COS'O H- 2 A C08Ô H
^ = =""^«'" — (T^^ilS^ôT —
Le numérateur est positif quand cos6 Test lui-même,
puisque /i ^ --• i . Si on le regarde comme un trinôme du
deuxième degré en cos6, on trouve que les deux valeurs
qui pourraient l'annuler ont pour produit 2 *, Tune au
moins est inadmissible, et, pour que l'autre soit acceptable,
elle doit être comprise entre zéro et — 15 le numérateur
doit être négatif pour cos6 = — i, ce qui doune /i>-«
C'est donc seulement quand la rotation relative autoiir de C est continue et assez rapide que N peut devenir négatif.
La tension F de la barre ÂB s'obtient en exprimant que N est la résultante du poids de A estimé suivant O Y et de la composante de F suivant la même direction; on a ainsi
N :^ mg ces / H- F cosO,
d'où
„ N — ms cosi .4^-1-6 cosO — cos'0
cosO ^ (i-f.sm'e)'
Le numérateur diminue quand 9 augmente; si /i<^i, 9 ne peut augmenter que jusqu'à la valeur |3. dont le co« sinus est — h\ or, pour cette valeur, le numérateur es!
cosp(2 — cos'jS); si donc j3<;-> F est toujours positif)
SUR LA HÉCASIQUE RÀTIOHHELLE. 335
({aand j3 est ]> -y F devient nul et négatif. H en sera de
même quand h sera > i, mais <C 7" ^^ résumé, F ne peut
devenir négatif que si h est compris entre zéro et j*
166. Sur un plan horizontal, parfaitement poli j repose lui parallélépipède rectangle; dans la section verticale médiane, on a creusé un canal de forme connue dans /e- (fuel peut glisser sans frottement une petite masse m. On suppose que le prisme soit d'abord immobile et qu'on laisse tomber m en un point connu du canal, et l'on demande le moui^ement du système, en admettant que le prisme aura un mouv^ement de translation parallèle au plan du canal; cas ou ce canal est une cycloïde convexe vers le bas, et oii l'on néglige le ca/Té du rapport de la masse m à la masse M du prisme, (Licence, 1871 .)
Prenons des axes coordonnés dans le plan du canal, l'origine au point de départ de m, OX horizontal, OY dans le sens de la pesanteur ; les coordonnées relatives du point /rt soni liées par l'équation du canal ^(j:, 7) =0. ConsidéroQs, au contraire, des axes fixes qui auraient coïncidé avec les axes mobiles à l'origine du mouvement, et désignons par Xi la quantité dont le point O du prisme s'est déplacé borizontalement ^ les coordonnées absolues de m sont x-f-x^ et j. Cela posé, le problème n'a que deux inconnues, Xi, et lune des quantités j:,j^ ou un paramètre qui les détermine. Or le système du prisme et de m n'est soumis qu'à Tactîon de la pesanteur et à la réaction verticale du plan fixe ; le centre de gravité, d'abord immobile, restera sur une verticale, ce qui donne, après une simplification évidente,
.1) Mx, -f- /n(ar 4- J?i] = o,
l^ théorème des forces vives fournit la seconde équation
nécessaire
dx^
^^«? dx dx, dx^ \d^ ^ dt dt df' ^
^ntgy.
dx Il suffit de remplacer -~ par sa valeur obtenue en dîfféren-
tîant (i) pour avoir une relation entre x^y et t, c'est-à-dire pour déterminer en fonction de t le lieu occupé par m dans le canal -, on a ainsi
Connaissant j: et j)^ en fonction de t, on a jTi à Taide de l'équation (i), et le problème est résolu. Quand le tube est cycloïdal, on peut écrire
x^a(tt — sinu], y-z=.a[\ — cosk); et, si Ton pose m = Me, l'équation (a) devient
a\ (i — cos«)'-*- sin'tf 1 -z-^ =2g^(i — cosa).
Je divise par i — cosi/, et je sépare les variables,
(3) dtv/^=,±du\/ 1 L..sin'-tt.
Ou est conduit à effectuer une intégrale elliptique de deuxième espèce^ mais la forme de Téquation montre que u, qui croît d'abord, ira jusqu'à uir, sans dépasser cette limite si le tube est formé d'une seule branche de cjcloïde-, du deviendra ensuite négatif, et u décroîtra jusqu'à zéro pour croître de nouveau. Le temps de ces oscillations est constant, et la moitié correspond à la descente, Tautrc
SVa LÀ MÉCÀJfIQTJE KATIOJTKBLLS* 337
moitié à la montée de m. Les coordonnées absolues de m
sont
la trajectoire absolue est la cycloïde donnée, dont on aura réduit les abscisses dans le rapport de i à i + s. Le prisme a un mouvement oscillatoire en arrière, avec une amplitude ésale à •
La pression exercée par m sur le prisme s'obtient en écnyant que c'est elle qui produit l'accélération horizontale du prisme. Comme elle fait, avec ia partie positive de l'axe
des or, l'angle tt a, on aura
I „^^i ni d^x — N cos - a = M -yr- =: rr
ma r, .d^u du^'A
mais l'équation (3) peut s'écrire
I du^ g
i-i-t dt^ û(l-f- scos'jw)'
d*où
2 d^u ^csin^ttcos^tf
l-ht dfi a (i-H •cos'y II)*
Substituant dans N et réduisant, on trouve une valeur essentiellement positive
. I 2 + t4-«COS'7"
N=:mffsm-a ~, —: — —-•
^ a (H-fcos»7«)»
Quand on néglige le carré de e, l'équation (3) devient
Ree. — Db S.-G; 22
338 EEcimii. d'exbegicbs
imégrable :
Le temps d'une oscillation est 4^(i — 7) \/~* L'équatîon (4) donne, par le retour des suites,
On peut dire que c'est l'expression de la loi du mouvement. Les coordonnées x^y^ Xx s'obtiennent en y remplaçant u par sa valeur et développant par la formule de Taylor suivant les puissances de e.
