COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES

18. Quand on a un système de forces parallèles, mais qui n'agissent pas toutes dans le même sens, on pourra les traiter de la même manière dans les calculs, à condition de donner le signe + à celles qui ont une direction, le signe — à celles de direction opposée. Il y a généralement une résultante parallèle aux forces données, égale à leur somme, et dont le moment par rapport à un plan quelconque est égal à la somme des moments des composantes-, désignons celles-ci par P, P',. . . et les coordonnées de leur point d'application par x,j^, z\ x'^j^ -2'^..., nous aurons, pour déterminer la grandeur de la résultante et les coordonnées de son point d'application,

M R-2P ^-^^^ ,^2Pr ,2P^ (I) R-2P, ^i-~-2F' -^'""Xp"* ^'""'Ip'

le point Xi,j^i, 2:1, centre des forces parallèles, est indépendant de leur direction.

Lorsque ZP = o, il ne s'ensuit pas qu'il y ait équilibre ;

il faut encore que les centres des forces parallèles qui agissent dans un sens et dans l'autre soient sur une droite parallèle à leur direction commune. Soit

f — -I — f une droite à laquelle ces forces sont parallèles -, les condi-

20 REGUBIL d'eXBRCICES

tions d'équilibre seront

2P.r iVx 2P«

(2) 2Pir:0,

Si la première conditiou est seule satisfaite, on a un couple.

Pour que l'équilibre ait lieu quelle que soît la direction (a, p, y), il faut que EPor, SPj^, SPz soient nuls; quand ces conditions sont remplies, si Ton change non pas la direction des forces, mais l'orientation du corps où elles sont appliquées, il y aura encore équilibre, et le système est dit asiatique.

Il peut arriver que les forces parallèles soient contenues dans un même plan

A.r -h B j -f- Cs H- D = o ;

les deux dernières équations (2) se réduisent à une seule, et 11 est bien remarquable, dit M. Duhamel [Sciences de raisonnement)^ qu'elle ne dépende pas de D. Pour le voir, il suffit de former la fraction suivante, égale aux trois fractions (a) :

A2Px-+-B2Pjr^-C2Pz ~Ta^Bp-f-C7 '

le dénominateur est nul à cause du parallélisme des forces et du plan \ il en est de même du numérateur» parce qu'on peut l'écrire

2P ( Aar -h B j -4- Cz) = — D2P = o.

Les trois équations (2) se réduisent à deux conditions et une identité.

19. Les propositions établies pour la composition des forces parallèles peuvent conduire à des théorèmes pure-

ment géométriques, et c'est un des cas nombreux et intéressants où deux parties différentes de la science se rapprochent et se prêtent un mutuel appui.

Appliquons aux sommets À, B, C d'un triangle trois forces P, Q, R égales et parallèles; on peut trouver le centre O des forces parallèles en remplaçant Q et R par mie force a P appliquée au milieu de BC, puis composant celle-ci avec P^ O sera donc sur la médiane issue de A, et aux I de sa longueur à partir de A -, mais il serait aussi bien sur une autre médiane ^ donc les trois médianes se coupent conmie l'on sait.

De même appliquons aux quatre sommets d'un tétraèdre quatre forces égales et parallèles, et cherchons leur résultante en composant d'abord trois d'entre elles en une seule, puis celle-ci avec la quatrième^ ou bien, en composant les deux premières, puis la troisième et la quatrième, et enfin ces deux résultantes partielles, on arrive aux théorèmes connus de Géométrie. Dans un tétraèdre, les droites menées de chaque sommet au centre de gravité de la face opposée se coupent en un point qui les divise dans le rapport de 3 à I : ce point est au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées.

Soient encore appliquées aux sommets A, B, C d'un triangle des forces parallèles P = tangA, Q = tangB, R = tangC; deux d'entre elles ont une résultante appliquée au pied de la hauteur tombant sur le côté dont elles tirent les extrémités^ donc la résultante des trois forces est appliquée au point de rencontre H des hauteurs, et égale à

F = tangA -h tangB 4- tangC - = tangA tangB tang C,

d'après un calcul de Trigonométrie bien connu. Considérons maintenant trois autres forces appliquées aux mêmes

3o RECUEIL d'exercices

de ces forces parallèles; si l'on considère les forces OAi X Pt î 0A| X Pf, . . . dirigées suis^ant OA, , OAj, . . ., leur résultante sera dirigée suii^ant OG et égale à

OG(Pi-hP,-f-..)-

En effet, considérons trois plans coordonnés rectangulaires passant en O, et écrivons que la somme des moments des forces parallèles par rapport à chacun de ces plans est égale au moment de leur résultante ^ on a trois équations de la forme

(a) 2PxOAcosAOX=: (P.H- P,-f-. . .)OGcosGOX

Ces équations expriment précisément que les forces concourantes P X OA ont pour résultante OGSP. En particulier, si le point O était en G, les forces P.OA se feraient équilibre.

