MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE
Des moments d'inertie.
174. J'ai rappelé (159) les propriétés les plus simples des moments d'inertie^ ajoutons qu'en un point quelconque d'an solide il y a trois axes principaux d'inertie perpendiculaires entre eux; en les prenant pour axes coordonnés, on a, m étant une des masses du système,
"Lmyz = Imzx = Imxy = o;
Tellipsoïde central est un ellipsoïde dont les axes sont diriges suivant les axes principaux et égaux à l'inverse de la racine carrée des moments d'inertie correspondants ou à l'inverse du rayon de gyration \ le rayon de gyration par rapport à une droite passant à notre origine est l'inverse du diamètre de l'ellipsoïde qui coïncide avec elle. Soient ^) B, C les moments principaux d'inertie, le moment relatif à une droite qui fait avec les axes les angles a, P, y est
1 = A cos'a -h B cos* p H- C 005*7 ;
^i A, a, 6,0 désignent les rayons de gyration correspondants, k^z=L a'cos'a -f- è'cos'P -t- 0*005*7.
Considérons un ellipsoïde, réciproque du premier, dont les îxes soient 2 a, 26, 2 c*, le rayon de gyration relatif à une droite passant au centre est égal à la distance du centre au
plan tangent perpendiculaire à la droite. Ce second ellipsoïde a été remarqué par Mac Cullagh.
175. Hayon de gyration d'un arc de cercle homogène par rapport à dwerses droites menées par le centre du cercle.
Soient OX Taxe de symétrie, OY la parallèle à la corde, OZ la perpendiculaire au plan \ ce seront les axes principaux, et en appelant a, i, c les rayons de gyration, 2^ Tangle au centre de l'arc donné, on aura
^ «,ar-«ny
Pour un demi-cercle © = - ; a* = i* = - R*.
Le carré du rayon de gyration relatif à la droite qui fait des angles oc^ |3, 7 avec les' axes est, par conséquent,
K'=: 1 R« Ti -h cos»7 -4- (cos'p — cos»a) ?î:!i?ll •
176. Moments d'inertie de Caire d'une ellipse autour de ses deux axes et de la normale à son plan, menée par le centre; cylindre elliptique.
Soient a, (3 les demi-axes, A, B, C les moments demandés, on a
Pour calculer A, j'intègre d'abord par rapport à a:, et je trouve
SUK LÀ IfÉCANIQUE EÀTIOlTirKLLE. ^67
Posons / = P cosf , J^ = P smfd<fy et nous aurons
Xir 1 r^ I
On en conclut immédiatement
B = ^ira»p, C = A-f-B = 2irap(a>H- p>).
Les rayons principaux de gjration sont - P, - a , - ^«'-f-P* .
Ce dernier serait le rayon de gyration d'un cylindre ellipti({ue droit autour de son axe ; quant au carré du rayon relatif au grand axe de la section moyenne du cylindre, c'est, en désignant la hauteur par a A,
177. Moment iï inertie d'un ellipsoïde homogène par rapport à ses axes et à la diagonale du parallélépipède rectangle circonscrit.
Je désigne par a, |3, y les demi-axes et je pose
h=:fffx^dxdydz, h!=Jy^dm, h^ri^Jz^dm.
Dans A, si on laisse x constant, l'intégrale relative à ^ et à z est Taire de l'ellipse suivant laquelle l'ellipsoïde est coupe par le plan parallèle au plan yz à la distance x ; donc
On trouverait de même h! et V^\ et, comme les moments principaux d'inertie sont h! -^h"^..,^ on en déduit les
368 KECTIEIL d'eXBKCICES
carrés des rayons de gyration
Le carré du rayon relatif à la diagonale du parallélépipède circonscrit est
fl^a' 2 p'7'4-7'a'4-a'p»
Le rayon de gyration d'une sphère autour d'un diamètre
estRy/ï-
179. Moment d! inertie d'un triangle ÂBC par rapport à diverses droites; conséquences pour un polygone régulier j pour une pyramide régulière.
Prenons pour origine O le centre de gravité du triangle, pour axe des x la médiane OA, dont la longueur totale est m, pour axe des j une parallèle à BC^ soit 6 l'^gle des axes \ le moment d'inertie relatif à la médiane est
Iz= r dxfx'^shk'Bdj' J am
OLX
a, (3, y sont les côtés du triangle \ sa surface est S = - ma sinfi;
donc
Les moments d'inertie par rapport à OÂ, et, par analogie, les moments relatifs à OB et OC sont inversement propor-
en
SUn LA MÉCANIQUE BATlOlTlfELLE. 369
ûonnels aux carrés de ces droites; l'ellipsoïde central en O coupe le plan du triangle suivant une ellipse E homothétique à Tellipse E' circonscrite à ÂBC et ayant son centre
O5 le rapport de similitude est mi/ -^ • 0 ''^ = ^ \/"^î le demi-diamètre de E' parallèle à BC est--; celui de E
sera — ==9 et le moment d'inertie correspondant V = -~ •
Le moment d'inertie autour d'une perpendiculaire en O au plan du triangle sera
^(x^-f-^-h ax^oos9) mBdxify
— sin'ô ""2 \24 18/ 36
Le carré du rayon de gyration, relatif à une normale au plan menée par Â, est
a» 'w* 4 • > , ï , —,- + -ô H- - /»»= - mM- -7 ot\ 24 10 9 2 24
Considérons un polygone régulier de n côtés, dont l'apothème est m, l'aire S, le côté a et le rayon du cercle circonscrit R; par le centre de ce cercle, menons deux diamètres rectangulaires OX, OT et une perpendiculaire OZ*, le moment d'inertie autour de OZ est la somme des moments des triangles ayant O pour sommet :
il \ 2 24/ \ 2 12/
Les moments autour de OX et de OT sont
De s. -G. — Bec. 24
3^0 RECUEIL D*EXE1tCICES
nous avons comme pour une aire plane quelconque A -h B = C j ici il est clair que A = B 5 chacun vaut - C.
Soit maintenant une pyramide régulière dont la hauteur est h, et dont la base a pour côté a, pour rayon R, pour aire S \ le résultat précédent donne le moment d'inertie autour de la hauteur
Le moment relatif à une droite menée par le sommet perpendiculairement à Taxe se calcule en observant que cette droite est parallèle à un diamètre du cercle circonscrit à la base d'une de nos tranches, et qu'elle en est à une distance égale à celle du sommet à la section^ donc
On en déduit les moments d'inertie des polyèdres réguliers et du cône droit.
