochrones, la pression est double de la composante normale des forces extérieures lorsque l'intégrale des forces TÎves existe.
Enfin, si l'on fait fi infini, on a
H = o, X = I ; Di S.-G. — ilM. 1 7
258 RBCUBIL d'exercices
le mobile doit rester sur une droite, et son mouvemeut est uniformément varié.
1 42 . Déterminer dans un plan vertical une courbe telle quun point pesant, obligé de la suivre et ayant primitiuement une vitesse horizontale yj^^gh^ exerce une pression constante. En déduire la courbe sur laquelle il faut faire enrouler le fil qui soutient un pendule simple restant dans un plan vertical pour que la tension soit constante.
(Agrégation, i84i-)
Je prends pour axe des x l'horizontale du point de départ O, pour axe des y la verticale montante. Je désigne par a l'angle de la tangente avec l'axe des x^ et par ng la réaction normale , comptée positivement quand elle sera dirigée vers le centre de courbure ; enfin je fais la masse du mobile égale à l'unité. Le théorème des forces vives et l'expression de l'accélération centripète nous donnent
(i) «/»=2g'(A-~j), -=«^±:^cos«.
Supposons que la trajectoire doive d'abord être concave vers le haut, il faudra prendre le signe — \ en effet, tant que cos<x est ^ o et que la courbure ne change pas de sens, la composante normale de la pesanteur est en sens contraire du rayon de courbure \ elle devient de même sens que lui quand cosa <^ o ; mais cela fait précisément que, dans l'accélération centripète, elle donne toujours — ^cosa. On conclut des équations (i)
h^y ,, .sina^a
n — cosa = 2 =2 (A — Y] — ; •
P ^ ' dx
Il est évident que n est ]> i ^ les variables se séparent, et l'on a, en intégrant,
(A-.^)(/i-cosa)»=^(/i-i)% y = h^( """' Va;
SVK LÀ XACAHIQUE ratiohuellb. lïSg
d'où
sina^a , . cosa^/a
•^ ^ ' (/i — cosa)» ^ ' (/i — co8«)>
On peut intégrer la valeur de dx en prenant pour variable
tang-a-, mais, sans efiectuer ce long calcul, on peut se
rendre compte de la forme de la courbe. Quand a varie de
zéro k -9 X eiy augmentent régulièrement; pour a = -)
la tangente est verticale; ensuite j^ continue à croître, mais X décroit jusqu'à ce que a soit égal à ir *, au point correspondant A, la tangente est horizontale,
X a une certaine valeur a\ puis, a continuant à croître, la trajectoire est l'arc symétrique de l'arc OA par rapport à la verticale de A, et le mobile revient toucher l'axe des x à une distance a a de l'origine \ puis tout se reproduit comme d'abord. Sans calculer la valeur générale de x, il est aisé d'avoir a. On a, en efTet,
Jo /» — cosa»
Or
*' da
^ « — cosa ^n»— I
Difierentions par rapport à n,
Jr^ da -A
0 (»— cosa)» ^ '
a6o RECUEIL d'exeecigbs
diffërentions par rapport à -9 puis divisons tout par n*,
* HCOSada ^ . ^ .-f 3/iirA r r-=3«ir(ii* — 1) ', a= ; •
(/i — cosaj» ^ [n-^iYyfn^'-i
La courbe sur laquelle ou doit faire enrouler le fil d'un pendule pour que la tension soit constante n'est autre que la développée de la précédente. Soient x^^jr^ les coordonnées du point correspondant au point x, j^^ on a
r, = r -4- p cosa = r -h a cosa
*^ n — cosa
. r 3 cosa— /i , .7\
L (/i — cosa)»^ 'J
d'où > ni .,, sînacosarfa ^,, . sin'a^/a
-^ ^ ^ (« — COSa)< ^ ' (/i — cosa)*
On a d'abord un point Oi, correspondant à O, où la tangente est verticale \ puis j^ diminue jusqu'à a = - pour
augmenter quand a varie de - à fr ; quant à Xi, il croit toujours^ il y a un point de rebroussement A|, correspondant i A, avec tangente verticale^ puis la courbe forme une suite indéfinie de festons égaux. Il est clair que Tare Oi A| peut seul servir à l'enroulement du fil pendulaire.
