X := o, Y = — mg sinwf, Z = — mg cosur
Les composantes de la force d'inertie d'entraînement sont X, = 0, Y, = m»^j^ = mwVsin^, Z, = i7ia&>*;
SUA LA MÊGAMIQUE EATIOlflfELLE. 3o3
enfin la force centrifuge composée sera parallèle a Taxe des
^ dr .
z, égale à 2mci> >7- sin(p, et, en supposant cp aigu et positif,
du même sens que OZ quand --- <^ o . On pourra décomposer
Y et Yi en deux forces, les unes suivant l'axe du tube, les autres perpendiculaires ; les deux premières sont les seules forces tangentielles et ont pour somme (Y + Yi) siny . L'équation différentielle du mouvement est donc
m -— = mw'rsin^f — mgsinwtsintf;
c'est une équation linéaire à second membre, dont l'intégrale est
»*(i-f-sm'ç)
dr
On détermine A et B par les valeurs initiales de r et de — >
A4-B = r,, (A— B)wsiny -h
gsipy ,
«(H-sin'ç) •
En général  est différent de zéro, et le mouvement finit par avoir lieu toujours dans le même sens et avec une vitesse de plus en plus grande. Si A et 6 étaient nuls, ce qui exigerait
«(i-f-sm'y)
le mouvement serait simplement oscillatoire.
La pression exercée sur le tube est égale à la somme des composantes, normales au tube, de la pesanteur et des forces apparentes ; sa projection sur OZ est
dr .
mtû^a — m^cosoa^ — 21»» — siny;
dt
5o4 asGUEii. d'exei^cices
sa projection sur le plan des xy et dans le sens de la normale au tube, située du côté des x positifs, est
m^sîneafcosf — mw^rsinf cosf.
Si A est différent de zéro, ces projections augmentent indéfiniment avec le temps.
n est remarquable que le mouvement relatif ne dépende point de a ; la force centrifuge augmente avec cette quantité, mais non pas sa projection sur Taxe du tube. En supposant ç) = -, on aura le cas d'un tube qui décrit un plan
vertical en tournant autour d'un point du plan \ il n'y a pas de simplification essentielle.
156. Mouvement d'an point pesant assujetti à rester sur un pleut incliné qui tourne avec une vitesse constante (ù autour d 'une verticale.
Je prends pour axe des z Taxe de rotation, pour origine le point où cette droite perce le plan, pour axes des xel des y deux horizontales, la première située dans le plan. Soient i l'inclinaison constante de la surface sur l'horizon^ N sa réaction comptée positivement au-dessus du plan, 1 1^ masse du mobile M \ il suffit d'écrire les équations générales du mouvement relatif
, . ^*.r dy
(i) — - = w'x-i-aw-— j
^ ' dt* dt
d^Y . dx d^z
(a) — =»»^ — Nsmi — aw— , =:Ncosi — ^.
Si l'on remplace z par j^ tangt et qu'on élimiiie N entre les équations (2), on a une équation qui, avec (i), indique comment se meut la projection horizontale de M
d'^y dx
(3) —ç z=z ft)'j cog*/ — g' sin/ cosi — 2» — cos'/.
SUR LA MÉCANIQUE AATIOITIIELLE. 3o5
Pour intégrer les équations simultanées (i), (3), on pose
x=ze", 7 = X^'-f-^taiigi,
r et X étant des constantes qui vérifieront les équations
On en tire
(i) \ = et r<~ (i— 3cos»0/''w'-4-»*cos»/ = o.
Cette équation admet quatie racines, deux à deux égales et
de signes contraires ^ r* sera réel quand cos'i sera' <^ -*, les
signes que prennent dans ce cas les coefficients de (4) prouvent que les deux valeurs de r ' sont ]> o, et les quatre de r réelles. Les intégrales du mouvement ont la forme
( x=Atf»'-t-Bé??'-f-A'<r-*'4-B'e-P', I 7 = -^tangi-f-A ^-i-
En général X et^ augmentent indéfiniment, a moins que A et 6 ne soient nuls \ faisons dans les équations précédentes et leurs dérivées A, B et £ nuls :
g= A -t-B , J«=- 1-A hB — -^ — »
01^ 2ab> 2p6A
ft)î __ a' «* — B' a:'=.-A'a~B'B, y\ = ^^ ^-hB'îî ^
En élimiuant A' et 6' entre ces quatre équations, on aura deux conditions auxquelles doivent satisfaire les données initiales du problème pour produire ce mouvement
De S.-G. — Kec, 30
3o6 RECUEIL D*EXERCICES
particulier ; le mobile tendra vers le point du plan
i^^ = o,x = lgVingij,
qui serait d'ailleurs une position d'équilibre relatif. Quand cos*t> -, les racines de Téquation (4) sont
imaginaires, et les intégrales du mouvement deviennent, avec des constantes réelles,
X = <?*'(Acosp/ + B sinp r) -+■ c^»'(A' cospr 4- B' sinf/),
+ (B«-Ap-«^^^)sinp.]4.....