179. Moments d'inertie d'un tore autour de son axe ou d'un diamètre de son équateur.
Soient R le rayon du cercle générateur, a la distance de son centre à l'axe *, x^y^ z les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque M, u sa distance au centre P du cercle générateur dans le plan duquel il est contenu, ^ l'azimut de ce plan, 6 l'angle de PM avec l'axe du tore 5 le système de coordonnées u, ^ et 0 est souvent utile quand on considère un tore, et donne
.r = (a -f- MsinÔ) cos^J>, 7=r (a -h « sinô) sin>J», z = «cosÔ.
On pourra découper le plan du cercle en petites surfaces
ududO qui, en toTarnant autour de OZ, engendrent des volumes [a -i-usinO) ududOd^'^ on a pour le volume du tore
I d'^ I dB j i{</£r(a + ttsinO] =2ir'aR'.
Le moment par rapport à Taxe du tore est, en intégrant entre les mêmes limites,
C =fff{a.'i'USUiBYududBd^ = aic^aR» («"+ t RM • Les moments autour de OX et de OY sont
A=fff{r-^z^)dxdydz = B=fff{at^^z^)dxdjrdz=:^^', Ar=B = - fff[[a -{- tt8iaô)*-f-2a'cos'd](a -{'UsaiB)ududBd^
= aK'«R'(ia«+|R>)
180. Condition pour qu'une [droite soit axe principal et inertie .
Supposons qu'une droite OZ soit axe principal par rapport à l'un de ses points O -, prenons deux droites OX et OY qui forment un système de coordonnées rectangulaires avec OZ, et nous devrons avoir
'Lmxz = o, 2,mjrz = o.
Quand ces conditions ne sont pas vérifiées, on peut cliercher si OZ est principale par rapport à un de ses points O' ^ si OO' = A, on aura, par analogie avec les conditions précédentes,
J,mx[z — h)=zOj Itm[z — h)jrz=::o.
Soient ari,^!,^?! les coordonnées du centre de gravité, M
3j2 REGI7E1L b'eXERGICES
la niasse totale ^ ces relations deviennent
En écrivant que ces équations donnent la même valeur pour h^ on obtient la condition demandée
Une droite ne peut être axe principal pour deux de ses points, sans Fètre pour tous et passer au centre de gravité. Cherchons la condition pour qu'une arête ÂB d'un tétraèdre soit axe principal en un de ses points. Du milieu M de l'arête opposée CD, j'abaisse MO perpendiculaire sur AB, et je prends OM pour axe des x^ AB pour axe des z avec un axe des y perpendiculaire \ le plan ZOX étant diamétral pour le tétraèdre, j^i = o et Ton doit avoir 2/nj^z = o. Divisons le volume du tétraèdre en petits prismes parallèles à CD^ le milieu de chacun de ces prismes est dans le plan ZOX, et ses éléments ont deux à deux des y égaux et de signes contraires^ si les arêtes du prisme ne sont pas perpendiculaires à OZ, les éléments dont Vy est ]> o auront un z toujours plus grand ou toujours plus petit que ceux dont Vy est <^ o, et la somme ne sera pas nulle. H faut donc et il suffit que CD soit perpendiculaire à la direction de AB.
181. Etant donnés les axes principaux OX, OY, OZ, relatifs au centre de grai^ité et les rayons de gyration correspondants a, J, c, trouver le rayon de gyrationpour une droite quelconque MR passant par un point M 5 axes principaux pour ce point ; discussion et coTiséquences,
Soient Xi, 7^1,^1 les coordonnées de M par rapport à OXYZ, r la distance OM , 0c, |3, 7 les cosinus directeurs de l'axe MR5 pour une parallèle OR' à MR, le carré du rayon de gyration serait a* a* 4- 4'/3' 4- c'y*^ il suffit d'y ajouterle
SUE LÀ MÉCAiriQDB HATIOHVELLB. 37$
carré de la distance de M à OR', et l'on a
aXi + ^^1 + yzg est la distance de. l'origine an plan P, mené par M normalement à MR. Imaginons une surface homofocale à l'ellipsoïde £ dont les demi-axes sont a^b^Cj ëcriTons son ëquaticm
et déterminons X de manière que cette surface soit tangente au plan P,
la condition de contact s'obtient en identifiant cette équation ayec celle d'un plan tangent à la surface (a), et éliminant les coordonnées du point de contact-, on trouve
X n'a qu'une valeur X^; il y a donc une seule surface du système (a) qui touche P, et, si l'on remplace dans (i) ax, -+- jSj-i -f- yzi par sa valeur, il vient
En M passent trois surfaces homofocales (a), répondant anx paramètres X,, X,, 1, • soit X, <[ X, <^ Xj -, à X = Xi correspond un ellipsoïde et, pour X<^X|, (a) représente un ellipsoïde qui enferme le point M ; de même, pour X ^ X,, (a) représente un hyperboloïde à deux nappes et M est dans sa partie concave^ donc, si X est <[Xi ou ]> X,, on a des surfaces auxquelles on ne peut mener de plan tangent P par M. Le minimum de k* est r* -H X^^ alors MR est normale à l'ellipsoïde homofocal de £ qui passe en M; le maTîn^wm de k* cst r*+ X, et l'axe MR du moment maxi-
374 RBGVEIL B^EXERGICES
mum d'inertie est la normale à Thyperboloïde à deux nappes -, ces deux normales sont deux des axes principaux pour le point M^ le troisième est donc la normale à Thyperboloïde à une nappe ( 2 ) qui y passe, et le rayon de gyration correspondant est r*+ Xj.
Puisque pour chaque point les axes principaux sont les normales des surfaces homofocales à E qui y passent, et que les rayons de gyration principaux sont égaux à r* augmenté du paramètre qui définit ces surfaces, on est ramené à discuter Téquation
Pour que deux des moments principaux d'inertie en M soient égaux, il faut que l'équation (3) ait une racine double ^ si a, 6, c sont différents, cela donne trois lieux différents pour le point M -, ce sont les focales de l'ellipsoïde E.
x, =: o, ■/ * , + -T — ^ = I , ellipse imaginaire; o' — a' cr — a* *^
^•=^' ^^.-^?rzhr^ = '' hyperbole;
z, = 0, a ' t "^ A» '^ = '^ ellipse.
Les trois moments principaux ne peuvent devenir égaux en certains points, que si b est égal à c ou à a. Soit i = c, pour que les trois racines de (3) soient égales, il faut que leur v.aleur commune soit &, et alors
Pour i = a, on trouve deux points imaginaires.
Le lieu des points pour lequel un des rayons principaux a une valeur k s'obtient en écrivant que l'équation (3)
SUR LÀ ICéCAiriQUE AàTIONirELLE. 3^5
admel la solution X = A' — r*.
jr
a^— A»-f-r» ^|2— it'-f-r» c'— ^^-hr
Si A est supérieur à a, i et c, on a la surface des ondes de l'optique ^ sinon on en a une variété qui est comme elle du quatrième degré, mais possède des nappes infinies.
