MOUVEMENT RELATIF

Accélération dans nn monYement composé.

1S2. Étant donnés le mouvement d'un point M par rapport à un système S et le mouvement de S par rapport à un système fixe, la Cinématique permet de trouver raccélération absolue de M. M. Bouquet a exposé pour cette recherche une méthode que je résume sommairement, parce qu'elle a l'avantage d'être fondée sur la considération la plus naturelle, celle des vitesses. Je négligerai tout de suite les infiniment petits d'ordre supérieur à ceux que je considère, et, poiu* exprimer qu'une droite AC est la résultante de ÂB et de BC, j'emploie la notation adoptée par quelques géomètres :

(AC)s(AB)-f-{BC).

Soient V, Ur^ w, les vitesses absolue, relative et d'entraînement de M, y, 7^, 7, les accélérations de même nom pour lepoque t] si v' est la vitesse à l'époque t'=t + dt^ nous écrirons avec notre notation, et en négligeant ce qui disparaît à la limite, (i^') ^ (v») H- (ydt).

Soient Â, B les points de S avec lesquels M coïncide aux époques t et t -h dt] on peut regarder le mouvement élémentaire de S comme formé d'une translation et d'une rotation autour d'un axe AI 5 soient û> la vitesse de cette rotation, a l'angle ABL Menons AE et AR égales et parallèles

2g6 KEcvBiL d'exercice*

à i', et i^rj (u) ^ (AE) -h ( AR) -, quant à u'j ce sera la résultante de la vitesse relative ul à Tépoque £', représentée par AR', et d'une vitesse d'entraînement AE', qui est la vitesse absolue à l'époque t\ non plus de A, mais de B^

donc

jV)=s(.) + (yA)^(AE') + (AR').

AE' est la résultante de la vitesse AE'^ de A à l'époque t\ et de la vitesse que donne à B la rotation autour de AI^ mais la distance de B à l'axe est AB sina = Urdt sina, cette seconde vitesse E^E' est égale à (ùi^^dtsina et perpendiculaire au plan ABI, à droite de AB, par rapport à AI ; donc

(AE') = (AE") 4- (£*'£'.) = (AE) -f- [y.dt) -4- [f^Prdtsma).

Quant à RR', ce n'est pas yrdt^ parce que, pendant le temps dt^ la rotation autour de AI a amené AR dans une position AR^', et l'observateur, entraîné avec S, juge que l'accélération de M, c'est-à-dire son accélération relative,

est -—5^-7 mais, comme la distance de R à AI est i^^sina,

l'arc RR'*^ sera précisément égal et parallèle à E'^E'; donc on aura

( AR') s (AR'') -h (R"R') = (AR) -4- [yrdt) -f- («Pr^-fsina).

Remplaçons, dans l'expression de (1^'), AR' et AE'par leurs composantes, et supprimons (1^} dans le premier membre et, dans le second, sa valeur ( AR) + ( AE) ^ tout devient divisible par dt^ et l'on a

(A) (7) = (7.) H- M 4- (2««vsina).

L'accélération totale est la résultante des accélérations d'entraînement et relatii^e, et d'une accélération complémentaire perpendiculaire au plan de l'axe instantané et de la vitesse relative, et dirigée à droite de cette vitesse.

SUE Uk MÉCANIQUE AATIOlfZfELLE. ^97

Ce théorème, dû i Coriolis, donne aisément les composantes de l'accélération en coordonnées polaires. Suf^sons qu'on mobile M parcoure un rajon vecteur pendant que ce rayon tourne dans un plan autour du p&Ie O^ Taccélé-

ration relative est --7--» dirigée suivant OM: Taccélération

ai'

d'entrainement a une composante — r — suivant OM, et

une autre r— ■ perpendiculaire; l'accélération complémentaire est, dans le plan du mouvement, perpendiculaire à

OM et égale à a ■— — • On connaîtra donc les deux com-

^ dt dt

posantes de y suivant OM et sa perpendiculaire,

rf»r^ ^ £!f drd9__i d ^dB

dt* ^dô^ ^ do'^^di'dt^rJt^ "^^

En faisant tourner le plan considéré autour de la droite qu'on prenait d'abord pour axe polaire, on aura le mouvement dans l'espace, et le lecteur retrouvera, par l'application du théorème de Coriolis, les composantes de l'accélération en coordonnées polaires.