Principe des aires.
167. Étant donnés trois points matériels A, B, C, qui s^attirent en raison directe de leurs niasses et en raison ini^erse du carré de leurs distances j on demande de leur donner une position et des intesses initiales telles, que les trois points restent constamment en ligne droite ; quelles sont alors leurs trajectoires ? (Licence, i858.)
Le système n'étant supposé soumis à l'action d'aucune force extérieure, son centre de gravité O se meut uniformément sur une droite, et le mouvement relatif par rapport à des axes de direction constante, menés par O, se traitera comme un mouvement absolu, sans que l'on ait à introduire des forces fictives. Dans ce mouvement relatif, le plan du maximum des aires reste invariable ; or, les trois mobiles restant sur une droite qui tourne autour du point 0, le plan du maximum des aires est k chaque instant celui de deux positions infiniment voisines de la droite ABC ] il faut
SUB LA KiCAHIQVB RATIOSHBLLE. SSp
donc que cette droite reste dans un plan fixe, que nous prendrons pour plan de coordonnées, avec O pour pôle et la position initiale de ABC pour axe.
Soient à l'époque f, r, Tj, r, les rayons vecteurs de A, B, C ; 0 leur angle polaire commun -, X, ^, y leurs masses respectives; le principe des aires est applicable à chacun des corps séparément et donne
r»£/0 = à'dt, rJr/O = b^dt, r\d^ = d^dt-,
on en déduit
Les rayons vecteurs conservent des rapports constants, et les trajectoires sont des courbes homothétiques. Les vitesses seront toujours parallèles et leurs rapports seront les mêmes que ceux des distances des points au centre de gravité O, c'est-à-dire qu'ils seront invariables. U faut donc que, à l'origine, A, B, G soient en ligne droite, animés de vitesses parallèles et proportionnelles à OA, OB, OC; c'est, bien entendu, des vitesses par rapport au centre de gravité qu'il s'agit.
Mais ce n'est pas tout : si je désigne par u' la valeur commune des rapports (i), on aura
Pour que le point O soit le centre de gravité, il faut que les trois points ne soient pas d'un même côté par rapport à O. Supposons que A et B soient d'un même côté, C de côté opposé \ on devra prendre les deux premiers signes -+- et le troisième — ] on pourra aussi prendre r, = cm, à condition de prendre ô -f- ir pour angle polaire de C. Pour que O soit centre de gravité, il faut
(2) "ka-^^tb — vczzro.
34o UCXfVlL D'EXVmciGEa
L'équation des aires se réduit, pour les trois corps, a
Cherchons les composantes de l'accélération des trois corps suivant leurs rayons vecteurs : en appelant y l'attraction des unités de masse à l'unité de distance, on a pour le point A
di" df^ ('••— '•ij' i^-^^^Y
ou
On aurait de même pour B et C, B étant entre A et C,
\dF '^dFj^' TT^iib-^cY" (a^byy
\di^ de) tt»L(a-t-c)« (^-+-c)'J
Pour que ces équations soient compatibles, on doit avoir
, [a-by^ [a-f^cY [b-^cY [a^by [a-^cY [b-^cY
L'équation (a) est une conséquence de celles-ci 5 car, si Ton y remplace a, t, c par les quantités proportionnelles (3), elle est identiquement satisfaite. D'ailleurs, en tenant compte de cette équation (a), on trouve que le système (3) se réduit à une seule équation, où n'entrent pas les masses,
Étant données les positions initiales des trois corps, l'é-
quation (a) permet d'en trouver le centre de gravîtë, et l'on peut s'assurer si la condition (4) est remplie. Dans ce cas, les trois mobiles décrivent des coniques homo thé tiques ayant O pour foyer commun, et les lois de leurs mouvements relatifs sont tout à fait analogues à celles du mouvement des planètes. Quant aux trajectoires absolues, ce sont des sortes d'hélices sur des cylindres à base du second degré, courbes que M. Léopold Hugo a proposé de nommer ovhélites.
168, Une barre AB, de poids P, de longueur a a, homogène, s'appuie par ses deux extrémités contre un plan horizontal et un plan vertical parfaitement polis; elle est dans un plan perpendiculaire à leur intersection en O, et primitis^ement maintenue en repos. Un animal M, de poids Q, peut se mom*oir le long de cette tige, qui lui fournira une réaction longitudinale pour accélérer son moui^ement. Quelle doit être la loi de ce moui^ement pour que AB, abandonné à lui-même, ne glisse pas le long des plans qui le soutiennent? L'animal est d'abord immobile à V extrémité supérieure B de la perche. ( W. Waltow.)