Veut-on trouver les points pour lesquels les rayons principaux aient des valeurs données h^k'^h"^ on a le système d'équations
^^ ..a i 1.3 /-• ^^ .ii i /-» i^3 • »
On résout ces équations par le procédé de Binet (voir n® 151 ), et Ton trouve
et
Cette équation fait connaître r, et les précédentes donnent ensuite x^j^ z. On voit que A'-h A"-!- A:"' doit être
Chaque propriété des familles de surfaces homofocales donne une propriété des axes principaux, et réciproquement. Ainsi un plan quelconque est tangent à une surface du système \ il est plan principal pour le point de contact et pour ce point seulement. Toute parallèle à un des axes de E est normale à celle des surfaces qui se réduit au plan des deux autres axes de E^ elle est axe principal au point où elle perce ce plan. Le lieu des normales qu'on peut
mener d'un point fixe aux surfaces homofocales est un cône du deuxième degré : c'est le lieu des droites qui sont prin cipales pour un de leurs points.
Monvement autour d'un axe fixe.
182. Considérons un système d'axes coordonnés rectangulaires et un solide dont deux points A et B sont fixés sur l'axe des z \ le solide ne peut que tourner autour de OZ, et il est soumis en A et B aux réactions des appuis dont nous désignerons les composantes par Xi,T,,Zi, Xt, Yt, Z). Soient a et i les z des points A et B, X, Y, Z une des forces extérieures, appliquée en x^yyZ\ il suffit d'écrire les tliéorèlnes généraux sur l'accroissement des projections et des moments des quantités de mouvement du système, pour avoir six équations d'où l'on déduit le mouvement du corps et les réactions aux points fixes. Ces équations sont de la forme
2 TO -3—= 2X -h X, -4- X a, ai*
Soient 6 l'angle dont le corps a tourné à l'époque t^ (ù la
vitesse angulaire —^ et cii)'= — , oti, j^i, Zi les coordonnées
du centre de gravité G, M la masse totale, I = M/r' le moment d'inertie autour de OZ, 'Lmyz = a, "Lmxz = |3; on a, en observant que chaque point décrit un cercle autour deOZ,
dt "■^' dO
sua Ll MÉCAKIQUE RlTIOimBLLE* ZjJ
et les équations du mouvement donnent
X| -+- Xa -h 2X -4- M(6)**, -+- «'j-») = o,
T| -4- Y, -4- 2T -4- M («'j-i — 6»'x,) = o, . Z, 4-Z, -f- 2Z=o, ^ aY, -f- ô Y, — 2(jZ — «Y) 4- »*a — 6»'p = o,
«X, -h ÔX, — 2 (arZ — zX) -f- »»p -4- »'a = o,
M>fr»»'=:2(a:Y— j^X).
La dernière donne la loi du mouvement ; les première, deuxième, quatrième et cinquième, Xi, Xj, Yi, Y, ^ la troisième donne la somme Z| + Z,, mais Z| et Z, ne peuvent être déterminés isolément, ce qui tient à l'hypothèse d'une rigidité absolue du corps mobile.
Supposons que les forces extérieures se réduisent à un couple dont le plan soit perpendiculaire à l'axe : on a Z| + Zf = o, et il est naturel d'admettre que Z^ et Z, sont nuls séparément-, les réactions des points d'appui sont perpendiculaires sur l'axe, et leurs composantes données par les équations
X,-f X,-f-M(w*x, -4-»'/,) =0, aX, H- ôX, -l-»»p-4-w'a = o, Y, -h Y, -f-M(»*7i — »'a:,)=ro, aYi 4- ôY, -f-w^a— w'P = o.
Pour que les deux réactions aient une résultante R, il faut et il suffit qu'elles soient parallèles^ XitYittXttYi} cette proportion conduit à l'égalité équivalente
X, -h Xi aX| -h ôXa w'ari -4- w'^i »'p 4- «'a
Y| 4- Yj aY| 4- bYt w'^i — w'ar, «'« — »'P
EfTectuant les calculs, cette dernière donne
(û»*4-»'*)(a7,— pjr,) = o;
il faut
«:p!î«iîj^it
c'est-à-dire que Taxe fixe est axe principal pour Tun de ses points O. Supposons que l'on prenne ce point pour origine des coordonnées, oc et ^ deviendront nuls, et les équations où ils entrent donneront
iiX, -r ôX, = o, aYi -+- ôY, = 0^
les moments de X^ et de Xt, de Y^ et de Y, par rapport à 0 étant égaux et de signes contraires, la résultante passe en ce point, et est contenue dans le plan principal conjugué à l'axe de rotation. On peut faire passer le plan des zx par le centre de gravité, yi est nulle, et les projections de K sont
X, -f- Xa r=— Mw^r,, Y, -f- Y, = Mw'xi.
Cette force, composée avec le couple accélérateur dont le moment est MA:" w', donne une force unique, égale et parallèle à R, rencontrant l'axe des x en un point dont l'abscisse
est = y'^ — •/ ^*^*^ ^^ centre de percussion du solide
relativement à l'axe fixe.
On peut demander que la réaction d'un des points fixes  soit nulle : c'est dire que l'action de l'axe se réduit à une force unique appliquée en B ^ l'axe doit être axe principal pour ce point. Si les deux réactions étaient nulles, l'axe serait un axe principal passant au centre de gravité : dans le premier cas, c'est un axe permanent de rotation, dans le second, un axe naturel ou spontané.
183. Un parallélépipède rectangle homogène pesant est fixé par les extrémités P, Q d'une de ses arêtes^ qm est verticale : quelle vitesse faudrait-il lui donner pour que le point fixe inférieur Q n'éprouvât aucune pression?
Si l'on prend pour origine le milieu O de PQ, et pour axes des parallèles aux arêtes, dont je désigne les longueurs
SUR Li MÉCAiriQVB RàTIOlf NELLE . 3^9
paraa, ai, ac, ona Xi = a, 7^, = i, i?| = o, a = /3 =0, elles équations (A) deviennent évidemment
X, 4- X, + M (»'fl -+- »' 6) = o, Y, -+- Yî H- M( «»6 — w'fl) = o, Z, -4- Z, — Mg' = o,
c(Y. — Y,)-t-ÔMg^r=:0, c(X, — X,) H- Mûg^=:0, w' = 0.
La vitesse angulaire conserve la valeur constante ci), et si Ton veut que X, = Yj = o, on déduit des équations précédentes
X, -i- Ma«' = Y, -f- M tw» = cYt -hJAbg=z cX, -4- tilag = o.