L'égalité (A) peut se mettre sous la forme

(®) (7O = (7) — (7*) — (awi'rsina).

L'accélération relative est la résultante de l'accélération ^solue, de l'accélération d'entrainement prise en sens contraire, et de Taccélération centrifuge composée \ celle-ci est ^ale à acdi^^sina, perpendiculaire à l'axe instantané passant par le mobile et à la vitesse relative, mais dirigée à gauche de la vitesse relative pour un observateur placé dans le sens de Taxe de rotation ; autrement, l'observateur dirigé suivant cette accélération, le sens positif allant des pieds à la tète, verrait la vitesse relative à gauche de l'axe de rotation.

Pour calculer les composantes de raccélération centrifuge composée suivant trois axes rectangulaires faisaoïl partie de S, je rappelle le problème de Géomëtrie qui consiste à chercher les cosinus directeurs X, jx, v d'une droite perpendiculaire à deux autres dont les cosinus directeurs sont a, i, c, a\ h\ c\ et qui font entre elles l'angle a. On doit avoir

aX H- ^p -4- <?v = o, a'X -4- ô'p-+-c'v = o;

on en déduit une suite de rapports égaux

\ UL V dti ±1

hc' — ch' ca' — ac' M ^ ha* J2{bc' cb')* ^^'^

Si l'on ne prend la perpendiculaire que d'un côté du plan des deux droites, de teUe manière que l'observateur dirigé suivant cette demi-droite voie, par exemple, (a, &, c) à sa gauche, (a', b\ c') à sa droite, on peut choisir le signe convenable^ ce signe reste le même, quelle que soit la position des trois demi-droites par rapport aux axes, car les trois fractions ne sauraient changer de signe à la fois. Faisons coïncider la droite a, i, c avec OX, la droite %, fi, v^ afcc OZ5 la droite a', b\ c' sera dans le plan XOY et fera un angle aigu avec OY-, alors v = i, « = !, i'>o, &=oî

donc — 7-7 est positif, et il faut le signe -h. Pour nous

Vr dt Vf dt » MM

ffiÇfSlïïCL

\ dt ' dt)

Les composantes cherchées s'obtiennent en multipliant cej cosinus par a ox^^ sina \ ce sont

/ dy dz\ [ dz dx\ / dx dr\

H''^"^5?j' ^[^dt-'-di)' K^^~^^)'

SUE LA MÉCANIQUE AATIONHELLE. agp

Question djrnamiqne.

153. Considérons un mobile de masse m et dont les coordonnées relatives soient x^ j^ z\ multiplions par m 1 égalité (B) du Chapitre précédent-, mjv est la force qui donnerait à une masse m un mouvement absolu identique au mouvement relatif de M-, m y est la force véritable qui sollicite M, et my, est la foice qui donnerait à une masse m Taccélëration que possède le point A de S qui coïncide avec M; prise en sens contraire, on peut l'appeler ybrce d'inertie d'enlratnement. Le mouvement relatif est identique au mouvement absolu que produirait la force effective à laqueQe on adjoindrait la force d'inertie d'entraînement, et la force centrifuge composée, produit de la masse par l'accélération de même nom. Ces deux dernières forces sont fictives et sont dites forces apparentes; leur introduction ramène toute question de mouvement ou d'équilibre relatif aune question de mouvement et d'équilibre absolu. Soient X, Y,Z les composantes de la force réelle, Xi, Yi, ZTi celles de la force d'ineWie d'entraînement-, les équations du mouvement relatif sont

m — - = X -+- Xi -f- 2/w

(dy dz\

îldeux antres données par permutation tournante.

On remarque que la force centrifuge composée disparait lans trois cas : quand il y a équilibre relatif, quand le mouvement d'entraînement de S est une simple translation, ^n quand la vitesse relative est parallèle à l'axe de la ro- 3tion instantanée. Quand elle existe, son travail est nul, îtelle n'intervient pas dans l'équation des forces vives.

