MOUVEMENT SUR UNE SURFACE FIXE
146. Un point assujetti k rester sur une surface peut être traité comme un point libre, à condition d'ajouter aux forces extérieures la réaction de la surface^ cette réaction est normale quand la surface est polie ; s'il y a frottement, elle est dans le plan qui passe par la normale et la tangente a la U^ajectoire, et fait avec la normale un angle égal à Tangle de frottement. Supposons la surface polie et les coordonnées rectangulaires^ on aura des équations de la forme
Quand N sera positif, c'est que l'action de la surface sera dirigée vers la région extérieure à la surface, celle pour laquelle/(x,^, z) > o.
Les trois équations du mouvement, jointes ày*= o, font connaître a:, j^, z, N en fonction du temps. Il sera bon de chercher si Ton peut appliquer quelques-uns des théorèmes généraux, comme celui des forces vives ou des aires ^ enfin, dans certains cas, on définira la position du mobile sur la surface par deux coordonnées curvilignes, en fonction desquelles on transformera les équations du mouvement.
La force centripète est la résultante de la réaction nor- Btale et de la projection des forces extérieures sur le plan i^rmal à la trajectoire^ autrement dit, la pression suppor-
370 mECVEIL DBXSRGICEa
tée par la surface est la résultante de cette projection et de la force centrifuge : elle est égale à la projection des forces extérieures sur la normale à la surface, augmentée de
m. - cosd, 0 étant Tangle de la normale avec le plan oscu-
lateur. Cette dernière projection est, d'après le théorème de Meunier, égale au quotient de la force vive par le rayon de courbure de la section normale à la surface qui passe par la vitesse. La pression N ne dépend donc pas directement de la position du plan osculateur.
147. Moui^enient d'un point pesant obligé de rester sur un cylindre droit vertical et attirée vers un centre A par une force proportionnelle à la distance. (Licence,
Je prends pour axe des z l'axe du cylindre et pour axe des X une horizontale passant par A ; on a pour Téquation de la surface
Faisons la masse du mobile M égale à Tunité, OA = a, et appelons [i* l'attraction à Tunité de distance ; les équations générales du mouvement nous donnent
Ajoutons les deux premières multipliées respectivement par arfx, arfy,
SUE LÀ XÉCANIQTJE KATtOHNELLE. 27 1
Posons X ^ R cos9, ^ = R sin 9, et désignons par 6» et a les
dt
valeurs initiales de -r et de d^ cette intégrale peut s'écrire
(a) R— =R«»-|- 2fA*a(co80 — - cosa).
Quant à la troisième équation (i), elle s'intègre séparément :
(3) 2= (a -f-^) cosui-f.-(-T^ I sinttf— ^.
La projection de M sur Taxe des z fait des oscillations dont
2ir
la durée est — au-dessus et au-dessous du point dont
l'ordonnée est — •^« L'équation (a) prouve que le rajon vecteur de la projection de M se meut par rapport à OA, comme la tige d'un pendule de longueur ~-< par rapport à
la verticije *, le mouvement sera alternatif ou continu selon
que
R»* — 2f»'a(i 4-cos«)^o.
Dans le second cas, le temps d'une révolution est I rfô^(aji*acosO -I- R»*— 2p*acosa) *;
s'il est commensurable avec — » la trajectoire sera fermée \
mais elle ne peut être plane, car ce serait une ellipse, et 0 devenant une fonction connue de z s'exprimerait conmie loi par des fonctions élémentaires de < ^ or c'est incompatible avec la forme de l'équation (2} qui exige une intégrale elliptique.
Quand a = o, on peut appliquer le théorème des aires
2y2 HEGUBIL DEXBRCICB8
sur le plan xy] d'ailleurs Téquation (3) donne
et, en prenant pour origine du temps une époque où dz = o^ (3) devient
si fA = 0), la trajectoire est plane.
Pour calculer N, j'ajoute les deux premières équations (i) multipliées respectivement par x et 7, et, comme
je tire
mais
dx dy d^x d^y dx^ dy"^
dt ^ dt ' dO -^ dt^ dt^ dn
= — R'— 4- p'(R'— aRcosO).
Remplaçant — par sa valeur (a) :
N = pi'(R-h2acosa — 3acos0) — R«'.
Cette force diminue avec cos9-, il suffit de donner a cette variable ses valeurs extrêmes pour reconnaître si N peut s'annuler.