Pour qu'elles soient compatibles, il faut et il suffit (^e c(«)'=: g^- la réaction en P a pour composantes —9
—9 Mg\ sa direction prolongée passe au centre du parallélépipède.
184. Déterminer la forme d'un pendule composé, assujetti à certaines conditions, de façon à rendre minimum la longueur du pendule simple synchrone.
Etant donnée une certaine quantité de matière, on peut en former un pendule composé qui oscille aussi vite ou aussi lentement qu'on voudra^ il suffit d'en former une trèslongue aiguille et de la faire osciller autour d'une parallèle à son axe qui en soit très-voisine, ou d'une perpendiculaire à cet axe. Mais, si Ton impose certaines conditions à la forme du pendule, le problème de rendre minimum le pendule synchrone admet une solution finie. On sait que, si a est la distance du centre de gravité à l'axe de suspen*
380 AECUBIL b'eXS&CIGÉS
sion, k le rayon de gyration autour d'une parallèle à l'aie menëe par ce centre, la longueur du pendule synchrone
est / = a -i y la forme du pendule étant donnée, / ne
peut être minimum que si a = Xr; alors l=^!ih^ et l'on est ramené à former un corps de masse et d'espèce données, tel que son moment d'inertie, par rapport k un axe de direction donnée passant au centre de gravité, soit minimum. Il faut pour cela que, si l'on enlève ou qu'on ajoute une masse infiniment petite en des points quelconques de la surface, sans que cette surface cesse de remplir les conditions géométriques qui lui sont imposées, le moment d'inertie autour de l'axe choisi éprouve une variation infiniment petite, indépendante de l'endroit qu'on a creusé ou renforcé : sinon, en enlevant de la matière aux points les plus sensibles pour la rapporter en d'autres moins sensibles, on diminuerait le moment d'inertie, qui, par suite, n'eût pas été minimum.
Supposons que le pendule cherché doive être un cylindre droit, d'épaisseur h et de masse m, 'oscUlant autour d'une parallèle à ses génératrices, et considérons la parallèle OX par le centre de gravité O. Si l'on veut retirer une petite quantité de matière sans altérer la forme du pendule, il faut que cette petite masse soit répartie uniformément le long d'une génératrice : pour que la diminution correspondante du moment d'inertie soit constante, il faut que toutes les génératrices soient équidistantes de l'axe; la base du cylindre sera un cercle, et Taxe de suspension passera au milieu du càté du carré inscrit.
Demandons que le pendule soit de révolution autour d'un axe qui coupe à angle droit l'axe de suspension. Soit OX la parallèle à ce second axe par le centre de gravite : la masse dm qu'on enlève doit être répartie uniformément le long d'un parallèle de la surface ; si y est le rayon, z la
SUR LA MÉCAHIQUB RÂTIOBVELLE. 38l
distance du plan du parallèle à l'axe, la variadon du mo-
ment est
(..4-i^-jrfm.
Pour que ce soit une constante, il faut que l'équation de la surface soit
c'est un ellipsoïde de révolution aplati dont le volume, égal
au volume donné, est ^ irc* 5 et l'on a A:= c i/^-
185. Une planche rectangulaire homogène est fixée aux extrémités A ef B d'une de ses arêtes qui fait un angle i avec la verticale; moux^ement de la planche quand on récarte de sa position d'équilibre; réaction des deux
gonds.
Je prends AB pour axe des z, son milieu O pour origine, la perpendiculaire à AB contenue dans le même plan vertical que cette droite pour axe des x et une perpendiculaire à ces deux droites pour axe des jr-^ soient aa = AB, ac la largeur de la planche. Le poids mg est appliqué au centre de gravité G, et ses composantes sont
X = mgr sin/, Y = o, Z = — wig' cos/ ;
on a évidemment
I «=2mj^3=::0, P =z ZntJeZ = O.
J'appelle 0 l'angle du plan de la porte avec ZOX et Xi, Y|, Zi^Xj, T„ Zt les composantes des réactions de A et de B.
38a BECUBIL D EXERCICES
Les équations générales deviennent
X, -+-Xa -f- mg sini -{-me {»^cosB -f-w'sinO) =o, Ti 4- Y, H- 77u:(u*sin0 — u'cosO) =0, (i ) ^ Z, -+- Zj — mg CO81 := o,
a[Yi — Yj) -f- c/w^cosisinO = o, û (X, — X,) 4- cmg cosi COS0 =r o,
- mc*«' = — cmg sinô sini.
La dernière donne, en multipliantpar (*idt=zdOet intégrant, 2c(w* — ftij) = 3g'[cosO — cosO,) sini.
Les oscillations sont isochrones à celles d'un pendule de
longueur—^; — ;• Les premières équations (i) nous donn^
ront Xi, Xt9 Ti, Y^^ mais, il est un peu plus simple de chercher les composantes des réactions dans le plan de la planche, parallèlement à OG, et suivant, une normale à son plan^ je désigne ces composantes par Pj, P,, Ni, N^et je pose
ac ^ '
A est <^ — I si la rotation est continue. On a d'ailleurs P = X cosO -4- Y sinô, N = YcosO — X sinO;
si donc on ajoute la première et la deuxième équation (i!i après les avoir multipliées par cos0 et sind, ou par — sinS et cosd, on a
^ -^ mg sin / , w ^ « , X
N, 4- N, =r: -7 mg sini sinO.
sua LA MÉCANIQUE HATIONITELLE. 383
Ajoutons au contraire la quatrième et la cinquième après
, . ,.^ sin9 cosO cos9 sinO
avoir multiplie par et > ou par et : on
trouve
^ ^ cmgcosi
On peut ainsi calculer immédiatement les P et les N. Comme Ni = Nt, sans que Pi soit égal à P^, les deux réactions n'ont pas de résultante, à moins que cosi ne soit nul, c'est-à-dire AB horizontal ^ alors
P.r=P,=:-^(3A — 5cosO), N, = N, 3= -casino. 4 ^
tr Ni
Sici>o = o et 6o == -> A est nul et--^ = — • — tanfi^d: la tan-
2 Pi lO ° '
gente de Tangle de la réaction avec le plan de la porte est proportionnelle à tangd.
i86. Oscillation d'une aiguille aimantée mobile autour d'un CLve horizontal qui passe par son centre de gras^ité O ; influence du frottement qui s'exerce sur l'axe quand l'eu-guille oscille dans le plan du méridien magnétique.