Supposons qu'au point O la courbe doive passer au-dessous de sa tangente, c'est-à-dire que a diminue à partir de zéro^ on devra prendre
~- =zng -^ g cosa et p = r
Des calculs analogues à ceux du premier cas nous donnent
«-+- cosa= 2[r— A) sma-7-9 r = à — h[ ) •
' <(r V" "*" cosa/
SUA LA MÉCAHIQUB UTlOHlfBLLB. a6l
La constante n est seulement assujettie à être ^ — i. Si on la prend '^t^jr reste fini, on a la même courbe que dans le premier cas^ toutefois l'origine en est le point le plus haut, au lieu d'être le point le plus bas. Lorsque n est compris entre i et — i , on peut le représenter par — cos|3, et si ^ est Tangle compris entre zéro et — ir, dont le cosinus soit — 71, on voit que, pour az=^^jr et aussi x sont infinis; la direction asymptotique fait l'angle |3 avec Thorizontale, mais l'asymptote est rejetëe à l'infini; en effet son ordonnée à lorigine est
-f-rfa
(n-n)»A ffi cos|(p — «)</«
Jrp cos|
2« Jo sin'i(p-«)«n*HP-H«)
Comme la quantité sous le signe y*, multipliée par (f3 — a)*, reste finie pour 0^ = |3, l'intégrale est infinie. Pour 71 = o, on a
pour R = I , on trouve l'axe des x.
143. Trouver une courbe plane telle qu'un point obligé de la suivre t et partant d'un point donné O {fig» 2ia) de
cette courbe, sous l'action d'un point A qui l'attire pro^ portUmnellement à la distance, arrive en un point quel" conque M de la courbe dans le même temps que s'il s'était mû sur la droite AM. (Ossiàk Bohxst.)
a6a RECVEU. d'exercices
Soient M, M' deux points de la courbe infiniment Toisins; le mobile doit parcourir les arcs OM , OM' dans le même temps que les cordes OM, OM^ Soit P le point où arrive le mobile qui suit la corde OM' à l'instant où celui qui suit la courbe passe en M, tous deux étant partis ensemble de O ^ nos deux mobiles doivent parcourir dans le même temps, l'un la droite PM', l'autre Tare MM'. Comme le théorème des forces vives a lieu, les vitesses en P et en M diffîrent infiniment peu; il faut donc PM'=: arcMM'*, le triangle PM'M est isoscèle et M'= w — aM'PM.
D'autre part, il est aisé de démontrer que, si Ton considère des mobiles, partant ensemble du point O, attirés vers le point A et suivant des droites issues de O, le lieu de leurs positions simultanées ou courbe synchrone est un cercle doul le diamètre OC est dirigé suivant OA \ les points O, P, M, C
sont donc sur un cercle, M'PM = OCM = 6 en prenant OA pour axe polaire ; il en résulte
M'=:2Ô, -— -=:tangaO, r* = c*sin20. a/
La courbe demandée est une lemniscate de BemouUi, angente à OA, et dont le paramètre est quelconque.
144. Des tàutochrones. — Tromper sur une surface donnée une courbe sur laquelle un point, sollicité par des forces connues, doit se moui^oir pour qu'il arrive en un point A de cette courbe dans un temps constant, quel que soiCle point d'où il part sans vitesse initiale.
Le mouvement d'un point sur une courbe est déterminé par la composante tangentielle de la force motrice, comme le mouvement sur une droite l'est par la force agissant suivant cette droite. La recherche des tautochrones se ramène à celle de la force qui doit agir sur un point assujetti à rester
SDR LÀ MÉCÂHIQVS IIATIOHNBLLE. a63
sur une droite pour qu'il arrive i un point donné A de la droite dans un temps constant. On a trouvé que, s'il n'y a pas de résistance de milieu, la force doit être une attraction proportionnelle à la distance MA^ donc, sur une tautochrone, la force tangentielle en un point quelconque M est proportionnelle à l'arc AM. On a une équation difierentielle qui, avec la connaissance de la surface sur laquelle doit se trouver la tautochrone, suffit à la déterminer. Le point A est une position d'équilibre; autrement il ne fan* drait qu'un temps très -court pour y arriver en partant d'une position inGniment voisine.