En général  et 6 ne sont pas nuls, et, pour des valeurs très-grandes de ^, les parties principales de x et / sont de la forme
elles définissent un mouvement en spirale : le rayon vecteur augmente à Tinfini, et Tangle polaire croît de 21:
dans le temps — • Si A et B sont nuls, le mobile tend vers
une position limite, définie comme dans le premier cas, mais il n'y arrive qu'après une infinité de circonvolutions.
Le cas de cos^i = - se déduirait des formules (5) par la
méthode que d'Alembert applique à l'intégrale d'une équation linéaire dans le cas où l'équation caractéristique a des racines égales. On peut aussi faire tendre dans les formules (6) |3 vers zéro, cos|3^ vers i, sin^t vers j3t, et poser
SUR LÀ mécahiqtje kationhelle. 3o7
Bj3 = C, B'P = C; on trouve à la limite, a étant — >
jr = (A+Cf)^«'-4-(A'-f-C'0^*S
/= -^ tang/ + Aa 4- C Aa — C -+- C ^ —
Le rayon vecteur augmente, en général, à l'infini, mais sa direction tend vers une limite déterminée.
Le cas où t = - ? c'est-à-dire où le plan contient Taxe
de rotation, doit se traiter à l'aide des équations (i) et (2) ; comme j^ et ses dérivées sont évidemment nuls, elles se réduisent au système très-simple
dr ' dt dO ^
Les intégrales sont, en tenant compte des circonstances initiales,
6)X, -4- t\ , « JT, — J\ . / I ,
ar= *- ttf-'H • ^<r-*', 2=rZa-t-z,r gt\
La trajectoire relative a une branche infinie dont la tangente tend vers l'horizontalité, mais elle n'a pas d'asymptote.
157. Un point matériel libre M est attiré vers un point 0 d'un plan horizontal par une force fonction de la distance F = f (r) •, il se meut de manière à se trouver constamment sur une spirale logarithmique S qui aurait son pôle en O et tournerait autour ai^ec une vitesse uniforme ». Déterminer la loi de la force F et la nature de la trajectoire. (Licence, 1874.)
3o8 necuEiL d'exercices
Il est naturel de traiter ce problème comme une question de mouvement relatif, bien qu41 soit possible et même plus court d'employer d'autres considérations. Si nous imaginons un plan horizontal qui tourne autour de O avec la vitesse (O, nous savons que la trajectoire relative est la spirale
L'axe polaire est le rayon vecteur initial OA, dont la longueur esla\ei[Â^<^-j désigne l'angle sous lequel la courbe
coupe ses rayons vecteurs. Supposons que la rotation o) ait lieu dans le sens où croît 6 et que la masse de M soit l'unité; les forces apparentes sont a)'r, dirigée suivant OM, et
ds 2 0) -7-5 perpendiculaire à la tangente, de manière à faire
ir
lération suivant OM et suivant sa perpendiculaire :
avec OM l'angle fi. Écrivons les composantes de l'accé-
/ X d^r dB* ^ , . . ds
^'^ ^-^5^="*''-?('')'^2«smp-,
-, ï d dO ds
^ ' r de de '^ dt^
mais ds cos/Jt = rf/*, et ( 2) devient
, r/e ^ /dû \
de \de )
c'est l'équation des aires par rapport à des axes fixes. Si l'on y remplace rdB par tangfze^r, on en déduit
dr dr le \
' dO ' \r2 ] dl r \ r' )
sua LÀ MÉCÂlflQUE RATIONNELLE. 3og
L'équation (i) donne, en tenant compte de ce qui précède,
— w^rcot'a.
sin'ft
L'action du point O se compose d'une répulsion en raison inTerse du cube de la distance et d'une attraction proportionnelle à cette distance.