L'influence de la Terre sur une aiguille symétrique par rapport à son centre de gravité peut être représentée par J action de deux forces F égales, parallèles et de sens contraire, appliquées en deux points P, P', symétriques par rapport à O5 l'angle i de ces deux forces avec l'horizon est la déclinaison, et le plan vertical qui leur est parallèle est le plan du méridien magnétique. F peut être remplacée par une composante verticale F sini, et une composante horizontale Fcos / ^ si donc l'axe de l'aiguille fait l'angle a avec le méridien magnétique, Fcos i se décompose en deux autres, Fcos i sin a, dans le plan où peut se mouvoir l'aiguille, Fcosicosa parallèle à Taxe : l'aimant sera en équilibre quand l'angle i'
384 RECUEIL D*EXERCICB8
de P^P avec l'horizon est tel qae
cotf'=: sînacot/.
Écartons PP' d'un angle 9 de sa position d'équilibre^ si PP'= a/, l'aimant est soumis au couple
aF/ siQ9 v^sin^i -4- cos*i sin'a ; en appelant mk* le moment d'inertie, on a
m^*»' = — 2F/ sinO ^i — cos'i cos*a, m^'(w'— wj) = ^¥l{cosB — cosô.) ^i — cos'icos'a.
L'aiguille prend un mouvement pendulaire, d'où* l'on déduit l'intensité des forces F. Supposons l'aiguille assujettie à rester dans le méridien, a = - • Soient p le rayon
de l'axe de suspension, a a la distance des points d'appui, dont le milieu est en O ^ je prends cet axe pour axe des z, l'axe des pétant suivant la direction d'équilibre et l'axe des X perpendiculaire aux deux autres; et je désigne par 6 l'angle de OP avec OY, le sens des angles positifs étant
tel que pour OX, 6= • Les composantes du poids sont
— mg sini, mg cosi et o, tandis que F est parallèle à OY. Par raison de symétrie, les points d'appui n'ont pas à fournir de réaction parallèle à OZ; leurs actions, égales entre elles, ont pour composantes X et Y; la force de frottement en chaque point d'appui est donc sinf ^X* -f- Y*. Comme Xi^jfi ^d <3c, (3 sont nuls, les troisième, quatrième et cinquième équations générales deviennent des identités, et les autres donnent
aX — mg sin/ = o, a Y -f- mg cosi = o, mX^»«'=— aF/sine-f- apsiny^X*-!- Y*,
sua LA MéCAHIQVE aATIOHNELLE. 385
Le signe du dernier terme est pris en supposant que 0 parte d*une valeur initiale positive X pour décroître. On tire de nos équations
~ = — cet/, a v^ïë» -h Y* = mg.
La réaction de chaque appui est toujours verticale et égale â la moitié du poids. L'équation du mouvement devient
iiiX*'ft>' = — 2F/ sinO -♦- mgf sinf •
Pour que le mouvement naisse, il faut
d F / sin 1 ^ m^p sin f ;
s'il en est ainsi, intégrons en multipliant par 2(ùdt=^ a ^9, mJk^»^=:z 4F/(cosa — cosX) -h 2mgp[9 — l] sîof.
Cette formule est applicable jusqu'à ce que 0 ait atteint une valeur ^i pour laquelle o) s'annule. A cause de la petitesse de psincp, \ ne diflfère pas beaucoup de — X\ écrivons que a>* s'annule pour 0 = — X -+- /i,
aF/[cos(\ — h) — cosX] — m^p(aX — A) siof =o.
Développons cos(X — h) par la formule de Taylor, et obligeons les termes du deuxième ordre :
aF/A smX — a/w^^pX sm« = o, A = ^J. ^ ^ :
si X est peu considérable, -r-r diffère peu de i , A est sensiblement constant, et l'on voit que l'amplitude des oscillations décroit suivant une progression arithmétique; quand
le sinus de cette amplitude est devenu ■< ^ ^> l'aiguille s'arrête, faisant eu général un petit angle avec OY.
Ds S.-G. — Â9C. a5
386 nEçuBiL d'exercigbs
MottTament autour d'un point fixe.
187. Considérons un solide assujetti à tourner autour d'un point O et sollicité par des forces quelconques^ le mouvement élémentaire est une rotation autour d'un axe instantané 01, et il suffirait de connaître la grandeur et la direction de la droite OI = o) qui représente cette rotation à chaque instant pour être ramené à une question de Calcul intégral. Menons trois axes rectangulaires fixes OXi,OY|,OZ|*, la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à OXi est de la forme
la dérivée est égale à la somme des moments des forces extérieures, mais elle est diilQcile à calculer à cause des £ qui } figurent et qui varient avec le temps. Aussi Euler a-t-il cherché les projections )», y, r de OI sur les axes principaux OX, OY, OZ relatifs au point O^ ces axes sont mobiles, mais aussi il suflit de connaître leur position à un instant donné pour avoir celle du corps. Supposons les systèmes OXYZ. O X| Y| Z|, disposés de manière que OX représente l'axe de la rotation de OY vers OZ, et ainsi de suite ^ Euler considère la trace OP du plan XY sur le plan Xi Y|, et désigne par ^ Tangle dont il faut faire tourner OXj dans le sens positii pour Tamener sur OP, par (f l'angle dont OP doit tourner pour aller sur OX, enfin par 0 Tangle du plan XY ave< Xi Yj . L'angle 9 s'évalue en prenant les parties des deux plans que décrirait d'abord dans chacun d'eux une droite qui se mouvrait dans le sens positif à partir de OP; quand 0 esi entre o et ir, c'est que la partie considérée de XY vient par rapporta Xi Y| du même côté que OZj. On a calculé (113^
les relations entre w, 7, r et les dérivées -^9 -7-» -r» Q^^
'^ ' dî di dt ^
SUR LA MÉCAlflQIIB RATlOIilfBLLE. D87
110113 désignerons par (f ^ ^\ 6'^
J /> = 4»'sinf sinô-h fi' cosç, ^ = ^^'sinOcosf — O'siof, '*' j r = ^' + f cos9.
Mais, pour trouver py q^r en fonction de t^ on me per<* mettra de résumer une méthode très-ëlégante exposée dans les leçons de Bour à TEcoIe Polytechnique. Il considère une droite OR, appelée axe du. couple résultant des quantités de mouvement, et dont les projections sur OXi, OYi, OZi sont
Transportons les forces extérieures en O, elles sont détruites, mais on obtient un couple résultant des forces extérieures, dont Taxe est une droite OG ; la projection de OG sur un axe est égale à la somme des moments des forces par rapport à cet axe. Le théorème sur la variation des moments des quantités de mouvement
peut s'énoncer en disant que la vitesse du point R est représentée en grandeur et en direction par OG.