148. Mouvement d'un point assujetti à rester sur un cône droit et attiré vers l'axe par une force qui lui est
SDR LA ICÉCANIQDB lUTIOUSELLE. 273
perpendiculaire et proportionnelle à la distance du mo^ bile à l'axe. Cas où la ^vitesse initiale est perpendiculaire à Vaxe et le demi-single du cône égal à 3o degrés, (Licence, 1869.)
n est facile de résoudre ce problème à l'aide des équations du mouyement sur une surface \ mais on y arrive plus rapidement par une considération souvent utile dans les questions sur le cône. Définissons la position d'un point M sur le cône par sa distance r au sommet, et par l'angle co que la génératrice sur laquelle il se trouve ferait avec une génératrice fixe si l'on développait la surface sur un plan . Soient ^ l'angle des plans méridiens passant par les deux génératrices considérées, B le demi-angle au sommet du cône^ la distance de M à l'axe est r sinS, et l'on a
Le mobile n'étant sollicité que par la réaction N de la surface et l'attraction de l'axe fi' r sin 9, qui toutes deux rencontrent l'axe du cône, le théorème des aires a lieu pour la projection sur un plan perpendiculaire
r'sin'ô-T- = r'sinO --- =rC.
dt dt
L'équation des forces vives est intégrable, et donne, la masse de M étant i ,
Les deux équations entre r et co sont celles du mouvement d'un point attiré vers un centre O par une force /i*rsin*fl, r et ûD étant les coordonnées polaires \ on sait qu'un pareil point décrit une ellipse dont O est le centre. Si donc on développe le cône sur un plan, la trajectoire du mobile proposé aura précisément pour transformée cette ellipse, ce
Db S.-G. — Bee, l8
ay^ BEccEii. d'bxekciges
qm en définit la nature dans l'espace \ le mouvement du point sur la trajectoire est tel que l'aire décrite par les rayons correspondants de la transformée croisse proportionnellement au temps. On détermine l'ellipse, puisqu'on en connaît un diamètre OMo, la tangente à son extrémité qui fait avec OMo l'angle de Vo avec ro', enfin i^^ est égal au produit de [i sin 6 et du diamètre conjugué de OMo 9 on aura les axes a a, ai et leur direction.
La projection de la trajectoire sur un plan normal à l'axe est, p étant le rayon vecteur,
— -— = -— cos*(4^sinC) -4- 7- sin' (4^ sin 9);
elle est transcendante quand sinO est incommensurable; pour 0= 3o°, c'est une courbe du quatrième ordre.
Soient, en un point de la trajectoire, a l'angle de la génératrice avec la tangente, R le rayon de courbure de la section menée par cette tangente et la normale au cône ; la
pression N est (1^) ^ diminuée de l'attraction estimée
suivant la normale au cône, /x'rsinOcosfi. La formule d'Eu- 1er sur la courbure des surfaces donne
I sin' a
R rtangO
N = — u*r sinO cosô = , . ,^ — u}r smO cosO.
rtangrO ^ 7*sm*9 ^
149. Etudier le mouvement d'un point pesant sur un paraboloïde de re'i^olution dont l'axe est ^vertical et la cons^exité tournée "vers le bas; discussion générale, (Licence, 1861, 1872.)
Partons cette fois des équations du mouvement sur les
SUB LA MÉCANIQUE RATIOlTirELLE. 2y5
surfaces. On peut écrire réquation du paraboloïde
(l) x'4-jr» 2/?-5 = 0;
et, si la masse du mobile M est Tunitë, les équations du mouTement deviendront
, A= ^x^-hjr*-i- p\
Ajoutant les trois premières multipliées respectivement paf 2dx, 2djr^ ^dz^ et tenant compte de l'équation (i}) on a Tintégrale des forces vives
dr* dy^ dz^ , , ,
Si Ton multiplie la première équation (a) par — y^ la deuxième par x, et qu'on les ajoute, on a
d'^Y d'^x dy dx ^
C'est l'int^rale des aires appliquée au mouvement de la projection sur le plan XY, et cette équation pouvait être écrite à l'avance, puisque les deux forces qui agissent sur M, la pesanteur et la réaction de la surface, ont un moment nul par rapport à l'axe des z.
