AU MOUVEMENT DES SYSTÈMES
La recherche du mouvement d'un système de points matériels peut toujours se ramener à la détermination du mouvement individuel de chaque partie du système : si les différents points sont libres, on connaît les forces qui sollicitent chacun d'eux, et Ton en déduit les équations différentielles de son mouvement^ s'il existe des liaisons, on introduit des réactions qui en représentent les effets , et les points peuvent être traités comme des points libres; on introduit de nouvelles inconnues, mais les conditions qu on exprime donnent un nombre correspondant d'équations, et Ton peut toujours déterminer la position des parties du système et les réactions : il n'y a jamais qu'une solution.
Dans bien des cas, il suffit d'un très-petit nombre de données pour déterminer la position d'un système, et les théorèmes généraux sur les mouvements des systèmes pourront les faire connaître : il faift, pour procéder ainsi, choisir les quantités les plus simples qui fixent la position des mobiles considérés, et les principes généraux, en nombre égal à celui des inconnues, qui peuvent s'appliquer à la question. Je rappelle ces principes.
Le centre de gravité d'un système quelconque se meut comme un point où toutes les masses seraient concentrées, et les forces extérieures appliquées, en conservant leur
sua LA SCéCÂlflQXJE lÂTIOmiBLLE. 3l^
grandeur et leur direction. Les forces intérieures provenant de l'action des parties du système les unes sur les aatres n'influent pas sur le mouvement du centre de gravité général. Un principe équivalent au précédent consiste en ce que la dérivée par rapport au temps de la somme des projections des quantités de mouvement sur un axe est égale à la sonmie des projections des forces extérieures^ autrement, la somme des impulsions des forces projetées sur l'axe égale la variation de la somme des quantités de mouvement estimées suivant le même axe.
La somme des moments des forces extérieures par rapport à une droite est égale à la dérivée par rapport au temps delà somme des moments des quantités de mouvements Si la première somme est toujours nulle, la somme des masses des points multipliés par la projection sur un plan perpendiculaire a l'axe de l'aire décrite par le rayon vecteur issu d'un point de l'axe croit proportionnellement au temps. Quand cela arrive pour tous les axes passant par un point, il y a un plan invariable, plan du maximum des aires, sur lequel la somme des produits considérés est maximum.
Enfin la demi-variation de la force vive du système est égale à la somme des travaux des forces qui y sont en jeu. Ici les forces intérieures peuvent intervenir^ seulement leurs travaux se détruisent quand le système ne se déforme pas, et en général quand les déplacements se font conformément aux liaisons, que des corps polis glissent les uns sur les autres, etc.; mais les déformations intérieures peuvent donner des travaux : quand deux points se repoussent avec une intensité P, si leur distance augmente de rfr, il y a un travail P dr ; quand deux surfaces dépolies glissent l'une sur l'autre, il y a un travail élémentaire résistant égal au produit de la force de frottement par l'arc de glissement.
320 RBCUEIL d'exercices
serait le centre de gravité de MP rectifié, arc OA'^t^, wl la masse de MP, /' la distance rectifiée d'un de ses points à A^ Appliquons le théorème des forces vives à un déplacement infiniment petit de MP^ on a, en prenant les intégrales le long de MP,
D'après Tcquation (i),
donc
, I . erdr , , ,
se
La tension est indépendante du temps et toujours négative c'est-à-dire que la chaîne tend partout à se replier et à raccourcir.
La pression N dl exercée par un petit élément MM' sur le tube s'obtient en évaluant la force centripète pour cet élément^ soient p le rayon de courbure de la cycloïde, a sou angle avec la verticale \ la projection de la tension en M'
sur la normale en M est sensiblement égale à T — *, on aura donc
f* dl cp» — T tdl- =:^dl — gtdlcosa. + T — > N = h ficos».
N est toujours positif : c'est dire que le fil appuie toujours sur le côté concave du tube.
161 . Un fil flexible et inextensible est enroulé sur un cylindre mobile autour d'un CLXe horizontaly et porte à
9VR LÀ MiCARIQUE HATIORHELLE. 3a I
ses deux extrémités deux poids P ei Q^ déterminer le mouvement du système en supposant que P eC Q aient une vitesse initiale a, mais que les fils qui les soutiennent restent verticaux; on suppose que l'air oppose au mou^^e* ment de V et de Q une résistance proportionnelle au carré de la vitesse, (Licence , 1869.)