Cela posé, soient A, B, C les moments d'inertie autour de OX, OY, OZ-, la somme des moments des quantités de mouvement par rapport* à OX est A^, . . . , c'est-à-dire que les coordonnées du point R sont, à l'époque /,
x = Ap, jr = Bq, z=zCf\ A l'instant t + dt^ les coordonnées relatives sont
A(p-h'dp), n{q-hàq}, C{r-^dr);
388 RBCVEIL D^EYERCfCES
mais, par une formule connue de Cinématique) les composantes sur OX) OY, OZ de la vitesse absolue de R sont les sommes des composantes de la vitesse d'entrainemeut et de la vitesse relative, c'est-à-dire, suivant OX,
dx dp
— 4-73 — r/ = A — -4-yCr— r^q.
11 sudBt d'égaler ces composantes aux projections de OG sur les mêmes axes ou aux sommes L, M, N des moments des forces par rapport à ces axes, pour avoir les équations d'Euler
On remarquera que dp^ par exemple, se compose de deux parties :
d^p = "^ qrdt, df p = J ^'î
la première est celle qu'on aurait sans l'intervention des forces extérieures et eu vertu de l'inertie du solide : l'autre est due aux forces extérieures qui communiquent ainsi une
rotation i», dont les composantes sont - dt^ -^ dt^ ~ àt.
L'axe de cette rotation est dirigé suivant le diamètre OH de l'ellipsoïde central conjugué au plan du couple G; ce diamètre fait avec l'axe du couple un angle dont le cosinus est
^"•=gs;(a^¥-^c)^'-
8VB LA MECANIQUE RATIOMKELLB. 389
Le moment d'inertie autour de OH est
f fit donc dco=r— -cos9^ la rotation communiquée par un
couple pendant le temps dt est égale à l'impulsion du couple multipliée par le sinus de Tangle de son plan avec le diamètre conjugué dans l'ellipsoïde et divisée par le moment d'inertie autour du diamètre.
Les équations (i) et (s) forment un système très-complexe de six équations simultanées, car L, M, N dépendent de ^, 0, (f . Ce système se simplifie quand deux moments A et B sont égaux. Remplaçons dans (s) ^, f, r et leurs dérivées par les valeurs tirées des équations (i) :
(d dB' \
H- (C — A) (f H- f cose) (f sin« cosf — 9' ûaf) = L,
+ ( A — C)r(f sine siuf -^ 6' cosç) = M,
Ajoutons les deux premières, après les avoir multipliées respectivement d'abord par coscf et — sinq), ensuite par sin^ et cosf ^ la première combinaison donne au second membre L cosf — M sinf , la seconde L sinf -h M cosf ; ces quantités sont les projections de OG sur OP et sur une droite OQ qui lui serait perpendiculaire dans le plan XY, c est-à-dire la somme des moments des forces par rapport à OP et OQ i désignons-les par P et Q, et nos équations
^go RBCUEIL d'eiceugices
deviennent, après quelques réductions simples^
— — f >sinÔ cosOj -h C((p' H- f cos9)f sinO = P, (3) I A^sinô^-f-ae'f cosO^ — CÔ' (f -4-f cosO) = Q,
Nous avons trois équations du second ordre, qui ont été données sous une forme équivalente par M. Resal^ (f ny entre que par sa dérivée, et les moments P, Q s'obtiennent plus aisément que L et M.
188. Déterminer le mouvement d'un anneau homogène en supposant que son centre coïncide auec celui d'un autre anneau très- grand par rapport au premier, et dont toutes les molécules attirent celles de Vanneau mobile sui\fant la loi newtonienne : il ninten^ient pas d'autre force^ et le petit anneau est primitivement animé d*un mouvement quelconque autour de son centre immobile.
On a vu (79) que l'action du grand anneau sur l'anneau mobile S se réduit rigoureusement à un couple dont Taxe est la ligne des nœuds, et que le moment de ce couple est approximativement
— -r//npt~ smôcosô;
y* étant le coeflicient d'attraction, meX^ les masses du petit et du grand anneau, a et R leurs rayons, 9 rinclinaison du plan de S sur celui du grand anneau. Le centre O de S reste immobile ; nous le prendrons pour origine, et le plan du grand anneau sera notre plan Xi Yj , l'axe des Xj étant suivant la position primitive de la ligne des nœuds; noas
8€H LA UÉCANIQinS RATIOirifELLE. Spi
conservons les variables <p, 0 et f . On a ensuite
on pose
et Ton peut substituer dans les équations (3); divisant par -ma*, il vient
-y + 4'''^o&cosO 4- a^^'f sîû^ -♦-XsinÔcosd = o,
Je désigne par C) t^» t? les valeurs initiales de 9', ^' et o',
otpar a celle de 0-, la troisième équation (4) donne tout de
suite
.5) ç' 4- 4»' cosO = n -+• Çcosa = A;
substituons la valeur de fs^' dans les deux autres équations ( 4 )
4''*sinOcosd+ ih'^' sinO H- X6inOcosO = o,
sin$— 7- -4- 2*yo'cosô— 2AÔ' = 0.
Si Ton multiplie la dernière par sin0, elle s'intègre et donne 9 ) '^' sin*0 -h 2 A cosO = Ç sin'a -î- 2A cosa = K.
Tirons-en la valeur de ^' pour la rapporter dans (6),
-r-= -7-77 (K — 2ACOSO)» :— - K.— 2Acos9) — XsinOcosO.
dt sin»d^ ' siuô^ '
En multipliant par 20' dt = 2i/0, le second membre devient
39^ BECVBIL D*BXB1ICICE8
întegrable, et, en remplaçant K par sa valeur, on a
' sin'ô ^ '
En général, 0 ne doit pas atteindre zéro ni tt, pour que le second membre reste positif, c'est-à-dire que le plan de l'anneau mobile ne vient jamais coïncider avec celui de l'anneau
fixe, n n'y a exception que si le terme en -r— disparait, ce
qui exige ?^ = o et A = o, ou î[ = yj = o -, il faut que l'anneau n'ait reçu ni mouvement de précession ni de rotation autour de son axe de figure^ alors l'équation (8) devient
e' = -r-i = t'-4-X sm'a — sin»9] =8» 4-^ •
L'équation (7) montre que dans ce cas ^'est nul; l'anneau oscille autour de sa ligne des nœuds comme un pendule de
longueur |- = . . .. > niais dont l'angle d'écart serait à
chaque instant double de l'inclinaison du plan de S.
Cherchons les conditions pour que les valeurs entre lesquelles 0 doit rester compris soient égales entre elles et, par conséquent, à a : le second membre de l'équation (8) doit s'annuler ainsi que sa dérivée pour 6 = a; il faut d'abord que c soit nul \ puis, en se reportant à la valeur
de — > dt
aÇA — P cosa •+- X cosa =: Ç' cosa •+- 2îïÇ -+- \ cosa = o.