La nature de la surface et la forme des intégrales premières conduisent à prendre des coordonnées semi-polaires r, 6 et z. Appelons a la valeur initiale de r, et e l'angle de la vitesse initiale v^ avec la tangente au parallèle, les intégrales des aires et des forces vives deviennent
,^, dr^ dB^ dz^ ^ , , dB
f^> dP'^'^'dF^-^dr^'*'^^^^''^'^' ^'5j = c— ^^.cos.;
2^6 RECUEIL d'eXEHGICES
de plus réquation de la surface donne
Éliminons r et d entre les équations (3 ), faisons u\=zigh^ et tenons compte de ce que a'= ^pz^^ nous trouverons
(4) ^! = — ^^— [— a' -4- [z.^h]z - hz. cos'il.
^^' dO 7.Z -r-p V ■ / • J
z doit rester compris entre deux limites égales à
?^±J^±^^(z.^hY-^Az.hsmU,
Pour que ces limites se confondent, il faut la double condition Zo= A, e = o^ dans ce cas, le mobile parcourra uniformément un parallèle de la surface avec la vitesse
yj2,gz^\ comme la longueur du parallèle est TLit^^pz^, le
temps de la révolution sera 2ir i/-: il est le même pour tous les parallèles (^).
(') Sor une surface de révolution quelconque à axe Yertical, on peot donner à un mobile pesant une vitesse horizontale k,, telle qu'il reste sur le parallèle où il est d'abord; il faut et il suffit que la résultante de la force centrifuge et de la pesanteur soit normale à la surface. Soient r le rayon du parallèle, y l'angle de la normale avec la verticale; la condition est
g cosy = — " sin y ; r
le temps de la révolution sera
T= — = !iwY/-tanBy.
Pour que ce temps soit le même pour tous les parallèles, il faut que r tangy soit constant; or, en appelant dr et dz les variations correspondant à un petit arc de méridienne,
tangyss-^) Tàr-=.cdz\ dz
la méridienne est nécessairement parabolique.
SUR LA MÉGAlîIQtTE RATIONNELLE. ÙJJ
Dans le cas général, le mobile monte jusqu'à une certaine hauteur p, puis redescend jusqu'à une hauteur plus faible a pour remonter à la hauteur (3 pendant un temps égal à celui de la descente^ il exécute des oscillations périodiques entre deux parallèles de la surface. Avant d'ache- ?er l'étude de ces oscillations, je calculerai la réaction N de la surface. Ajoutons les trois premières équations (2) multipliées respectivement par x, /, — /^^ on en déduit
mais, en difTérentiant deux fois l'équation (i), on trouve
d^x d\r d^z __ dx^ dy^ dz^
^'dF '^^Idi^^^'dÔ '~""dr'"dF'^d?'^*^'
Le second membre est donné par nos formules précédentes; substituant dans N et réduisant, on trouve
Comme elle est toujours négative, il en résulte que le mobile appuie toujours sur le côté concave de la surface.
Revenons à l'étude du mouvement. Nous ne restreignons pas la généralité du problème en prenant pour origine du temps l'époque où z a sa valeur minimum a, le maximum
étant p = A = -^ ; l'équation (4) donne
(5) dr=±±J-^
On prend le signe + jusqu'à ce que z atteigne |3, puis le signe — quand z décroit, et ainsi de suite; le temps d'une demi-oscillation est
Posons z == a coâ'u + /3sin*u, nous aurons des intégrales de forme connue
^ ces' a.
Pour aroir la projection de la trajectoire sur XOY, je
remplace dans l'équation (S) z par — 1 dz par — el dt
r*d9 r*dB r^dB ., .
par — r- = = — ■: il vient
(6) cf9=±2^ v^pT^ht;^ ^.
'^ y(/-'— 2/>a)(2/>p — r») Nous avons, u étant la même variable que tout à Theure, r' = 2/7 { a cos'tt -h p siii'u },
\l p -f- 2acos*tf -f- 2psin'u^ acos'2f 4- psiii'u
r oscille entre yj^pa et sl^p^\ Tangle de deux rayons maximum et minimum qui se suivent est supérieur à -)
car c'est
V/^ -h 2 a ces* 1/ -h 2 pâli* « .
acos'tt -f* psin'ic
SUH LA MÉCAlflQUE RATIOUJIELLE. ^79
Nous retrouvons le même théorème que M. Puiseux a démontré, au tome VU du Journal de Liouyille, sur le pendule sphérique ; la différence d'azimut de deux plans
de hauteur maximum et minimum est ^-; mais la dé-
monstration est compliquée dans le cas du pendule sphérique (*).