Soient P celle des deux masses qui descend d*abord \ X la quantité dont elle est descendue au bout du temps t ^
Pj q les masses respectives, a m la masse du cylindre^,
R son rayon, eo sa vitesse angulaire, - la somme des forces
résistantes que Tair oppose au mouvement de P et de Q. La force vive du cylindre est y»* r' rf/w, ou «' multiplié par le moment d'inertie par rapport à Taxe, c'est-à-dire
am X - R* w' = m R* «• ; mais, puisque le fil s'enroule sans
glisser sur le cylindre, Rco est égale à la vitesse commune j'de P et Q, et la force vive du cylindre est mu^. Appliquons le théorème du travail à un déplacement infiniment petit du système
Supposons p^q^ et faisons
^^S' (p — ^) = ^'» p -f- (? -4- m =r ^; on aura
icixd.v^ . ^ X' — f* 9.x ,. , , — —
Si a<^h^u croit constamment, pour devenir égal à h quand x est infini ^ si au contraire a >> Xr, la vitesse décroîtra pour devenir égale à Ar à la limite : le mouvement aura lieu indéfiniment dans le même sens, tant du moins que le permet la longueur du fil. On peut avoir x en fonction du
Ds S.-G. — iïec. ai
322 KECT3EIL d'eXERGICES
temps, car la dernière équation donne évidemment
dt = dx [x-' -f- [a- — ;t») ff~^J ,
ht k&^ -4- V /*'<?^ I* -f- fl' — k" — =r L ^— ; ?
Revenons à réquatîon (i) dans le cas où;7<y, et faisons cgi^p — y ) = — A' ^ on aura, comme dans le premier cas,
La vitesse est d'abord égale à a, mais elle va en diminuant et s'annule quand
CfA fl' -+- /*
(fl'-+- X'^jff <^»'=X», x =
On sépare les variables comme précédemment, et ron trouve
dtz=i€F^dx [a* 4- >t' — X»c^> J , d'où
= arc sm -^=^= — arc sm
La valeur de x pour laquelle (^ s'annule rend le premier
terme du second membre égal à -9 et l'on a pour le temps que P mettra à descendre
CUL k
tzn -f- arc cos -»
SUft LA KÉCAlflQTJS HATIOVHELLE. 3^3
 partir de ce moment, c'est Q qui descendra^ on ne pourra plus employer les formules précédentes, mais la quantité dont Q descend se calcule par les formules du premier cas, en changeant p en ^, et faisant a == o. Supposons en dernier lieu p = ^^ l'équation (i) devient
d,\^ 'Xdar , ~
=. ; dou f = ^e ^i*;
la vitesse diminue indéGniment, mais elle ne s'annule que pour X infini \ en remplaçant v par sa valeur, il vient
é"'^ dx == adt, f = ^ (/i^ — i/.
La tension de l'un des cordons se calcule en appliquant l'équation du travail au déplacement infiniment petit d'une des masses qui le terminent. Soit le cordon qui porte le poids P,
d,p^=i7,pgdr — 2TeLe — 2 — dr.
La valeur de T s'obtient aisément, mais n'a rien de remarquable.
162. Un fil inextensible et sans masse passe sur deux très-petites poulies A er B situées sur une horizontale ^ et porte à ses extrémités deux poids égaux P. ^iu milieu de AB on pose sur le fil un poids Q, et on l'abandonne sans vitesse initiale. Quel est le mouvement du système? Cas où Q est beaucoup plus petit que P.