On doit donner à l'anneau un mouvement initial de précession dont la vitesse \ est l'une des racines de l'équation précédente \ ces racines sont de signe contraire à i}, et ne sont réelles que si r? ^ X cos'a; mais, si «j est grand, Tune des racines est très-petite en valeur absolue, l'autre très-
SDR LA MÉCAIIIQVB RATIOMZIBLLB. 393
grande. L'équation (7) donnant pour t^' une valeur constante, l'axe de figure décrit uniformément un cône droit autour de l'axe de Tanneau fixe.
La discussion complète des équations (7) et (8) est longue, et je me bornerai à un cas particulier intéressant, celui où ( et ^ sont uuls, tandis que 19 a une grande valeur. On tire des équations (7) et (8) simplifiées
^Jtnfcosa — cosO) ^ stn»0
,j >(cos*g — cos'«)8in*0 — 4^^*(^s^ — cos«)»
9 diminue à partir de « jusqu'à une valeur qui en diSere très*peu ; on posera 9 = a — x^ et l'on développera par la formule de Taylor en ne gardant que les termes les plus influents; on trouve ainsi
it' = : — j x'*=5^«sin2a — in^x*,
^ sinoL
On intègre aisément la seconde, et, en résolvant par rapport
a or, on a
>sin9a. ,
X = — —- (l-COS2ur),
Su d'où
,, iLcosa, , . >/cosa >cosa .
+ = II — COS2JJ/), + = 1 7---sinaii/.
raisons , , = n, et nous aurons
9 =« — n sina -h /isinacosau^, ip = — a/iuf -h /isinauf;
6 et ^, qui font]connaitre la direction de l'axe de figure, ont une partie moyenne et une partie périodique. Sur une sphère de rayon t, le pôle moyen de l'anneau décrit un
394 HECDBIL d'exercices
petit cercle d'un mouvement uniforme pendant le temps — ; mais le pôle vrai tourne autour de ce pôle moyen, de
façon que sa trajectoire relative est un petit cercle de rayon
/zsina, et sa trajectoire absolue une épicycloïde sphérique
ordinaire, car, pour 6= «, y- est nul, ce qui indique un rebroussement ^ la période de ce mouvement de nutation
est -9 beaucoup plus petite que celle de la précession
moyenne. Ainsi, selon l'expression de Lagrange, le mouvement primitif du corps a transformé en mouvement de précession le mouvement oscillatoire que le couple tendait à lui imprimer.
Si Ton veut avoir la position de Taxe instantané à une époque quelconque, on recourra aux formules (i) dans lesquelles on peut faire (f = o, car cet angle n*a apparu jusqu'ici que par sa dijQl'érentielle -, il vient, eu égard aux résultats précédents,
/?=0' = — 2/iqsinasin2nt,
g = •];' sinô = — 2/îi) sina(f — cosauf),
L'axe instantané décrit, par rapport au système mobile formé de OP, OQ, OZ, un petit cône de révolution dont OZ est une génératrice, et dont le demi-angle au sommet est 2 7iy2sina^ cet angle est très-petit, mais beaucoup plus grand que Tangle d'écart du pôle vrai et du pôle moyen.
189. Moui^ement d'un solide de réi'oluiion pesant, animé d ^une grande vitesse, autour de son axe dejigure^ lorsqu'un point O de cet a^e est fixe, et tjuun autre point ^est sollicité par uneforceF perpendiculaire àl'axe*
Nous prenons pour origine le point fixe, pour axe des «i
sua LA ICÉCAVIQUE BATIOlTirBLLE. igS
une verticale montante, et les antres axes comme précédemment. Soient a la distance OA du centre de gravité k 1 origine, U et V les composantes de F parallèlement à OP et OQ, et OB = A, P sera égal à mga sînfl — i V, Q à AU, et, d'après les formules (3), on aura
A I -^ 4*'* sin$ cosô j
-hC(y'H-4»'cosô)+'sinO = /n^asm9— 6V,
A ( sinO -i -+- 2e'ip'cosO ] — Cô' (f -f- 4»'cos9) = èU,
d{f' -4-ip'cosô) =0.
La dernière donne de suite ©' 4- ^' cos6 z=:h^ h étant une constante. Quand cette quantité est très-grande, ou que la vitesse autour de Ta^ce de figure est considérable, Teflet de ta force F est singulier. Supposons qu'elle se réduise à V, oa que U soit nul, les quantités
ChB\ CAf8ine-+-^V
conservent des valeurs finies -, 0' reste très-petit, tandis que ^' prend une valeur finie, sensiblement proportionnelle à V et à l'inverse de A; la force qui tendrait à soulever Taxe du corps ne lui donne en réalité qu'un mouvement de précession. Au contraire, si l'on cherche à donner un mouvement de précession, en appliquant une force qui se réduise à U, les quantités C/iYp' et C/i6'+ AU restent finies^ on ne réussit qu'à diminuer 0 ou à relever l'axe de figure. Si l'on demandait la force nécessaire pour obtenir un mouvement de précession sans nutatiou, on ferait 6'= o dans (E), et Ton en déduirai t
6V = sin e ( mga H- Af ' cosG — CAf ), 6U = A sinO ^ ;
396 RECUBIL D*EXEKCICES
y aurait ane valeur considérable, tandis que U serait fini et indépendant de la vitesse de rotation qui entre dans h.
Quand on suppose F =s o, et qu'on tient compte de la valeur de tf' -i-f^'cosdy les deux premières équations du mouvement deviennent
)A( -T >|»'*8inôcosÔ ) -4-CA^|»'sinô=mg^«smO,
I A ( sinÔ-^ -h 2$'f cose) — C/iO' = 0.
La seconde, multipliée par sin 6, est intégrable, et donne une intégrale de la forme
{H') A+'sin'Ô -h CA cosS = AÇsin'a -h Zh cosa.
Multiplions-la, au contraire, par asinde/'sp, et ajoutons-lui la première multipliée par a^9, on a l'intégrale des forces vives
( H'') A(9'*-|- sin^e^»") -♦- !imgacosO = A(t'4- psin'a) 4- nmgacosa.
Ces deux équations donneront le mouvement dans le cas le plus général ] on peut en déduire les conditions pour que 0 conserve une valeur a\ mais celles-ci résultent plus simplement des équations (H)^ la seconde donne J^'= o, 4^'=2[t et la première
A cosaC^ — Ch% H- mga = o;
il 7 a deux vitesses de précession correspondantes, Tune grande, l'autre petite.