La loi du mouvement s'obtient en intégrant (3), où les variables se séparent :
c — a*« 2fr»rcotu = L •
Pour avoir la trajectoire absolue, en y représentant par 9 l'angle polaire, écrivons
d'où
4 açcotf*-— L — = L — > /-'= r — ^ .
L'équation (3) montre que, si h est la valeur initiale
de --»
dt
cz=: €Ûi tangp -h a'».
Quand c^a*ci) (f peut varier, dans la courbe (4)^ de
— oo à + 00 , r croissant alors de zéro à i / - ; A étant^ o,
le mobile s'éloigne de son point de départ A pour tourner indéfiniment dans un cercle dont il s'approcbe de plus en plus.
3lO UBCUEIL d'exercices
Quand c est compris entre zéro et a'co, tf ne peut varier que de la valeur négative qui annule le dénominateur (4)
jusqu'à H- 00 5 r décroit de oo jusqu'à i/-î A étant <^ o,le
mobile tourne encore autour d'un cercle dont il s'approche, mais extérieurement.
Enfin, quand c <[ o, ç peut varier de — oo jusqu'à la valeur positive qui annule le dénominateur, r allant de zéro à l'infini ; mais le mobile ne décrit que la portion de courbe qui se rapproche du pôle.
Pour c = o^ la trajectoire est une droite, et pour c = a'ûi) c'est un cercle; mais, malgré la variété des cas examinés, nous n'avons pas le mouvement le plus général que puisse produire la force cp(r) dans toutes les circonstances.
158. Influence de la rotation de la Terre sur les mouvements à sa surface.
L'effort qu'on fait pour soutenir un corps pesant ne doit détruire que l'attraction du globe diminuée de la force centrifuge correspondant à la rotation diurne, l'effet delà translation du globe étant négligeable; or la résultante de ces deux influences est cette force apparente que l'on appelle la pesanteur. Pour traiter les mouvements à la surface de la Terre comme des mouvements absolus, en tenant compte de la pesanteur, on n'aura plus à s'inquiéter de la force centrifuge, mais il faudra introduire la force centrifuge composée. Si l'on prend pour axe des x la tangente au méridien dirigée vers le nord, pour axe des^ la tangente au parallèle vers l'est, pour axe des z la verticale montante, et si Ton appelle n la vitesse de rotation de la Terre, dont l'axe positif est dirigé vers le pôle sud, 1 la latitude, les composantes de cette rotation sont — n cosX, zéro et — n sinX;
or 71= ô^s7 = 0,0000729. Les équations du mouvement
SUK LÀ MÉCAHIQUE EATIOHNELLE. 3ll
d*im point sur lequel agit une force X, Y, Z seront
m--— =X — 217111 sm A -7-?
dt^ dt
I) < m — —r = Y -f- 2iii« l sinA -r cosA -7- |>
d^z ^ ^ djr
m —-— z= — me -f- Z -h am/i cosa -7- •
Supposons d'abord qu'il s'agisse d'un point libre, et que X, Z, Y soient nuls \ le point de départ sera à Torigine des coordonnées, et les composantes de la vitesse initiale seront a, by c. On peut écrire immédiatement les intégrales premières des équations (i)
dx
-7- = « — ^nr sin>,
dt -^
[2] { — = ^ -f- 2/i(j:sinX — zcos>),
dz
-7- = c — gt-h2njr cosX.
at
On aurait aisément les intégrales générales de ces équations, mais elles représentent un mouvement compliqué \ et, pour reconnaître l'influence de la rotation de la Terre, il vaut mieux faire des approximations successives. Supposons que le point parte sans vitesse initiale ^ si l'on néglige R, on tire de (a)
Tenons compte des termes en 72^ en y remplaçant x, j^, z par ces valeurs et intégrant, on aura pour seconde approximation
a: = 0, jr zn -^ ngt* C0&\^ z == gt\
3 12 EEGTTEIL D*EXERCICES
Une troisième approximation donne
^ gi* sinX cos>,
L'effet le plus sensible est une déviation vers Test et une plus petite vers le sud.
Quand a, J, c sont de grands nombres, la première approximation donne
Une deuxième approximation donne des résultats utiles en balistique
.x:=:at — nbt* sinX, z=zct gt^-^ nbO cosX,
/= ô^-h 71 ( a sinX — c cosX) ^'-|--/ig'^*cosX.