Lorsque ^ est très-voisin de a, on voit que l'angle des
deux rayons vecteurs a pour limite - \/ •
Les petites oscillations s'étudient très-facilement sur le paraboloïde. Je fais !kpa = a*^ 2p^ = b* dans l'équation (6); puis, dans l'équation (5], je remplace z par la variable r, et j'introduis les mêmes paramètres a et &-, on
(*^ Voici, sauf quelques modifications, la démonstration que M. Puiseux
donne de cet important théorème. Faisons le rayon de la sphère égal à i ,
appelons $ l'angle du pendule avec la verticale, f l'azimut du pendule, et
ils do
«apposons qu'à l'instant initial on ait 9 = a, 57 = o, 2t^^^ J ' ^^^
équations des aires et des forces vives donnent sin*6^ = «iîn*fc, ^■+-«i*>*^^ = w*sin'«-+- a^Ccos6 — cosa);
d'où
, zhùiBm*aLd$ aa = ■ - ■ — — zrzizr - •
sin9^^cos5 — co8«)[a^sin'0 — <u*8in*«(co8d +cos0e)]
1^ quantité entre crochets s'annule pour une valeur de 0, fi, que je suppose <a; on a
ignn*fi = «• sin* u (cos/8 -h cosa), — -^ == ^f~^ ;
'^ cos^-t-cosa sln'/3 '
^ , ^^ — sin a sinfidB
nn$^{eoB6 — co8a)(cos^— co8 0)/iH-cosaco8/3-4-cos9(co8a-hco8/9) *
Comme eos0 est <cos)8, fi étant le minimum de 0, si l'on remplace dan® le second radical cos6 par cos/3, on diminuera df, et l'on aura une limt
SSO RECUEIL D*EXBHCIGES
trouve sans peine
ahdr
i-pî
abdr ah rdr
d'où
(7) 20 = arccos 1 arccos -, —
*" II 2/?» *» — a'
«» "" 6^ L'équation (5) donne
rdr irpM-r'
Si l'on se borne à la partie principale en négligeant r* à
de l'angle des plans qui donnent 5 = a ou 5 =: ^, savoir :
« sinasin/9 /*■ <^9
^* ^1 -i- a cos a cos^ -+- C08*/3 J^ sin B ^( ces Ô — co» a) (cos j8 — cos^) En posant cos 6 = cos a cos' « + cos ^ sin' «, l'intégrale définie devient
/* a</ii w / I I \
I — (cosacos*«-*-cosi8 8În*«)* "~ 4 I « /8 . « • /^ 1
^ '^ V cos - cos - sin - sin - /
a— ^ wcos i-
sin a sin /3 '
d'où
ff cosj(oe — /8) . A I -H cos g cos /8 H- sin /8 sin «^
'* ^i -h a cosec cos^ + cos*^ ''Va 1 -•- 2 cosacos^ -i-oos»;8 *
mais iH-acos«cos)8-H:os'^ est visiblement <a(i+coso(co8/8H-sin«siD^}t donc f 1 > —
SU& LÀ MÉCANIQUE aATIONNELLE. sSl
€Ôt^ de p', on a
arccos
Ainsi qu'il conyient dans une méthode d'approximation, on remplacera le deuxième terme du second membre de Téquation* (7) par sa partie principale, et l'on aura
abt s r» û» h^
28 ; i/- = arccos ;
2/7' y /> II
d'où
Dans une première approximation, la projection du mobile décrit une petite ellipse dont le centre est à l'origine ^ une nouvelle approximation exprime que cette ellipse n'est
pas fixe, mais qu'elle tourne autour de son centre, dans le
même sens que M, avec la vitesse angulaire j— , i/-- Il
serait facile, en développant quelques termes de dt^ d'avoii* le temps que le mobile met pour passer d'une position à one autre ; mais la forme d'intégrale elliptique que nous ayons trouvée serait plus convenable pour cet objet.
Le cas où la vitesse initiale serait dirigée suivant la tangente au méridien et où le mobile ne sortirait pas de ce méridien se rapporte au mouvement sur une courbe ; il se déduirait des calculs précédents en y faisant c' et a égaux à zéro. Au lieu de m'y arrêter, je préfère donner l'équation de la tautochrone sur le paraboloïde ) on a, comme U a été dit pour toute tautochrone,
dz s . \ j àzsfc
ds e ^^f^z-^z.)
a8a &BCVEIL d'exb&giges
Remplaçons ds par sa valeur, éliminons m et faison& 2/7Zo = a*, nous aurons
La courbe forme une suite de festons dont les parties les plus basses correspondent kr^=^a^ les rebrousse ments à la valeur qui annule le numérateur de dr. Pour a = o, en faisant cp — P* = A*, on a
dr
dB = — v^A» — r\ pB = AL -r= + ^A» — r\
en supposant 6 = 0 pour r = h\ en ce point la courbe touche la méridienne, et elle revient au pôle en tournant indéfiniment autour de lui.