Le poids Q tend à suivre la verticale de son point de départ, et, comme l'action du fil est symétrique par rapport à cette veiticale, rien n'en fera dévier le mobile. Soient donc z la quantité dont il descend et x celle dont montent en même temps les poids P, AB = 2a, ^ la masse de Q,
3^4 &BCXIBIL d'eXEHCIGES
p celle de P. Le théorème des forces vives donne immédiatement
Or X est égal k l'accroissement de la distance de Q a la poulie A :
(jr-4- a]dx
X = ^à* 4- z' — a, z=ir ^x'H- 2rtx, efa=
Remplaçons z dans l'équation des forces vives
j: est d'abord ^ o pour que y^xM- îi^J^ soit réel; mais, pour que le second membre de l'équation précédente reste positif, on doit avoir
Quand 2p est <^ ç^ l'inégalité est toujours satisfaite, et le mouvement se continue indéfiniment dans le même sens, et, quand x devient très-grand, on a sensiblement
dx*
c'est dire que le mouvement se rapproche du mouvement uniformément accéléré. Lorsque 2p^ q^ x a uue limite
supérieure . ^^ ^ à laquelle correspond la valeur
Pour étudier ce cas, il convient de transformer l'équation (i); or les inégalités (2) montrent que — - — est
8UH LÀ HÉCAITIQUE ILÀTIOTOBLLS. 3^5
compris entre zéro et -r-i* Posons donc
d'où
Substituant dans l'équation (1)9 il vient, après quel<jues rédactions,
i-f- 2t(2 H- •)«'-f-i*a* «te*
(l — t' «»)»(« — tt^P ^* dÔ ""*'
On ne peut effectuer la quadrature, mais on reconnaît que u partant de zéro croîtra jusqu'à i pour décroître ensuite jusqu'à zéro, revenir à i , et ainsi de suite : la durée de ces oscillations est constante. Si Ton néglige les termes en f*, on a une valeur approchée de t en a:
^ /flf I -t- 2ttt' ,
dl=K/ duy
V g ^Jir:^'
^= i/ — I f i-f- y j arccos(i — 2tt) — • ^u — a' U
La durée d'une demi-oscillation est
T = Vf(-|-)-
La tension F du cordon se trouve en appliquant le théorème des forces vives à un déplacement infiniment petit de Tua des poids P;
dx^ , , d \ dx^
3^6 EECITBIL D^EXBECKCSS
La dérivée de -r— se déduit immédiatement de la valeur
donnée par (i) : elle est d'ailleurs très-compliquée-, je dirai seulement qu'elle est nulle pour a: = o et égale à
quand x atteint son maximum.
163. Une planche très- mince, de forme quelconque, est posée sur un cylindre droit horizontal sur lequel elle ne peut que rouler sans glisser; déterminer la loi de ses oscillations quand on l'écarté de sa position d'équilibre.
On reconnaît d'abord que, dans la position d'équilibre, le centre de gravité G doit se trouver sur la génératrice de contact. En effet, le moment de la réaction du cylindre par rapport à cette droite est nul ; il en doit être de même du moment du poids ^ cela exige, ou que G soit sur la génératrice, ou que la planche soit verticale. Or cette dernière position ne peut être une position d'équilibre ^ car il faudrait que le coefficient de frottement sur le cylindre fut infini. Soit A le point du cylindre qui coïncide avec Gdaus la position d'équilibre. La planche roulant sur le cylindre sans glisser ni pivoter, le point G ne sort pas de la section droite menée par A et décrit une développante de celle section. Prenons pour axes l'horizontale et la verticale menées par le centre de cette section, et désignons par a l'angle du rayon OA avec la verticale, et par 6 l'angle du même rayon avec celui qui va au point de contact variable I; l'angle de ce rayon 01 avec la verticale ascendante est a -H ô.
Pour évaluer la force vive, cherchons celle qui correspondrait à une masse égale à la masse m de la planche ac-
SUE LA MéCJjriQXTB AATlOlTIfELLE, 3^7
cumulée en G. Le mouvement de cette planche est une rotation instantanée avec la vitesse -r autour de la gênératrice I, et, comme lA = R0, la première partie de la force vive est mR*6' — • Il faut y joindre la force vive correspondant au mouvement relatif au centre de gravité, qui est encore un mouvement de rotation \ si k est le rayon de gyration de la planche par rapport à Taxe mené en G parallèlement à la génératrice I, la seconde partie de la force
vive est mA* — • D'autre part, l'ordonnée du point G, qui
fera connaître le travail de la pesanteur, s'obtient en projetant 01 et IG sur la verticale :
^==Rcos(0 + a) H- R0sîn(9 -h a).
L équation des forces vives est donc, H désignant une constante,
(i) m(R'0»-l-X-») — — H—2mgrR[cos(0 + a)H-0sin(ô-+-a)].
On ne peut effectuer l'intégration; mais, si l'on appelle o) la vitesse angulaire pour d = o, il est facile de voir si la planche pourra devenir verticale. Avec cette donnée, l'équation ( I ] prend la forme
(R»0»-t- k^) — =X''«»-f-2^R[cosa — co8(9 -4- a)— ô sin(ô -h a)].
Le second membre décroit quand B augmente de zéro à
a. Pour que la planche atteigne la verticale, il faut
donc
k^(ù* -h ag'R ( cosa ) - ^»
3a8 RECUEIL b'eXBIICIGES
Quand cette inégalité n'est pas vérifiée, la planche s'arrête pour une valeur de 6 égale à |3 ^ l'équation (i) peut s'écrire
j^j , (R«e^-h^')5^.==2R^[cos(p-h«)+p8in(p + «)
— C08(6 -^a) — Osm(0 4-a)]«
Pour que le second membre reste positif, il faut que 6 varie entre j3 et une valeur comprise entre zéro et — (3, car, pour 6 = o, la quantité entre crochets est > o, comme étant plus grande que
cos(p-*- a) -f-sinpsin(p-ha)— -cosa,
qui est (i — cos^)cos(^ -h oc)] pour 9 = — 13, elle devient
2psinacosp — 2 sin a sin p <^ o.