On suppose que l'animal puisse se donner un mouvement continu. Soit x le chemin BM qu'il a parcouru, à l'époque f, sur la perche, l'angle de AB avec l'horizon étant oc. Les réactions des plans d'appui se rencontrent en un point C, quatrième sommet, du rectangle formé sur AOB. La dérivée du moment de la quantité de mouvement de lanimal et de la barre par rapport au point C est égale à la somme des moments des forces agissant sur le système. Le seul point en mouvement est M \ les réactions des plans ont un moment nul', l'action que M reçoit de AB est une force intérieure, et l'on a
— a8m2a-7-- = aPcosaH- (2fl — jrjQcosa
34^ UBGVEIL d'exercices
d*a: ex P-+-aQ
dt* 2asino( 2Qsina
Intégrons en tenant compte de ce que, pour t = OyXetdx sont nuls,
Q \ V aasina/
d.v Pn-aQ^ / «^ . - / g
i/-^—sinti/- V 2 sma V !
dt O V 2 sma y 2asiDa
M devra parcourir un espace 2 a — ■— — ? ce qui ne peut
s'interpréter qu'en supposant à AB un prolongement rigide, mais sans masse, au delà de Â. Si P est négligeable par rapport à Q, le maximum de la vitesse est environ
"■• î pour a = 2°*, a = 60®, c'est près de 7 mètres par
seconde.
La réaction longitudinale de la barre sur M se calcule en écrivant que cette force avec la composante de Q produit Taccélération de M; il en résulte
F=: - -T-T- — Qsma = r--^cos/4/— ? Qsuia.
g dO 2 sma y 2 sma
Cette force, d'abord positive, devient bientôt négative^ le travail correspondant à la descente de M est d'ailleurs négatif. Puisque la force vive est nulle au commencement et à la fin, il faut que le travail de F soit égal et de signe contraire au travail du poids Q; ce travail est donc
— 2fl(P + 2Q)sina=/F££r.
Pour avoir la réaction verticale exercée par le plan horizontal, il suffit de prendre les moments des forces extérieures et de la quantité de mouvement par rapport au
8U1. LÀ MÉCAZfIQtJB RÀTIOHHZLLB. 343
point B; le moment de la quantité de mouvement est nul,
et Ton a
Pa -+-QjT
(Pfl -f-Q*)co8a — 2aNcosa = o, N
aa
La réaction du plan vertical se trouve d'une manière analogue
169. Une tige homogène ÂB, de masse fi^ de longueur 2a, est assujettie à tourner autour de son milieu O dans un plan horizontal; sur cette tige peut glisser un anneau M, de masse m, attiré vers O par une force proportionnelle à la distance. Déterminer le moui^ement du système, connaissant, à l'origine du temps, la ^vitesse angulaire de la barre o)^ la distance c de M. à O et la vitesse u de glissement de M sur AB. Cas où jx = 3 m, c = a, u = o .
(Licence, 1870.)
La position de la barre est déterminée à chaque instant par Tangle 9 qu'elle fait avec sa direction initiale, et la position de M sera connue si Ton donne sa distance r au point O. Les forces extérieures sont Tattraction de O et la réaction du même point sur la barre \ la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à ce point est constante, ou, si Ton veut, le théorème des aires est vérifié. Le moment de la quantité de mouvement de AB est
Tt r'^^=^^'"di'^
le principe des aires donne
L'éqoaûon des forces vives est aussi applicable^ si Tattrac-
344 ABGCJBIL D*EXERC1CE8
tion de O sur M est représentée par k*mr^ son travail esc -h^m[c^ — r*), et l'on trouve
dr^ f ï \ Jô' / I \
Eliminant -J-- entre ces deux équations et séparant les variables, on trouve
On ne pourra pas effectuer l'intégration, mais les équations (i) et (2) donnent une idée très-complète du mouvement; la première montre que dB ne peut s'annuler ni changer de signe : la tige tourne donc toujours dans le même sens et d'autant moins vite que r' est plus grand. Le dénominateur de la seconde doit rester positif, et pour cela me doit pas devenir infini. H y a deux cas à distinguer selon le signe de la partie indépendante de r :
Pour r = c, le dénominateur y*(r) est égal à
f/?2c'-h^fjtaM a*,
pour r = 00 , il est <^ o ; il y a toujours une racine r' comprise entre c et 00 , mais, pour r= o,y(r) = H. Si donc H<^o, il y aura une racine r'^ <C^c\ le mobile M restera compris entre deux cercles, dont le centre est en O, et dont les rayons sont r', r"-^ la trajectoire sera formée d'une suite de branches superposabieS) allant d'ua cercle à l'autre en
8UB. UL MÉCUriQUB RÀTICmilELLE. 34^
les touchant aux points communs. Si H ^ o, il n^j a pas de racine entre c et o; r à partir de r' pourra décroître jusqu'à zéro, et même prendre des valeurs négatives jusqu'à — r'\ les branches dont se compose la trajectoire sont limitées au cercle de rayon r'^ et elles passent toutes à rorigine pour revenir toucher le cercle. Enfin, quand H = o, r pourra croître jusqu'à r', et diminuer ensuite jusqu'à zéro, mais il n'y arrivera qu'après un temps infini, parce que le coefficient de dr contient r en facteur commun au dénominateur, ce qui rend infinie l'intégrale qui a zéro
pour limite. D'ailleurs — tend vers ( i H j w; la courbe
décrite est une spirale asymptote au pôle.
Un cas très-simple est celui où r'= r^'-^ et, comme ils sont généralement séparés par c, leur valeur commune est c^ f{c) doit être nul, ce qui exige u = o; ensuite le produit des racines dey(r) = o doit être c*^ donc
dans ce cas, l'anneau décrit un cercle d'un mouvement uniforme.