Ajoutons quelques mots sur le pendule sphérique \ l'origine étant au centre, les équations du mouvement sont
— — = — — 2/ismX-7-5
dO m R dt
I \ ! d'^r N r I , ^dx ^ dz\
(2) K -TT = « -+- 2/1 ( SmX -3 COsX -— ) y
^ ' \ dt^ m R \ dt dt]
I dH N a dy
\ dt* ^ m R dt
Multiplions par ndx^ ^dy, ndz et ajoutons^ les termes en n qui représentent le travail de la force centrifuge composée disparaissent, et l'on est conduit à Téquation des
SVK LÀ MÉCANIQUE EATIOMNKLLE. 3l3
forces vîves
Le pendule ne peut jamais décrire un cercle horizontal, comme c'est possible en négligeant le mouvement diurne ; en efiet Téquation des forces vives prouve que la vitesse serait constante. On aurait, en supposant x = a^ y = o^ z=zZq pour t -•= o,
x=za cos6»^, jr^=^a siuM^, z = s,. Les deux premières équations (2) donnent
N=:mR{»»— 2/tusinX], et la troisième
N=: ( — g -r- 2/ïû«COS>COSwr);
ces valeurs sont incompatibles.
Considérons encore le pendule abandonné sans vitesse, et faisons d'abord avec la verticale un petit angle a. Soient ^Tangle du fil avec la verticale à l'époque f, ^ l'azimut du mAdien du pendule. L'équation des forces vives devient
.3] R — =2^(cosô — cosa).
Eliminons N entre les deux premières équations (2) ;
d^y d^x , ^ tlx ^ dy\ ^ dz
dr -^ do \ dt '^ dt] dt^
on néglige le dernier terme qui contient, outre n, le facteur très-petit — » et l'on peut intégrer, ce qui donne, en introduisant 9 et i{/,
'4; sin'0-7- = 2/isînX(sin*0 — sin'a).
dt ^ '
3l4 RECUEIL d'eXEECICES
J'élimine dt entre les équations (3) et (4) et je sépareles variables :
n sin^ //O ( cosô -4- cos a ) ^R ( cos 0 — cosa )
sin6^2g'sin*6 — /i^R(cos6 — cosa)(cosG4-cos«)'sin'X
0 ne peut surpasser a-, dO est d'abord <[ o, et, comme (4) prouve que d^ est aussi négatif, on prendra d'abord le signe -l-. Pour que le dénominateur de d^ soit réel, il faut que 6 reste supérieur à une valeur positive j3. En développant les sinus et cosinus et se bornant aux termes principaux, on a
tandis que 0 diminue de a à ^ pour revenir à a, ^ décroît de
C'ndBsm'k /Rfa'— ôM . , /R
f , 1/ — h ;rr-v = if — /îwsinÀi/ -•
Au bout d'un temps double, l'azimut du pendule augmentera de 2 7r7zsin^i/ — ; comme le temps d'une osciUaUOD
complète qui paraît s'effectuer dans un plan est ar i/->
il semble que le plan d'oscillation tourne du nord vers l'est avec la vitesse n sin X, ce qui a été vérifié par Foucault.
Mouvement d*une petite bille enfermée dans un tube circulaire qui tourne sur un plan horizontal autour d'un point O de sa cir* conférence ; la bille est d'abord en repos absolu, et se trouve au point diamétralement opposé à O. (Walton.)
Mouvement d*un point posé sur un plan horizontal parfaitement
SUR LA MÉCANIQUE RÂTIOlfNELLE. 3lS
poli et attaché par un Ql inextensible à un autre point qui pai court oniformément un cercle du plan. (Eulsk.)
Mouvement des boules d'un régulateur quand on les a écartées de leur position d'équilibre ; on suppose la tige qui porte les boules articulée en un point de l'axe de rotation, et l'on n%lige sa masse ainsi que le poids à soulever par l'appareil.
Établir le théorème de Goriolis par les formules de transformation de coordonnées ; montrer par cette méthode que la suraccélération absolue est la résultante de cinq autres : i** la suraccélération relative; 2® celle d'entraînement; 3^ Sak'i-vsino», Vr perpendiculaire à Vr dans le plan de cette vitesse et de l'axe instantané; 4^ 3 7*1^ sine», 7, perpendiculaire à «i et à 71.; 5^ 3Pr7«* sint^^, 7«* perpendiculaire à Vr ^^ y»; 7« désigne l'accélération angulaire [voir n® 113].
3l6 RECUEIL d'exercices