Il est remarquable dans tous les cas que le mouvement ne dépende pas de la forme de la planche, mais seulement de A*. Quand (3 est très-petit, et par suite 9, on peut déve-
lopper — par la formule de Taylor, et, en se bornant aux
termes principaux, avoir
it«— =:R^(p«-.e»)cosa, 0 = pcos-5^-| -•,
les petites oscillations sont isochrones entre elles et à celles
d'un pendule de longueur :=r • En observant le temps
d'une de ces oscillations, on peut en déduire soit R, soit k. Si l'on veut calculer la réaction normale N et la réaction tangentielle T du cylindre, on projettera sur OI et sur la tangente en I l'accélération du centre de gravité multipliée par m ^ ces projections sont égales aux projectioos correspondantes du poids mg^ augmentées de N sur OI, de T sur
SUK LA XÉCIHIQVE ftATIOimSLLB. 829
la tang^ente. A l'époque t,'la vitesse de G est ëgale àR9^ et parallèle à 01; à l'époque t + dt^ elle est
et fait l'angle d9 avec 01. La différence entre les projec* lions de ces vitesses, divisée par dt^ donne les projections de l'accélération, et l'on trouve
wRO— = T 4- m|^8iii(0 -f- a).
— s'obtient en différentiant l'équation (2) par rapport au
temps, et divisant ensuite par 2 -^ •
Quand on ne suppose pas le glissement absolument im- . possible, il faut, pour que le mouvement ait lieu comme il a été dit, que T reste <^fN'^ sinon il y a glissement, et l'on a tout un autre problème à résoudre.
Mouyement du centre de graTité.
164. Une chaîne homogène, attachée à une masse m en l'une de ses^ extrémités A, est en partie pelotonnée sur un point B d'un plan horizontal; on a communiqué à m une certaine ^vitesse i^o? de manière qu une portion de la chaîne s'est déroulée; cette portion est en ligne droite et dans le prolongement de la vitesse du point Â. On admet que la portion restante se déroule sans effort, et l'on demande le mouvement du point A. [Smith' s prize, 1870, soli^ed by professer Caj-lejr.)
330 EECTJBIL d'exercices
Le mouvement cherché est évidemment rectîligne. Soient X la distance de A à B à l'époque t, t/ la vitesse de A, a la valeur initiale de x^ (i la masse de l'unité de longueur de la chaîne, a-h b sa longueur totale. Puisque la chaîne se déroule sans résistance, la projection de la quantité de mouvement sur la direction AB sera constante \ donc
(i) ç[nx -{- m) = if^liLa -^ m),
dx
et, comme i/= — -^ on intègre immédiatement
fAor'-f- 7.mx — fAfl' — 7,ma = ^(fiût H- /»)«*# t.
Cette équation donne le temps que la chaîne met à se dérouler :
L'éq]^ation (i) montre que, après ce temps, la vitesse est l'o —7-^ — T. ; la force vive correspondante est
Ce n'est qu'une portion de la force vive initiale \ la perte est due aux petits chocs que produisaient les divers éléments de la chaîne passant d'une vitesse nulle à une vitesse finie. La chaîne, une fois déroulée, prend un mouvement uniforme.
La tension au point C, qui est à la distance c de Textrémité A de la chaîne, se calcule en appliquant le théorème des forces vives à un petit déplacement de CA :
rf( ttc H- m) r» = — aT^, T = ^--^^- — , -'-^- ,-; ^ i\ .
SUE Li MéCAHIQlTE RÀTIOVlfELLB. 33 1
Quand toute la chaîne est dëroulée, il est évident que le mouvement devient rectiligne et uniforme, la tension nulle.
165. Une tige rigide dont la masse est négligealle porte à ses extrémités A et B deux masses égales à m\ la masse A est assujettie à glisser sur une droite PQ parfai-^ lement polie faisant l'angle i avec l'horizon, Moui^ement du système en supposant sa position et sa ^vitesse initiales, telles que AB ne sorte pas du plan vertical de la droite PQ^ pression exercée sur PQ et tension de AB.
Je prends PQ pour axe des jC, et *ço}jr axe des y une perpendiculaire située dans le même plan vertical et dirigée vers le bas^ je pose AB= a a, je désigne son milieu par C et son angle avec l'axe des j^ par Q\ j'appelle x l'abscisse de C5 quant à son ordonnée, c'est j^ = a cosfl.