Cette discussion s'applique sans modification au cas particulier proposé^ seulement une des racines de f[r) = o est c, ou a : nous n'avons qu'à récrire les équations (i) et (2) avec les simplifications de forme qui résultent des valeurs numériques adoptées, on a
— di= ^
Quand Cl) = A, la quantité sous le radical est — t*(r* — af)^\ on voit que r doit toujours rester égal à a, et le lieu de M
est on cercle. Si A: <[ u) ^, le lieu est une courbe lobée
346 BBCTJEIL d'bXBUCICES
comprise entre deux cercles concentricpies de rayons a et a K/--^ 1- Les branches passent à l'origine lorsque
^ ]> b> ^a . En6n, pour A: = &) ^a , la trajectoire est une spirale dont Tëquation s'obtient en éliminant dt entre les deux équations du mouvement :
zha^drJ^ a a^dr fa* \"T
dB = — = ;iL — ( -: — I 1 •
Il faut prendre le signe — , parce que r ne peut que décroître à partir de a ; on peut mettre l'intégrale sous Tune ou l'autre forme
Cherchons la pression N de l'anneau sur la barre dans le cas particulier, qui du reste ne diffère pas essentiellement du cas général. L'accélération du mouvement angulaire de AB est due à cette pression. Si donc on prend par rapport à O le moment de l'impulsion de cette force et celui des quantités de mouvement, on a
a'^ dt
Mais
//0 ^a^tàrdr ^a^fiirdt^(Â^'-2tù^)a'-i'2a^oi^i^ Âh\
donc
Comme le centre de gravité de la tige est immobile, et
SUR LA MÉCABIQUE &A.TIOirirZLLE. 347
qa'elle n'est sollicitée que par cette pression N et la réaction du point O, cette réaction est égale et parallèle à N, mais de sens contraire.
170. On donne un cône droit dont taxe est vertical et le sommet en haut; un point pesant M assujetti à rester sur la surface conv^exe est attaché à un Jil flexible, inextensible et sans masse qui passe dans un très-petit trou O au sommet du cône, pour s'enrouler sur une poulie C et se terminer par un poids M^\ troui^er le moui^ement du système en supposant que M' soit d'abord immobile^ et que, par suite, M ait une vitesse horizontale c,
(Licence, 1872.)
Soient r la distance OM, Q l'angle dont on a tourné le plan méridien qui contient cette droite, f le demi-angle du cène, m, m\ afi les masses de M, M^ et de C. Le point M est soumis à la pesanteur, à la réaction du cône et à la traction du fil ; ces trois forces étant dans le plan méridien de M, leur moment par rapport à Taxe est nul, et le théorème des aires a lieu pour le mouvement de la projection de M sur un plan horizontal ] a étant la valeur initiale de r, on a
II r*sm® -7- = cai
' ^ dt ^
Appliquons à tout le système le théorème des forces vives) la pesanteur est la seule force extérieure ou intérieure qui donne un travail ; la force vive de M est
Idr^ d^^\
mP»ou m^— H-r>sin>— j
dr^
celle de M' est ^' "^j^^ ^^ c^Ue de la poulie est le produit de son moment d'inertie par le carte de sa vitesse angulaire
348 ftBCUBIL D*EXERCICE8
Cl); R étant le rayon de la poulie, on a ainsi - R*X2fi<<>*)
mais Ra> est la vitesse d'un point de ia circonférence sur
dr di
dr laquelle s'enroule le fil, ou -7- On a en définitive
( m -f- m'-h /x) — -4- mr»8in'ç-r /nc*= ig (mcosç — m') [r — a].
Éliminons dt entre cette équation et (1), puis séparons les
variables
, . . ,^ Hz acdr Jm -f- m' -h f*
(2) s\n(fd^z= — ^=^'
r^mc*[r^ — a*) -è- 2^r'(mcos^ — ^')[^ — **) On peut intégrer quand m cosf est égal à m'; on trouve
r = flsëc ( 0 sin » i / -, ) •
Il suffit de multiplier r par sin^) pour avoir en fonction de 6 le rayon vecteur d'un point de la projection horizontale de la trajectoire du point M; c'est une courbe dont le rayon vecteur est a sinf pour 0 = o, et devient infini pour
, m -h m' -h ti
ce lieu se déduit de la ligne droite en augmentant les angles polaires de ses divers points dans un rapport constant; il y a une asymptote à distance finie du pôle. La loi du mouvement s'obtient en remplaçant dans [2) dO par sa valeur (i) endt :
dt =
rdr ^m -^ m' -^ \k
^mc^[r* — a*) + 2g[mcxiSf — m!) [r — fi)r* Dans le cas particulier que j'ai pris, on intègre et Ton
8TT1. LÀ HÉCAHIQinB KÀTIO]fflV£LLB« 349
trouve
1 Jm-k-m* -^}k /-T L .
il faat un temps infini à M pour parcourir sa trajectoire; il est bien entendu qu'il sera arrêté si la longueur du fil ^t finie ^ mais cette impossibilité ne peut être prévue par nos équations, qui nous indiquent du moins Tépoque où elle Tient à se produire.