154. Equilibre du régulateur à boules quand on né-- \lige la masse des tiges.

3oo

KECVEIL D EXERCICES

L'appareil consiste essentiellement en un arbre vertical OA (fig* ^3) tournant avec une vitesse uniforme &>, et portant une tige horizontale AC, à rextrémité de laquelle est articulée la barre CS qui porte Tune des boules;

Fig. a3

cette droite doit rester dans le plan mobile OAC. En uo point H est articulée une seconde tige dont l'autre extrémité B glisse sur Taxe OA et est soumise en B à une force verticale F provenant des organes que le régulateur esl chargé de soulever. Soient AC = a, CS = /, CH = c, BH = k BIS = 9, ABH = f , m la masse d'une boule. La tige Hl exerce sur CS une force dont les composantes sont X pij rallèle à AC, Y à AB.

La seule force apparente à introduire est la force d'inertij d'entraînement, ici force centrifuge^ la résultante des fo centrifuges sur les molécules de la boule est la même que la masse était concentrée au centre : elle serait appH au centre de percussion de la sphère par rapport à 0 mais je néglige l'écart de ce point avec le centre de la bo On égalera à zéro la somme des moments par rapport i de cette force centrifuge, du poids de la sphère et de

SUR LA. MÉCAJÎIQDE RATIOHIfELLE. 3oi

force appliquée en H, ce qui donne

mllgsmB — (/sinO — a)o»^cos8] -+-c(Y8inO -hXcosô) =o.

ÉcriTons que la somme des projections verticales des forces agissant sur BH est nulle, ainsi que celle de leurs moments par rapport à B :

T — F = o, Xcosf — Tsiny = o.

Éliminant X et Y, on a, pour l'équation d'équilibre,

(i) w/r^sinO-— f/sinô— û)w*cosO]-f-<?F — -^ • =o.

*■ ^ ' cosy

Pour avoir une autre équation entre 6 et f , je projette le contour ACHB sur une horizontale

(2) a — csinO + AsÎDf = o«

Kinfluence de la masse des tiges sera faible, parce que leur poids et la force centrifuge qu'on leur applique agissent en sens contraire pour faire varier 9 et se neutralisent en partie. La résolution rigoureuse du système (i) et (a) n'en reste pas moins très -compliquée^ mais on négligera d'abord a et F, et l'on aura une première valeur approchée

COS01 == ~77 9 on emploiera ensuite la méthode des approximations successives.

L'appareil est ordinairement disposé de manière que cp £frère peu de 9^ supposons-les égaux, et par suite

sin(ô4-ç) . ^

COSf

et posons !iFc=mly'^ l'équation (i) devient

(3) (g'-f-7)siûÔ— (/sinô — a)*i'co5Ô = 0.

3oa RECUEIL d'bxb&cices

Faisons varier o)* de $c«>*, et calculons la variation de 9,

[[g -hy)cosB -f-(/smô — a)«»'sin9 — /«"cos^Oj^O = (/sinG — a)cosô^«'.

Substituons à g" + y sa valeur tirée de (3), et calculons d9,

(/sinô — a) sinOcos9^M'

La sensibilité de Tappareil sera excessive si le dénominateur est nul, a = /sin'6', dans ce cas, C sera le centre de courbure au point S d'une parabole qui aurait OÂ pour

axe: car le rayon de courbure est de la forme » .^ 5 et lor-

donnée du centre decourbure — ~ = — jE?tang'fl= — osin'fl, ce <jui est la relation entre AC et SC.

155. Moui^ement d'un point pesant placé dans un tube droit qui tourne uniformément autour d'un axe horizontal; pression sur le tube, (Agrégation, i8do.)

Prenons Taxe de rotation pour axe des jc, la perpendiculaire commune à cette droite et au tube pour axe des^, et une perpendiculaire aux deux autres pour axe des >. Soient a la plus courte distance OA, cp l'angle du tube avec OX, r la distance AM du mobile au point où le tube coupe OZ, m la masse de M, tù la vitesse angulaire avec laquelle le système des axes et du tube tourne autour de OX. Si l'on commence à compter le temps à partir du moment où OA est en sens contraire de la pesanteur, le poids du mobile aura pour composantes