Le centre de gravité G du système se meut comme un point de masse a m, auquel serait appliquée une force verticale ^mg et une force — N parallèle à OY5 les équations de son mouvement sont donc
I,' -—--=gsini\ 2/7Î -r— = 2/W^COS/ — N.
La première s'intègre immédiatement
djc , I .
-~- =c-h gtsini^ x=zx9'\- ct-\ — g^smi,
La projection de C sur PQ a donc un mouvement uniformément accéléré. Quant à d, on peut le déduire du théorème des forces vives. La force vive du système est celle qui correspond à la masse 2m concentrée en C, plus celle qui correspond au mouvement relatif autour de C. La seule force qui donne du travail est la pesanteur, et son travail est le même que si toute la masse était réunie en C : si donc
33a RECUEIL d'bxbrcicvs
a et a) sont les valeurs initiales de d et de 3-9 on aura
ami -r- -f-fl»sm'e-— ■ -f-«*-;:r 1
-H l^mg]\^x — a?i)sini-4- a(oo80 — cosa) cos/].
Remplaçons — par sa valeur; tout ce qui dépend de la valeur de x disparait (^), et il vient, en divisant par 2 ma,
(2) a[\ H- sin*ô) — = a(i 4-sin'a)»'-f- 2^cos/(cosO — cosa).
Posons a(i-Hsin'a)«* — agf cosicosa = a^&cosi, on
aura
, , cfÔ' . cosô -I- A
(2) û-7T=afi'cos/ T-r»
^ ^ de^ ^ i-h sm*ô
Nous n'avons pas eu à dire dans quel sens on comptait les valeurs positives de 9; il en résulte que le mouvement relatif autour de C est symétrique par rapport à une droite perpendiculaire à PQ, et qu'on peut supposer que 0 soit d'abord croissant. La constante h est, par sa forme même, > — I ; mais elle peut être ^ i . Si A >> i , rffl ne pourra s'annuler, en sorte que 6 croîtra indéfiniment, les révolutions relatives de A6 se faisant dans un temps constant. La trajectoire du point B sera une courbe sinueuse, comprise
(*) Cette réduction pouvait se prévoir; car, si l'on cherche le mouTemeat relatif k deux axes dont Tun coïnciderait avec PQ, l'autre lui serait perpeodiculairo et passerait par C ; les forces apparentes qu'il faudrait introduire seraient deux forces •• m^sini, parallèles k PQ, appliquées à A etB; mais ces forces se réuniraient en une seule — 3 mg^ sin 1, appliquée en C, et dont le travail détruit précisément celui de la composante de la pesanteur suivant PQ.
SCR LA MÉCÂiriQtlE EATIONKELLB. 333
entre deux droites parallèles à PQ, à une distance a a, de part et d'autre ; mais les points de rencontre de la courbe avec PQ deviennent de plus en plus espacés.
La valeur A = i ne permet pas d'intégrer l'équation (2) ; mais, en l'adoptant, 0 croîtra jusqu'à ir, pour n'y arriver qu'après un temps infini.
Quand A <[ i , on peut le faire égal à — cosp, et 6 oscillera entre les valeurs ^ et — (3 pendant des intervalles égaux, mais plus longs que ceux d'un pendule simple, de longueur a, oscillant entre les mêmes limites. Quand |3 est très-petit, on peut, dans la formule (a), négliger les termes du deuxième ordre par rapport à ceux qu'on a dans chaque membre, et, se rappelant que h = — cos|3, on a
dB , , /gcosi a .0
-- =zdti/^ , /= 4/ arcsin-;
y^pa—ôl V ^ V é^COSi p
les oscillations très -petites se confondent avec celles du
pendule de longueur :•
* ° a»si
On peut aller jusqu'à la limite, — i , de A. Son expression montre que cela exige une double condition, ot) = o, a = o, c'est-à-dire que, à l'origine, AB soit perpendiculaire à PQ et animée d'une vitesse de translation parallèle à cette droite. Dans ce cas, B doit rester constamment nul; AB est toujours perpendiculaire à PQ, et se déplace d'un mouvement uniformément accéléré.
La pression exercée sur la droite PQ est donnée par la seconde équation (i)
yrr:2iw{^C0S/ — ^-- j = 2/?lf g'COS/ -f- fl COSÔ — +asmO-— J.
L'équation (a) donne ^; eu différentiant ses deux mem-
bres et divisant par ~» on trouve Substituant dans la valeur de N et réduisant,