Cherchons dans un plan la tautochrone pour un mobile attiré vers un point O du plan par une force inversement proportionnelle au carré de la distance. Je prends O pour pôlci OA pour axe polaire \ le cosinus de l'angle que la force
dirigée suivant le rayon vecteur fait avec la tangente à la
dr courbe est — -j- ; on a donc, pour l'équation de la tautochrone,
.=,,(i-i)=îri
r^ as ^\a ri ra
ds=kl-^ — J</H-H/VÔ%
y na r — a %r*
aa — a/ir'{r— a) ,, 2/ir*(r— a)
r doit rester compris entre a et une valeur r^'^a-^ pour r=:a^ la tangente est perpendiculaire au rayon vecteur; pour r = r\ elle se confond avec lui et il y a rebroussement, en sorte que la courbe ressemble à une hypocycloïde.
Le temps que le mobile met pour arriver en A est - V^.
Nous avons trouvé que, lorsqu'un mobile se meut en ligne droite dans un milieu dont la résistance est A:v% pour qu'il arrive au point A de cette droite dans un temps cori--
a64 ftEcvEiL d'exercices
stant, il doit être attiré vers le point A par une foroe qui, a la distance 5, est
le temps de la chute étant -X. Donc, pour qu'un point
assujetti à se mouvoir sur une courbe dans un milieu résistant arrive en un point A de cette courbe dans un temps constant, il faut que la composante tangentieile de la force extérieure ait une valeur telle que F. Supposons le mobile sollicité simplement par la pesanteur et la courbe dans un plan vertical ; prenons pour axe des x la tangente au point le plus bas, pour axe des j* la verticale ascendante; nous aurons en chaque point de la tautochrone
Comme j- doit être compris entre — iet+i,5ade6 limites-, il faut
ce qui donne, du côté des x positifs, un point d'arrêt à tangente verticale. Si l'on donne i s des valeurs négatives, on pourra aller jusqu'à — oo quand \^gk^i\ il y aura une branche infinie au-dessus de OX avec des abscisses négatives. Si, au contraire, X'g^Ar <] i , 5 ne pourra aller à — oo , et Ton aura un second point d'arrêt. Quant au mouvement sur ces courbes, il est donné par l'équation du travail
a étant la valeur initiale de s. Une nouvelle int%ration
SrE LA MÊCAJffIQVE KÂTIOSVEIXE. a65
donne
I — ^-*'= (l — ^*) COS-»
Le mobile descend pendant un temps ëgal à - X et remonte
pendant un temps égal, et l'arc négatif s^ qu'il décrit est donné par l'équation où l'on fait t r= ttX. Pour le mouvement ultérieur, il faut changer le signe de hv'^ dans l'équation du travail, et la courbe n'est pas tautocbrone du c6lé des arcs négatifs.
145. Cas PARTicuLisa de la brachistochkone. — La brachistochrone est la courbe que doit suivre un point sollicité par des forces connues pour arriver d'un point à m autre dans un temps minimum.
On peut éviter l'emploi du calcul des variations quand la courbe cherchée doit être dans un plan avec la force extérieure et qu'il existe une fonction des forces, c'est-à-dire une fonction f (x,^), telle que les composantes de la force soient
Le théorème des forces vives donne, dans ce cas,
en supposant la constante des forces vives contenue dans cette fonction f ^ de plus, la force qui sollicite un corps placé aux différents points d'une courbe f = const. est normale à cette courbe, dite courbe de niveau.