150. Déterminer toutes les surfaces telles qu'un corps pesant, abandonné sans vitesse initiale en un quelconque de leurs points et obligé de rester sur la surface, glisse toujours le long d'une ligne de plus grande pente.
Posons, selon l'usage, pour un déplacement sur la surface^
dz:=pdx -^ q djTy dp =r rdx 4- sdjr^ dq = sdx H- tdjr.
Les équations du mouvement sont, en désignant le temps par 9, puisque t vient d'être pris dans un autre sens.
dB^ " ^
SDK LA MéCAiriQCE RATIOHHEU.E. a83
Des deax premières on tire
mais, la trajectoire devant être une ligne de plus grande pente sur laquelle
(2) qdx^pdjr=zOy
on a, en divisant par dQ et difierentiant,
dx dy d^.T d^y dp dy dq dx
L'équation (i) devient
dpdy — dqdx'==.Oy (r — t\dxdy -h s\^dy'^ — cb:') = o;
et, si Ton tient compte de l'équation (2},
(3) [r-- t)pq-\- s[q» -^ p^]^0.
Cette équation, ayant lieu pour tous les points de la surface cherchée, est son équation aux dérivées partielles. On aura one intégrale dji premier ordre en l'écrivant
rp -i- sq ps 4- qt
J. ^ =:: £. i. ou
dx
dy
"^ dz
dy
dz dx
oc c'est un théorème général que, si deux fonctions des mêmes variables ont leurs dérivées partielles proportionnelles, l'une de ces quantités est fonction de l'autre^ donc
Tout le long d'une section horizontale quelconque, la normale à la surface fait un angle constant avec la verticale; il s'ensuit, d'après un théorème de Joachimstahl, que ces
a84 UECUEIL d'£XEEGICES
sections sont des lignes de courbure; mais nous le déduirons de l'équation qui détermine ces lignes ou plutôt leur projection sur le plan des ocy :
— [(l 4-/?')f — />îr]^'=0.
Si Ton y remplace s par sa valeur tirée de l'équation (3) et si Ton divise par (i + y*)r — (i-l-p*)f, on a
d'où
±^^P ou ^=:?.
dx q dx p
Le premier système, ou pdx"{-qdy = o, comprend les lignes de niveau 5 l'autre système est formé, comme l'indique l'équation (2), des lignes de plus grande pente. Je dis que chacune de ces lignes est contenue dans un plan vertical, ainsi que les normales, à la surface aux divers points de la ligne considérée. En effet, au point M d'une ligne de pente, la tangente MT à cette ligne et la normale à la surface sont dans un même plan vertical, comme étant toutes deux perpendiculaires sur la tangente à la ligne de niveau en M; au point infiniment voisin, la tangente M'T' et la normale M^N' sont aussi dans un plan vertical; mais, si celui-ci était distinct du premier, il ferait avec lui un angle infiniment petit du premier ordre, et leur intersection serait verticale; or les lignes MT, MN du premier plan coupent les lignes M'T', M'N' du second, sauf des quantités du troisième ordre , et les deux points de rencontre ne sont pas sur une verticale; donc c'est un seul et même plan qui contient les tangentes à la ligne de pente et les normales à la surface. J'ajoute que ces lignes de pente sont superposables, puisque l'angle de leur tangente avec Thorizon, égal à l'angle de la normale à la surface avec la ver-
SUE LA MÉCAiriQUE EÂTIOlTlf ELLE . a85
ticale, est donné par une fonction commune de Z] on peut donc écrire dx = ^'(^) dzy x = vj^ (z) -f- c, j: et « étant des coordonnées dans le plan de Tune d'elles; Téquation est la même pour toutes \ les éléments correspondants sont à la même hauteur. La surface peut être engendrée par une courbe plane quelconque dont le plan se déplace en restant vertical; en considérant le cylindre enveloppe du plan, on peut obtenir le déplacement de la courbe en enroulant son plan sur 'le cylindre. Les surfaces de révolution, les surfaces canaux à directrice horizontale, les cylindres horizontaux sont des cas particuliers de nos surfaces. Quant à la loi du mouvement, elle est la même que pour un point pesant sur une courbe donnée dans un plan vertical.