Remarque. — Si Ton ajoute les trois équations (a), après les avoir élevées au carré, on trouve la relation numérique

(P) OG {2P)2=2P'0A H-a2P.P,OA,xOA,cosA,OA,. Si au second membre on ajoute et Ton retranche

2(oâ,Voa/)p,p„

on a une relation utile dans l'étude du mouvement des systèmes :

OG (2P)^=2p2P0A — 22P,P,xA,Aa .

22. ^ux quatre sommets d'un tétraèdre OABC on applique des forces parallèles proportionnelles cluzcune à l'aire de la face opposée; déterminer le point d'application G de leur résultante.

Soient a, |3, y, (ù les aires des quatre faces; Xo^ Xi, jts,

SUR LA MÉCÀiriQDE RATIONNELLE. 3l

Xi^ X les distances de O, Â, B, C, G à un plan (P)^ on

aura

Faisons coïncider le plan (P) avec ABC, Xi, or,, Xs seront nuls, cooTo deviendra six fois le volume du tétraèdre, et X = 6 V : (o) -h a H- p -f- y) sera le rayon de la sphère inscrite^ le centre des forces parallèles n'est autre que le centre de cette sphère, et la valeur générale de x permet de déterminer les coordonnées de ce point géométrique.

La formule (jS) du paragraphe précédent donne, pour la distance du centre de la sphère inscrite à un sommet quel> conque O,

Ôk ôb' ôc'

40G = Œsîn'BOC-hîîIsinAOBsinAOCcosBOC).

On trouve par la même méthode le centre de trois forces parallèles appliquées aux sommets d'un triangle et proportionnelles aux côtés opposés.

23. Un "vase hémisphérique très^mince, de poids R, repose par sa partie convexe sur un plan horizontal et porte deux poids P, Q aux extrémités A, 6 ^/e deux rttyoTis perpendiculaires : position d'équilibre.

Les poids P, Q se composent en un poids P -h Q appliqué en un point G facile à déterminer sur AB ; le poids du vase est appliqué à son centre de gravité, au milieu M du rayon perpendiculaire à la base*, la résultante des trois forces devant être détruite par la réaction du plan fixe sera dirigée suivant le rayon OH qui passe au point d'appui, le plan MOG sera vertical, en sorte que OG sera la ligne de plus grande pente de OAB. Soit a l'angle qu'elle fait avec le plan horizontal ; les moments de R et de P + Q par rap-

port au plan passant par OH et perpendiculaire à MOG se détruisent^ donc

OM X Rsina -- OG(P -+- Q)cosa = o, tanga = -— -^t 9. D'ailleurs, par la formule (^),

OG (P + Q)^=:OA XP'-+-OB XQ', si 1 on fait OA ==. OB = a, OM = -, il vient

tanga = - \/P^+~Q^

24. Quand ou considère un corps parfaitement rigide s'appuyant sur un plan par plus de trois points, la Statique laisse indéterminées les pressions aux points d'appui ^ cette anomalie disparait si Ton tient compte des déformations légères éprouvées par le solide et des actions moléculaires qui en résultent : il y a des cas simples où le problème peut se résoudre aisément ^ en voici un exemple :

Une table horizontale qui reste parfaitement plane est soutenue par n pieds verticaux A A', BB',. . . d'égale longueur, reposant sur un plan horizontal rigide; la table est chargée de poids qui, avec son propre poids, ont une résultante verticale^ appliquée en un point connu : trouver les charges des appuis, en admettant qu'ils se raccourcis^ sent de quantités très ^ petites proportionnelles à leurs charges respectit^es.

Prenons pour plan des xjr le plan de la table quand les pieds sont dans leur longueur naturelle « et pour axe des s une verticale quelconque dirigée de haut en bas. Je détermine la position des points d'appui par leurs coordonnées primitives Xi, j'i,..., j:„, yn* Quand on charge la table et qu'on laisse les pieds se raccourcir, les x et les j* des points

d'appui ne changent pas sensiblement, mais leurs ordonnées deviennent Z|,. . . , 2?„. Soient Qi, Q,,. . . les pressions qu'ils supportent^ on a, par hypothèse,

mais, par hypothèse, la table reste plane et coïncide avec un plan z = ax H- bjr -I- c^ on aura donc

Soit a:, y le point où est appliquée la force P-, elle est égale à la somme des Q,-, et son moment par rapport à OXZ

et OYZ est la somme des moments de ces réactions^ donc

P=: X2(ûJr;-!- byi-i- c) m aX2.r,H- 0X2^,4- n\c^ Vx = a\^^l -4- ^X2jr,/, -f- cX2^/, P^ = flX2j-//i-f- 6X2j? -h cX2x«.

Nous avons trois équations pour déterminer a, &, c, et par suite les Q,-. On peut choisir l'origine et les axes, de manière à annuler Sj:,, Sy,-, Sa:,j^,-, Torigine étant le centre des moyennes distances des points A, 6,..., et les axes étant ce qu'on appelle les axes principaux du système. Il \îent alors

P = /iXc, VJT—all.rf, P/ r= bllyf.

S'il s'agit d'une table rectangulaire soutenue aux coins et dont les côtés soient 2a, 2b^ les axes seront les médianes, et l'on aura

Db S.-O. — Âec, 3