Revenons au cas général, et posons r sin f = p , a sin 9 = a , m -t- m'-+- fx = X -, Téquation (a) nous donnera la projection horizontale de la trajectoire \ on peut l'écrire
(3) </9y8inf = — ^
P V'ip — ") [^S ["^ ^* ? — ''*') P* "*■ ''"^ sin y (p H- a)]
Quand /ncos9 — m!<^o^ la quantité entre crochets s'annule pour une valeur positive, (3, de p et pour une valeur négative \ dO n'est réel que si p est compris entre a et ^', la projection est donc comprise entre deux cercles ayant ces rayons, qu'elle vient toucher alternativement. Ces deux cercles se confondent et le mouvement de M est uniforme quand g" (m' — m coscp) = mc^cL, Si de l'identité
2g-(mcoSf — /n')p'-f- mc*sinç(p 4- a) = o
on tire ag(mcos(f — m!) pour le substituer dans (3), elle prend la forme
sin ^ ■ '
iin9£/ô = dz 4/ -====1
p) V^ap-Hp(a-hP)
qu'il est aisé de ramener à la forme type des intégrales elliptiques de troisième espèce, en posant
p = a sin*a + p cos'tt.
35o ncusiL B'sxncicEs
Dans le cas où m cosf — m'^ o, la quantité entre crochets sous le radical (3) est positive pour toutes les valears positives de p ; ce rayon vecteur doit donc être toujoors }> a, et il grandit indéfiniment, mais cela exige un temps infini. Comme le coefficient de dp amn dénominateur de
l'ordre de p ' , l'intégrale prise de|& = aàp = oo sera finie, et à p infini répond une valeur finie 0i de 6] j'ajoute que l'asymptote correspondante passe au pôle, car la distance de ce point à l'asymptote peut s'écrire
lim p ( 0, — 0 ) = lim -^ = lim —- := lira p' -r- •
Or p' y- est nul pour p infini, puisque le numérateur est
de degré inférieur au dénominateur.
Dans ce dernier cas, il peut se faire que la quantité entre crochets soit un carré parfait, on trouve alors
aSsmy = 2a 4 / ^ »
V ^ pliiOL-h p)\/p— a
On peut intégrer
1 ^ /m . / û — ai /f. a
- H / -r sm » =: arc tanff i / ' arc tan": i / i •
mais cette intégrale, tout en précisant la valeur de 0 qui répond à une valeur donnée de p, ne nous montre pas les propriétés de la courbe plus nettement que son équatiou différentielle.
La tension du fil ne varie pas depuis le point M jusqu'à la poulie, elle serait donnée par Texpression de l'accélération de M suivant le rayon vecteur-, mais il est plus facile de la calculer en appliquant le théorème des forces vives à un petit déplacement du système formé de C et du poids
SUm LA XÉCABIQtlE JULTiOllirBLLE. 35 1
M\ Les forces extérienres qui soUicitent ce sjstèat^ sont la tCDsion T du fil COM et le poids de M'^ le déplacement du point d'application est pour toutes deux dr\ donc
Mais
(to4- m'-f- f*) -77 =fnc* — mc^—^ H- 2^(mcosf — /»') [r — a).
On n'a qu'à dîfTérentier, substituer et diviser par adr^
(m-f-m'-f- p) T = m^[(m'-+-fit) cosf -f-m'] -h /7i(/n'-+-p)
La tension du fil CM' serait moindre que — rit* -r-*
^ 2 dr^ dt*
Quant à la pression N exercée par M sur le cône, on Tobtient en calculant la composante de la force qui sollicite M, estimée suivant la normale extérieure au cône;
— «ïrsinycos^— = N — mg suif,
/ rt*C»COSf\
N = TOSinf (g- , . , )
Ces calculs s'appliquent au cas où op sera égal à 90 degrés, c est-à-dire où le point M sera posé sur un plan horizontal.
171 . Mouv^ement d'une barre pesante et homogène AB, dont une extrémité A reste sur un plan horizontal, tandis que V extrémité B suit une verticale. Il n'y a pas de frottement, et, à l'origine, la vitesse du point B est nulle. Cas particuliers.
Prenons la verticale donnée pour axe des z, le sens positif étant dirigé de haut en bas, le plan horizontal pour plan XOY, et dirigeons Taxe des x vers la position initiale
35a ABCVBIL B'sXBftCIGBS
de A. Soient 2 a la longueur de la barre, C son point milieu, 0 l'angle COZ, ^ l'angle du plan COZ avec ZOX ou l'azimut du plan qui contient AB. Le triangle AOB étant rectangle, la médiane CO est égale à a, et l'angle de AB avec la verticale 7t — Q.
Le théorème des aires s'applique à la projection du mouvement sur OXY. Si l'on désigne par dm la masse d*un élément M sur AB, par r la distance BM, la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à OZ est
r» sin* e ^ «&n = I a»i» sin» » -r i
tù étant la valeur initiale de -r- et a celle de 0,.on a donc
dt '
(i) 8in'ô-v- = «sin»a,
^ ' dt
Le théorème des forces vives nous donne une seconde équation; le travail des réactions est nui, et il ne reste que celui du poids mg appliqué en C. Quant à la force vive, il est bon de la calculer comme étant la somme de celle qui correspondrait au cas de la masse concentrée au centre de gravité C, et de celle qui est représentée par le mouvement relatif autour du centre de gravité. Or, dans le temps dU
Tare parcouru par C est a ^/dQ^-h sin'ôrf«(*'*, le mouvement de AB autour de C est une rotation mesurée sur la sphère
de rayon i par l'arc yJdS^-h sin' 6dt|/*, et, le moment d'inertie
par rapport à C étant m — 9 on a tous les éléments de l'é-
quation des forces vives. Au commencement, -r- est nul;
donc
/ , I \ /rfô» . dV\ L
= imga[QO%^ — cosa).