151. Lignes géodésiques sur les surfaces de re'^olution et sur l'ellipsoïde.
Lorsqu'un point assujetti à rester sur une surface fixe n'est soumis qu'à des forces dirigées suivant la tangente à sa trajectoire, comme des frottements ou des résistances de milieux, l'accélération centripète n'est produite que par la réaction de la surface, en sorte que le plan osculateur est constamment normal à la surface. Cette propriété caractérise les lignes géodésiques, lignes de longueur minimum, du moins entre certaines limites ; mais le point de vue auquel nous nous plaçons donne un moyen de trouver ces lignes comme trajectoires d'un point libre de toute action extérieure. Les équations générales du mouvement deviennent, dans ce cas particulier.
d^:r N df dt^ ~ Adx^
d^y ^-N df
dO ~" A dy^
d^z ^df dt^ *" ù £fe'
on en tire
v^ — const..
et, si l'on peut former une autre équation indépendante
2|86 EECUEIL d'exercices
de N, on n'aura qu'à éliminer t pour avoir une équation différentielle de la trajectoire.
Soit le point placé sur une surface de révolution
et faisons - = 3^ ^ les équations deviennent
On en tire les équations des forces vives et des aires en coordonnées semi-polaires
dr^^r^de^-^dz^, .>^=c«=«A.
*^"^ dt^ dt
Éliminant ^t.
Telle est l'équation des lignes géodésiques. Si Ton appelle p l'angle que leur tangente fait avec la tangente au méridien du point de contact, on a
Cette tangente est infinie pour r = n, et ne peut devenir nulle que pour r = oo . Sur un ellipsoïde aplati, d'axes aa et si, l'équation des lignes géodésiques devient
On peut supposer que r parte de la valeur n^ la courbe est tangente au parallèle, elle traverse l'équateur pour r z=za\ l'angle avec le méridien est alors minimum, puis r redescend jusqu'à la valeur n pour croître ensuite^ quant à 9, il
SUE LA MÉGAiriQUE RÀTTONIVELLE. ^87
augmente sans cesse ^ la courbe oscille entre denic parallèles équidistants de Tëquateur.
Sur le paraboloïde, r augmente constamment de n à oo .
Soit donné Tellipsoïde à trois axes inégaux
Nous supposons a ^ & ]> c^ les équations du mouvement
sont
'dF'^ ^' 'dF'^ ï^' dF^ c»'
Ajoutons ces équations multipliées respectivement par
\ dx \ dy \ dz ^ â' di^ T^ di^ ? di'^
I ilx d*x J dr d^r \ dz d*z
, a^ di dt^ b^ dt dt^ e" dt dO
\ \a* dt b* dt'^ & dt)'
Multiplions, au contraire, par ~» t;> -j» et ajoutons
X d'^x Y d^Y z d^z /.r* y' z*\ ^ a» dt^ "^ ô« J/» c» dt^ ~ \a^ ô* cV '
mais, en différentiant deux fois l'équation (i), on a
X d*x / I ^£r* i <fy' \
l^^'dF'^ '^\7^dF'^'PdF'^"'j'
réquation précédente devient
\a' dt^ b* dt* ) \a^ )
a88 RECUEIL d'exeecigbs
Éliminons X entre cette équation et l'équation (a),
I dx d^x ^ I dy d'*y a» dt dO "^ 6» dt dO '^"
X dx y dy
• 7^ dt'^ b^ dt'^"'
I dx* ^ I dy^ a} dO ^ h" dt^ "^""
Les deux fractions sont des diâférentielles exactes, et Ton a l'intégrale
l}dj^^}^dy^.l d^\(^^fz^^, \a} dt^ ^ b* dt' c" dt^J \x^ b^ c* ) ~ '
On a aussi l'intégrale des forces vives
dx^ dy* dz*
dt* ^ dO ^ dt* '
de sorte qu'il suffit d'éliminer dt entre ces dernières équations pour avoir l'équation différentielle des lignes géodésiques
,^, [dx* dy* • dz*\ /x* y* z*\ Â* , ,
Cette équation ne renfermerait que j: et j^ si l'on tirait z et dz de l'équation de l'ellipsoïde ; mais on ne peut séparer les variables. Pour être ramené aux quadratures, il faut recourir aux coordonnées elliptiques. Considérons les deux surfaces homofocales à l'ellipsoïde (i)
(5) -if+ j:! + jL=,.