Nous résoudrons d'abord un problème d'Analyse. Étant donnés deux points A et B qui se trouvent dans deux régions du plan séparées par la courbe C, quel chemin doit suivre un mobile pour aller de A en B dans un temps miuimum, sachant que, dans la région où se trouve lA, le
^66 RECUEIL d'bXBAGICES
mobile aura la vitesse (^, dans l'autre région la vitesse v'? Soient x,, j^i, x„ j^, les coordonnées de A et B, x^jr celles du point M où la ligne parcourue rencontre C; il suffit d'égaler à zéro la différentielle du temps nécessaire à parcourir le chemin AMB, ce qui donne
Cela exprime que les cosinus des angles que la tangente à C au point M fait avec AM et avec MB sont proportionnels aux vitesses dans les deux régions ; or ces cosinus sont les sinus de ce qu'on appelle les angles d'incidence et de transmission.
Cela posé, imaginons une série de courbes de niveau très-r approchées, et cherchons à déterminer une ligne polygonale joignant deux points donnés P et Q, ayant un sommet sur chaque courbe de niveau qu'elle traverse, et telle que ce soit la ligne brisée qu'il faut suivre pour aller de P en Q dans un temps minimum^ on admet que chaque côté soit parcouru avec la vitesse qu'un mobile, partant de P sans vitesse initiale et soumis aux forces données, aurait sur la surface de niveau où se termine le côté considéré. Soient M un sommet du polygone situé sur une courbe G, A et B deux points infiniment voisins de part et d'autre de M, i et î -f- di les angles de AM et MB avec la normale en M, |/ et j' 4- dif les vitesses avec lesquelles AM et MB sont parcourus. On doit avoir
sin / • sîn ( / •+- di ) cos i di v V -^ dv dv
Si maintenant nous supposons que les courbes de niveau soient inâniment rapprochées, le polygone deviendra une courbe*, la loi suivant laquelle le mobile la parcourra ne sera autre que celle qui résulte de l'action des forces don*
SUE LÀ IfAcÂlIXQlIE RÂTIOVUELLE. a6j
nées, et nous aurons la bracUstochrone. Or l'équation de condition donne
sin/ cos idi dv sini cos idi
p di» dt ^ vdt
mais, la force motrice F étant normale à la courbe de niveau, i est l'angle de F avec la brachistochrone; alors -7-
est — cosi : d'ailleurs \fdt est l'arc de courbe et di l'angle
de contingence^ la condition devient
Fsinf z=im — '
La force centripète est égale à la projection de la force extérieure sur la normale; mais il suffit de faire la figure pour voir que c'est sur la normale portée en sens contraire du rayon de courbure; autrement dit, la pression exercée sur la brachistochrone est double de la composante normale de la force F. Cette propriété caractéristique donne, dans tous les cas, la courbe cherchée.
Dans le cas où les courbes de niveau seraient des droites parallèles, comme i + di serait l'angle d'incidence pour la courbe qui suit celle que nous avons considérée, on peut
dire que est constant, ce qui donne une équation différentielle du premier ordre, tandis que la propriété précédente donnait une équation du second ordre. Pour un point pesant, on a, en prenant au point de départ ^ = o,
y/ngX ds c 2C-
ce qui caractérise une cycloïde où la tangente au point de départ est verticale.
368 &BCVBIL D*SXB1IGIGE8
Soit à déterminer la bradustochrone pour un point at* tiré vers un centre fixe O par une force inversement proportionnelle au carré de la distance. Désignons par a la
distance initiale et par •— l'attraction à la distance r\ le
carr^ de la vitesse sera généralement a fil 1 ; nous
aurons donc
■^smi=r aa ) -.
Si la distance du pôle à la tangente est p, on aura
. . p rdr p (i i\ 4P
8in£=:^, p=:— j d'où — il = 2 ( ) -^
r ^ dp ^ r* , \r aj rdr
donC) c étant une constante,
dp adr ,/l i\ o — r — 2— = -7 : =idr[—\ ), />»=c*
p r[a — r) \r a — rj *^ r
Au point de départ p = o, la courbe touche le rayon vecteur^ d'ailleurs
La courbe présente encore des festons analogues k ceux d'une hypocycloïde, mais elle est d'ordre plus transcendant. Les constantes se déterminent à l'aide des deux points extrêmes qui sont donnés.
(Pour Ut Exercices y voir le Chapitre suivant,)
8UB LA MÉCA1IIQ13S RÀTIOXHBLLS. a69