SUR LÀ MÉCAKIQTTE RÀTIOHNBLLE. 353
Eiiiilinant dtj puis d^ entre cette équation et l'équation (i), on a tour à tour une équation de la trajectoire du point C et la loi du mouyement.
daat'sin^a
=:sin*9(coB9 — cos«)
X [3g'(i — co»'9) — a<iH*8in'a(co8a + cos9)],
aann'e —
= (cos9 — cosa)
X [3^(i — cos'ô) — 2a«>'sîn'a(cosa 4- cosô)].
La quantité entre crochets est <[ o pour cos9 = i et > o
pour cosO = — I ; elle s'annule pour une valeur |3 de 0 com-
dB dB . / 1 .1
pnse entre zéro et ir, et, pour que ;t- et — soient réels, il
faut que d reste compris entre a et (3. L'équation (i) montre que ^ va toujours en augmentant dans le même sens; quant à 0, il part de a pour aller à jS, revenir à a, et ainsi de suite ^ les accroissements de £ et de ^ correspondant à ces oscillations sont constants.
Pour étudier les diverses valeurs de /3, reprenons notre trinôme entre crochets en cos9, et désignons-le pary(9)-,
on a
/{a) z=z [3g — ^a»^cosa) sin'a.
^^ / (*) <C Oj C® V^^ exige a<[->onaP^a; d'ailleurs
/(-) =3^— saoï'sin'
a, COSa.
Quand / ( - | est ]> o, j3 est compris entre a et - 5 C reste
sur la sphère décrite de O comme centre avec a pour rayon, entre deux petits cercles horizontaux au-dessous du plan Dk s.-G. — Mec, 23
des 3cy. Quand y*(a) etyf-j sont <[o, |3 est >-» mais
inférieur à it — a, car f(T^ — a) est toujours positif-, les deux cercles entre lesquels C reste compris sont Tun audessous, l'autre au-dessus de XOY. La dislance OÂ, d'abord égale à aasina, croit jusqu'à aa, puis décroît jusqu'à 2asinP^ ensuite elle revient à aa, puis à aasina, et ainsi de suite. D'ailleurs, quand le point A atteint une de ces limites, la tangente à son lieu est perpendiculaire au rayon
vecteur. Quand « est > -> (3 est toujours inférieur à a et
même à tt — a, et la nature du mouvement est la même que dans le dernier cas, si ce n'est que le minimum de 0 est p et non plus a.
Si l'on avaity*(<x) =:= o, /3 se confondant avec cr, 0 devrait être constant, et AB décrirait uniformément un cône droit autour de OZ.
En tirant la valeur de 3 g^ de ridentitéy((3) = o et substituant dans l'équation (2), on peut obtenir d^ sous une forme simple et symétrique
sinasin6</0
sin ô y'(cos 6 — cos a) (ces p — cos ô) y/cos ô (cosa -f- cos p) 4- 1 -h cosa cos
On peut reconnaître que la différence d'azimut de deux
plans pour lesquels 0 atteint des valeurs extrêmes est }> —
Posons cos 6 = cosa cos* u -f- cos {3 sin*u^ il vient, par une simple substitution,
a sin a sin 6 du
[i — (cosacos'a-hcos psin'i/)*]^ I +2 cosa cos p+cos'acos^tf+cos'psin^
La différence d'azimuts cherchée s'obtient en intégrant de M =: o à u = -^ en supposant « <C P? la quantité sous
S€R LA MâCAniQTJE RATIONHELLE. 355
le radical est <^ 1 + 2 cosa cos^ + cos*a, et
j^ I — (cosacos'tf -4- cos^sin'ir) sina sinf '
donc
cosifP — «) /n-cosacos6-hsinasmB
il»,>ff — '3>" ^ ^-^K 7 -« ,->
v''i-*-2cosacos{H-cos»a V 2-i-4cosacosp-h2COS»a
et il est évident que la quantité sous le radical est ^ j*
Les réactions de Taxe des z et du plan des xy se calcul<>ront en exprimant que ces forces, appliquées en C avec le poids mg^ sont égales à la masse multipliée par l'accéléralion du point C; mais les résultats sont bien compliqués.
Cas particuliers, — Supposons co = o, la barre ne sort pas du plan vertical XOZ \ le point G reste sur un cercle vertical, et la loi de son mouvement, aussi bien que celle dn mouvement de AB, est donnée par l'équation (3), qui prend la forme
ycosO^-cosa V 2a
fl diminue de a à — a pour revenir à a, et ainsi de suite \
OC oscille comme un pendule de longueur-^ a. Soient Z
et X les réactions du plan horizontal fixe et de l'axe OZ, X et ^ les coordonnées de C ; on aura, par le théorème du mouvement du centre de gravité,
dt^ dt^
'«-^-:r=X, m-— r=ZH-in^;
mais a: = asind, r = acos9, et l'équation du mouvement
356 KEcuEiL d'exercices
donne
-— =.-^(cosô — cosa), -7-7 =— -T^smô.
Ces expressions permettent de calculer X et Z, et Ton trouve
X=-^ siii6(6cosa — gcosO),
nts lér=-j- (6cosacosO — gcos'ô -- i).
X est toujours de signe contraire à 6 et Z toujours négatif.
Un autre cas simple es^ celui où Ton suppose la barre
non pesante : en faisant g ==^0 dans Téquation (a), on en
tire
sinotdB -^z — = rfi[i, tangacotO = cosip.
sin'ô \/cos'a — sin^a cet' 9
On en déduit que le lieu de A est une ellipse dont les axes sont 4 A sina et 4^9 et la surface engendrée par AB se compose de deux surfaces du quatrième degré.