a* — p 0* — p. c* — fjL
Si l'on donne à X toutes les valeurs depuis c* jusqu'à £', on a des kyperboloïdes à une nappe homofocaux à l'ellipsoïde, et qui le coupent, on le sait, suivant des lignes de
Sun LÀ XÉGÂSIQUE RATIOHIVELLE. %9Q
courbure; pour X = c', Thyperboloïde se réduit au plan dès ay^ et à celui des zx pour X r= &* ^ les intersections avec Tellipsoïde se projettent sur le plan des ay suivant des ellipses concentriques, dont la dernière, pour X == &', se réduit à la droite qui joint les projections des ombilics. Donnons, au contraire, à |u toutes les valeurs depuis b* jusqu'à a*, l'équation (5) représentera des byperboloïdes à deux nappes dont l'intersection avec l'ellipsoïde se prpjette suivant des hyperboles ayant leur axe transverse suivant OX; pour fx = a', cette hyperbole se réduit à une droite double dirigée suivant OY. Dans l'espace, ces intersections forment le second système de lignes de courbure de l'ellipsoïde. On obtient ainsi sur la surface deux séries de lignes orthogonales qui forment un système de coordonnées définies par les valeurs de X et de ju(. Il est d'ailleurs aisé de repasser de ces coordonnées aux coordonnées ordinaires : il suffit de résoudre les équations (i), (4) et (5) (Binet a donné un procédé élégant qu'on trouve exposé dans Yjàlgèbre de M. Bertrand) 5 on trouve
n suffit de substituer ces quantités et les différentielles ix, dj-^ dz dans l'équation (3) pour obtenir l'équation différentielle de la trajectoire en coordonnées elliptiques. Un calcul direct, que des considérations de symétrie peuyent abréger, donne
a* b* c* à'b^c'' De S.-G. — iKec. 19
apo RECUEIL D EXERCICES
Ou a encore
<lx =
d'où ^ *-(a'-X)(6»-X)(c»-X)"^(a«-p)(6'-^)(c»-^)
(X~fx)^X> ^ (p-^)^f*'
Il suffît de substituer ces valeurs dans Tëquation (3) pour avoir sa transformée en coordonnées elliptiques. On pourra diviser par {x — X qui n'est pas nul en général, autrement X et fA seraient égaux à b* qui les sépare, et la trajectoire serait l'ellipse qui a pour axes le plus grand et le plus petit de l'ellipsoïde. L'équation des lignes géodésiques sera, en posant 71* A* = a* i'c*/:*,
a— a')(X— 6»)(X— c')(X— /?') (^— a>j(pi— 6»](^— c»](^— /!']
Comme X est compris entre i* et c*, (x entre a* et i', la constante /i* doit donner des signes contraires à X — n* et fx — 71* 5 on a nécessairement fx > ti* ]> X ; ti* se déduit d'ailleurs de l'équation (3), connaissant la position et la vitesse initiales. Si ti* <^ i', X devra varier entre n} et c*, fx entre û* et i* -, la ligne géodésique sera comprise entre les deux lignes de courbure données par l'hyperboloïde à une nappe répondant à X = n*. Si, au contraire, 7i*>i*, X variera entre i* et c*, {i entre a* et 7i'^ la ligne restera entre les deux branches de la ligne de courbure située sur l'hyperboloïde à deux nappes pour lequel jx = ti*. Si ti* = c*, X sera toujours égal à c«, et la ligné géodésique sera l'ellipse prin-
SUR LA MÉCÀHIQVE RATIOMBELLE. 39 1
cipale située dans le plan des xy-^ si n* = a*, ce sera l'ellipse du plan des yz. Le cas de n*= b* est remarquable^ les iAtégrales ultra-elliptiques se réduisent à des intégrales elliptiques^ mais surtout, comme X finira par s'approcher de b*y l'intégrale du terme en d'k croîtra indéfiniment^ il devra en être de même de celle en c/fx, et par conséquent ft tendra aussi vers &*, et la ligne géodésique passera par un ombilic, puis elle ira à l'ombilic diamétralement opposé, et ainsi de suite. Le mouvement sera, dans tous les cas, uniforme, et, en tenant compte de (6), on trouve
le temps s'exprime par deux intégrales ultra-elliptiques.
Mouvement d'un point assujetti à rester sur une parabole j^= a/7x et sollicité par une force dont les composantes sont
la vitesse au sommet est/?c. (FuHRMAirir.)
Dans la gorge d*une poulie dont le plan est vertical, on a enroulé un fil dont une extrémité pend librement et se termine par une molécule pesante ; on imprime à ce poids une vitesse horizontale dans le plan de la poulie, et Ton demande son mouvement : cas des petites oscillations. (YikilIe.]