172. Deux masses m, m\ posées sur un plan horizontal, sont réunies par un Jil flexible, de longueur im^ariable /, et qui passe sur une très-petite poulie en O'^ la masse m est attirée "vers O ai^ec une intensité im^ersement proportionnelle au carré de la distance; on- imprime à m^ m' des vitesses connues, et l'on demande le mouvement gui en résultera; cas oit la vitesse initiale de m! est nulle.
(Licence, 1873.)
Soient r, r' les distances Om, Omf\ 5, 6 'les angles de ces droites avec un axe fixe \ a^ a* les valeurs initiales de r, r'\
w, a>' celles de -r» -;-; u la vitesse initiale de glissement du ' dt dt^ ^
fil sur le point fixe O. Le théorème des aires est applicable
«Hcavement de chaque point en particulier :
dB
«'^iïss ;r<rurre't::r;t'; ^^^ ^--^ ^^-^
paraîtra, et, si L IpS Cl' ' '""" '" ^' '"" » l'unité de distance.'^fn aura "" "'"'^ "" '»
W^^dT»-
au
Remplaçons— **' i
aurons ^' ^ '" °" "'^""' " '' ^^ ' " ^^ --
('»^^'«')~ = im + ^'^u'+,na'^,:lz:^
Le second membre Put T.r^«-*T
■■ sont na., «....:'-'!' P"'"^^ P^""- '• = «. «, " « et «'
r est suffisamment
«^, comprises entréVet TT '°"^7" ^"""^ ^"'"""' «
jeetoire de ^ sera fo^éf dw" f "^' '^°"^^^"^- ^^ *^^- «»cles de rayons « H > ,? ^*"'' *=°'"P"' ^"^^^ ^«*
-.1. , .™°* « «t 8, Qu'elle tnn/«>.» olf^ .:
.ira ''" ""i" ? "' °^«"'f ï«"î
voism de o ou de /• îl *^ « j
et A . ' y ^ ^Oï^c tou oi
J-oi.l^rse^^S-f--]emp
«»cles de rayons JTT > ,? ^*"'' -
«UedeTn'annpf ^' 1"*"^ '**"*'*'^ alternativement: '-« et /l ad"""' "°^°^« «"''^ 1«« <=«"=!«« <!« rayonj
-leur commL soÏ r " "^' '^'^^ ' ^' '* ''"*' ^'^^ ^«'^ que r - , . *"' *^® *ï"» exige u = o, et, en outre
- a annule la dérivée du second membre de l'équal
358 iiEctJEiL d'exercices
tion (i) ^ en observant que a'= l^^a^ cela donne
mvra — m' tù'Hl — a] — i» — = o.
n y a une infinité de manières de réaliser cette relation, et alors les deux points se mouvront uniformément sur deux cercles.
Si Ton suppose o) = o, le second membre de l'équation (i) est > o pour les valeurs de r entre o et a; r aura une limite supérieure moindre que l\ mais, après l'avoir atteinte, il décroîtra jusqu'à zéro, et, si m peut dépasser le point O, il s'échappera, et l'on aurait à étudier le mouvement de deux points liés par un fil et dont l'un est attiré vers O, problème bien plus difficile que le proposé.
Dans le cas particulier proposé, ii et ci>' sont nuls. Je
reprends l'équation (i), en y remplaçant dt par
(2) rfey/
m j à^tùdr
Le radical s'annule pour r = a et pour r = ri = - ^ ^
Si Ti ^ o, /• restera compris entre a et ri, sinon il ira de a jusqu'à l'infini. On peut, du reste, intégrer la valeur de 0, et, en prenant les cosinus des deux membres, on trouve, pour la trajectoire de /n,
Cette courbe est la transformée d'une conique ayant son foyer au pôle et où Ton aurait augmenté les angles polaires
de tous les points dans le rapport de ^m -f- /»' à ^m. On trouvera la position de m en fonction du temps de la même
S€R LA MÉCANIQUE KATlOKlfELLE. 35g
façon que pour le mouTement des planètes ; en général cela revient â remettre dt dans l'équation (2) et à intégrer sa valeur
m rdr
Fn -f- nt
D est entendu que, si r dépasse /, m' traverse le point O, et les conditions du problème sont tout autres.
173. Mouvement d'une droite pesante assujettie à rester sur la surface, parfaitement polie, d'un hyperboloïde de réxfolution dont l'axe est vertical.
Notre droite coïncidera successivement avec chaque génératrice d'un même système, et sa position sera connue si Ton donne l'angle ^ de sa projection sur le plan du cercle de gorge avec un diamètre OX de ce cercle, et la distance r comprise entre le milieu M de la droite et le point G, où sa direction perce le plan. Soient a le rayon du cercle de gorge, ^ l'angle des génératrices avec l'axe de la surface, qu'on prend pour axe des z •, l'angle de OC avec OX est, en comp-
tant ^ dans un sens convenable, — h 4^9 ^^ ^^^ coordonnées
rectangulaires de M seront
x-=. rsinOcos\|» — ^sin^*, i) i ^ = rsinO sin^p 4- acos>p,
z =rcosO;
z et r sont positifs au-dessous du cercle de gorge.
Comme les réactions que la barre reçoit aux divers points où elle touche la surface sont dirigées suivant les normales correspondantes, leur moment par rapport à OZ est nul, et la somme des moments des quantités de mouvement est constante. Cette somme est égale au moment relatif k la
36o BECUEIL d'eX£RGIGE5
masse concentrée en M, plus celui qui correspond au mouyement relatif autour d'une yeil^icàle qui serait entraînée avec M -, la première partie est
la seconde est, en appelant m/r* le moment d'inertie de la barre par rapport à son milieu, mh} sin*6-^5 donc
,d^ dr
(2) (a*-i- X'sin'e H-r^sin^e)—^ — asinô-- =: p.
La force vive s'évalue comme il a déjà été fait, en deux parties : l'équation du travail est
dO ^ ' dt^
drd^ — aflsinO-— -f — as'/'cosô = h, dt dt ^
Multiplions par a* H- (r* -f- /r*) sin*9, et retranchons membre à membre de l'équation (2) élevée au carré, on élimine d^^ et il reste
(3) (H4- k^) sin* e^[ = («»-+- X»sin>e 4- r'sin'O) [h + a^rcosO) — p'.
Le second membre étant du troisième degré, s'annule au moins pour une valeur de r; on peut compter le temps à partir de l'instant correspondant. Désignons par r^ etft»
les valeurs correspondantes de r et de -^j et posons, pour
abréger,
a^rcsinÔ, a^cosÔ = 7 sin'ô,
les équations (2} et (3) prennent une forme simple, eu donnant à A et à /x les valeurs qui rendent les deux membres
sua LA MÉCANIQUE RÂTIOHITELLE. 36l
identiques quand £ = o,
(4) (r. + c'+*')^-cJ = (rî+c'+A')«.
Si To^» o, le trinôme entre crochets,y(r), est >• o pour toute valeur de r supérieure à Tq ^ r ne peut donc varier que de r^ kco 'y mais, quand ro<] o, il peut arriver que /(r) s'annule pour une ou deux valeurs de r plus grandes que ro5 dans le premier cas, qui répond Sif(^o) <Co, ou 7+- aoi)*ro<[ o, '^ devra varier entre To et la plus petite des deux racines dey*(r) = o. Si les deux racines sont réelles ^^^''o'i r variera encore de r© à la plus petite, et la droite ne sortira pas d'une certaine zone comprise entre deux parallèles de l'hyperboloïde. Dans le cas où l'une des racines de y* (r) = o est To, et l'autre ^r©, ce qui exige
M et tous les points de AB décrivent uniformément des parallèles. Quand y*(r) ne s'annule pas pour r]>ro, r va
de To à 00 . -^ s'obtient en remplaçant, dans (4)î ^ P^^r sa
valeur tirée de (5) ; mais, quand r est très-grand, on a sensiblement dr = dt \jryy r^d^^=^cdr\ donc ^ tend vers une limite !Gnie, et le mouvement de M devient à peu près uniformément accéléré.
Quand Cl) = o, ou quand la barre part du repos, on peut intégrer (4)?
- V ^' -H c* = arc tang --==:= — arc tang
on en déduit la forme de la trajectoire de M.
36a RBCDBiL d'exercices
Mouvement d'une barre pesante et homogène dont les extrémités doivent rester sur un cercle vertical poli; pressions exercées. L'équation des forces vives détermine Tinclinaison de la droite, et le mouvement du centre de gravité donne les réactions, qui sont normales au cercle.
Une barre pesante et homogène AB peut se mouvoir dans un plan vertical autour de l'extrémité A; l'autre extrémité s'appuie sur une face d'un prisme triangulaire dont la base repose sur le plan horizontal parfaitement poli qui contient A ; le prisme ne peut se déplacer que parallèlement au plan vertical dans lequel se meut AB ; mouvement qu'il prend sous la pression de la barre.
Deux points A, B sont liés par une tige sans masse mobile autour de son milieu C ; chacun d'eux est attiré vers un point 0 avec une intensité inversement proportionnelle au cube de la dis^
tance ; CO est égal à - AB, et le mouvement initial est tel que h
barre reste dans un plan passant par CO, mouvement du système. Le théorème des forces vives conduit à une équation iniçgrable.
(Walton.)
Mouvement de deux points pesants qui se repoussent avec une intensité réciproque au carré de la distance et dont les vitesses initiales sont dirigées suivant la droite qui les joint. Le centre de gravité décrit une parabole, et la droite qui joint les deux mobiles conserve une direction constante.
Un prisme triangulaire repose par sa large face sur an plan horizontal parfaitement *poli, et ne peut prendre qu'un mouvement de translation perpendiculaire à ses arêtes; deux petites masses réunies par un fil qui ne sort pas d'une section droite du prisme sont posées chacune sur une des faces inclinées et abandonnées à elles-mêmes ; déterminer le mouvement du système et la tension du fil.
Une aiguille AB de masse m peut tourner autour de son extrémité A dans un plan vertical; déterminer la loi suivant laquelle
8X7B LÀ MÉCÂHIQUE RÂTIOHNELLE. 363
un insecte de masse m doit se déplacer sur AB pour que cette aiguille puisse ayoir un mouyement de rotation uniforme; Tinsecte est supposé en A quand AB est horizontale. On écrit que la dériree de la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à Taxe autour duquel tourne la droite est égale à la somme des moments des poids; on tient compte de ce que la vi* tesse angulaire est une constante «•,' et Ton arrive à une équation de la forme
, / T « -*- '■X gsm»t=z 2«» Ir — aL | ;
le momrement n'est possible que pour une demi-révolution.