Déterminer dans im plan vertical une courbe sur laquelle doit ghsser un point pesant pour qu'il descende de hauteurs égales dans des temps égaux; la tangente au point de départ est verticale. Si le mobile tombe d'une hauteur p dans T unité de temps, la courbe a pour équation gP'^c^^z Sg'j*. (P. Juilirn.)
29^ RECVBIL D EXERCICES
Un point matériel est attiré vers un centre O avec une focce proportionnelle à la distance, et sa vitesse initiale est dirigée vos le point O ; sur quelle courbe doit-on l'obliger à se mouvoii* pour que sa distance au point O décroisse uniformément ? La courbe a une équation intégrable et est asymptote au point O.
Déterminer dans un plan les courbes tautochrones pour un mobile attiré vers un point du plan avec une intensité proportionnelle à la distance. La courbe peot être une hypocyclolde ou une droite, ou une spirale logarithmique, ou une spirale formée de deux branches symétriques, s' éloignant indéfiniment du centre d'attraction. (P. Jullibn.)
Déterminer la brachistochrone pour un point attiré vers un centre fixe en raison directe de la distance. On peut employer le procédé élémentaire que j'ai indiqué pour un cas semblable, et l'on trouve une hypocyclolde. (Euler.)
Déterminer dans un plan vertical une courbe sur laquelle doit se mouvoir un point pesant pour que la pression soit proportionnelle à la puissance /z de sa distance à une certaine horizontale. On arrive à une difierendelle binôme intégrable quand n est l'inverse d'un enti<»*. (Varignow.)
On a une ellipse dont le grand axe a a est vertical; un point pesant placé dans l'intérieur, à l'extrémité du petit axe, est lance verticalement avec une certaine vitesse p, ; déterminer f , de sorte que le mobile, après avoir quitté l'ellipse, décrive une parabole qui passe au centre. On aura le point où le mobile quitte l'ellipse en écrivant que la pression y est nulle; on trouve
**• = , j^ €' (P- JniLiKN.)
Mouvement d'un point pesant sur une cydoide située dans un plan vertical et dont le sommet est au point le plus bas ; on sq>pose que l'air exerce une résistance proportionnelle à la vitesse La cycloïde est encore ici tautochrone. Pour de petites osdlIiK tions, le temps d'une double osciUation est à peu près le même
SVR I.A MÉGANIQUE aÀTIOHNELLK. SLQZ
que dans le vide» mais les arcs d*écarl décroissent en progression géométrique.
On laisse glisser des corps pesants sur différentes droites issues d*tui même point, Tair exerçant une résistance proportionnelle au carré de la vitesse ; quel est le lieu des points sur les différentes droites où les mobiles ont une vitesse commune?
Déterminer dans un plan vertical une courbe AMB, telle qu'un mobile pesant, lancé du point A avec une vitesse convenable et soumis à une résistance proportionnelle au carré de sa vitesse, atteigne un point quelconque M avec une vitesse égale à celle qu'il aurait en tombant verticalement dans le même milieu d'une hauteur verticale égale à l'arc MB. L'équation de la courbe, en plaçant l'origine en A, est de la forme
^{ j: -4- j) = I — ir^\ ( W. Waiton.)
Trouver les lignes géodésîques sur un béliçolde droit à plan dvrecteur, ou surface de la vis à filet carré. On peut écrire l'équation de l'héliçolde
« = ûarctang-j ou z=aB,
en prenant des coordonnées semi-polaires. On trouve aisément
d^x d^y d^r dB^ dr^ , , ,,£/«» ^,
dû ^-^ dO dt^ dt^ dt^ ^ Ut^
d'où
dt^ a»+r»\ dO)
On peut intégrer :
il «ufiRt d'éliminer dt pour avoir l'équation différentielle des projections sur xy*
394 RECUEIL D*£XERCIGES
Mouvement d\in point pesant assujetti à rester dans un tore dont l'axe est vertical, la vitesse initiale étant tangente au parallèle inférieur; cas où cette vitesse est petite. On trouve que le point n'artîve jamab à la partie où les courbures sont de sens contraire.
Un point lié à un point ù%e par une tige sans masse est attiré vers un centre éloigné ; les petites oscillations ont une durée proportionnelle à la distance da centre attractif; loi de l'attraction.
SUR LA MÉCÀiriQUE RATIONNELLE. 29$