Supposons le corps animé seulement à l'origine d'un mouvement de rotation autour de son axe ^ on fera e = 2[ = ^ dans,(H') et (H'^), et, si l'on élimine dt entre elles, on trouve
d^^ Oh* ( co» a — cos 0 )
</&* sin>0[2//i^ Aâ sin'l> — C'A'(cos« — cos9]\
SUH LA MÉCAMIQmS EATlOHlfBLLB. ^J
La fonction entre crochets, positive pour 0= o, néga* tive pour 0 = ir, s'annule pour une seule valeur, P, de 0 comprise entre zéro et ir^ |3 est ^a selon que a est positif ou négatif. Sur une sphère dont le centre est en O, Taxe de figure décrit une courbe comprise entre deux petits cercles, dont les distances sphériques au point le plus haut de la sphère sont les arcs a et P ; la courbe est tangente au second cercle, tandis qu'elle aborde le premier par des points de rebroussement où la tangente est orthogonale au cercle. Quand h a une grande valeur, |3 est très-voisin de «, en
sorteque, si a= -<• Taxe de figure décrit à peu près un
plan horizontal^ mais, à mesure que les résistances passives diminuent la vitesse de rotation, l'axe dévie de plus en plus de ce plan.
190. Sur quelques propriétés du inouv^ement d'un solide qui tourne autour d'un point fixe sans être sollicité pai' aucune force extérieure; équation de Vherpoloïde,
Je prends les axes principaux d'inertie pour axes des x. à&sj et des z-^ soient p^ q^ r les composantes de la vitesse angulaire ai, I le point d'intersection de l'ellipsoïde central (E) avec l'axe de cette rotation, p la distance 01. L'axe OG du couple des quantités de mouvement est invariable dans l'espace, mais ses projections Ayt;, B^, Cr sur nos axes mobiles changent avec le temps, tout en satisfaisant à la relation
le théorème de la conservation des forces vives donne en
outre
» A/?» 4- B^»-*- Cr»= H.
Poinsot a indiqué une représentation très-simple du
39B RBCUEIL d'eKEACICES
mouvement; le plan tangent à (E) au point I est parallèle au plan invariable, c'est-à-dire perpendiculaire à OG, et
rencontre cet axe à une distance constante —- de Ton-
gine, a> étant égal à p \/H. Le solide se meut de manière
que Tellipsoïde central reste toujours tangent à un plan
fixe, le point de contact a une vitesse infiniment petite,
mais il est le centre d'un pivotement.
Poinsot a déduit des équations (i) et (a) d'autres con-
séquences secondaires, faciles a établir; ainsi la somme
des carrés des distances des sommets de (E) à Taxe du
couple OG est constante. En effet, cette somme est
i sin'GOX -t- i sin^GOY -+- i sin'GOZ ABC
On aurait encore une somme constante en multipliani le carré de chaque distance par le moment d'inertie correspondant.
Le plan tangent à (E) au point I, étant perpendiculaire
à OG et à une distance ~- de l'origine, a pour équation
Ay?.r H- B 7/ -4- Crz = ^H ;
la somme des inverses des carrés des longueurs quMl în-
tercepte sur les axes à partir de l'origine est^r; si l'on
multiplie ces carrés respectivement par A, B, C, la somme des inverses devient égale à i .
Considérons l'ellipsoïde réciproque dont les axes sont égaux aux rayons de gyration principaux; ce sera la figure polaire réciproque de E par rapport à une sphère de rayon
SUR hk MÉCANIQUE RÀTIOMlfELLE. 3g^
Tp= y m étant la masse du solide ; le point G^ où il est coupé
par Taxe du couple des quantités de mouvement est le pôle du plan tangent en I à E-, OG' est égale à la longuetu*
constante G l/—* Que Ton projette les axes a^b^c de
lellipsoïde réciproque sur le plan invariable, la somme des aires décrites par les projections de ces droites croîtra proportionnellement au temps* En effet) en vertu des rotations pdt^ ifdty rdt, a décrit dans les plans XOZ et
XOY les aires -a*yrf^, -a*ré/f ; la somme de leurs projections sur le plan invariable est
et la somme des trois projections donne
-^rH(A-+-B-4-C)~G']=-r?(fl>4-*>-+.c']- -l.//. aGiif •■ ^ ' -^ 1 LG ^ ' m\
Poinsot a donné une image très-nette du mouvement en disant que le cône S, lieu des droites 01 prises dans le corps, roule sans glisser sur le cône Sj, lieu des droites de l'espace absolu qui coïncident successivement avec 01. La directrice de S est une courbe U, lieu des points I de l'ellipsoïde dont le plan tangent est à une distance donnée du centre; soit K Tin verse du carré de cette distance, les équations de la poloïde U seront
(3) Ax*-^B7»-f-C«'=i, A»x»4-B»7»-hC»2»=K.
L'équation de S s'obtient en combinant les précédentes
A(A — K)j^»-t-B(B-"K)^»-hC(C — K)«»=o.
Soit A > B > C5 lorsque K = A ou K = G, le cône se
400 aBCVBIL D*EXBKCICBS
réduit à une droite et la poloïde à un point ^ les axes majeur et mineur de l'ellipsoïde central sont axes permanents de rotation; si K = 6, S devient un système de deux pians réels et la poloïde se compose de deux ellipses passant par l'axe moyen; cet axe peut être un axe permanent de rota* tion, mais, avec les mêmes valeurs de H et G, il peut arriver que le point I se déplace tout le long d'une des ellipses. Ces courbes partagent la surface de l'ellipsoïde en quatre fuseaux tels que, pour une valeur de K quelconque, la poloïde se compose de deux ovales renfermés à l'intérieur de deux de ces fuseaux opposés par le sommet, en sorte que le point I reste dans celui de ces espaces où il s'est trouvé a l'origine; la poloïde est symétrique par rapport aui trois plans principaux, et se projette sur eux suivant des coniques. K est toujours compris entre A et C; selon qu'il sera ^ B, la poloïde sera dans l'un ou l'autre couple de fuseaux opposés.
Dans l'espace absolu, le lieu de I est une courbe plane Ui, appelée herpoloïde, directrice du cône Si. Soient Pie plan sur lequel roule l'ellipsoïde central, T le point où il rencontre OG, p la longueur de OI, ds l'arc infiniment petit dont I se déplace pendant le temps dt^ soit sur U, soit sur Ui \ p el ds sont les mêmes pour les deux courbes ; la relation qui les lie dans la poloïde sera une équation différentielle de l'herpoloïde. Ecrivons
cette équation, jointe aux équations (3), détermine x,j,>2^ en fonction de p :
, BCû>-f-K — B— C , CAp«-*-K — C— A
Prenant la racine, difTérentiant et élevant au carre, on^
êVft hk MiCAiriQUE aATIOIlNKLLB. 4ot
trouve
dx^ =
(A — B)(A — Cj(BCp»H-K — B— C)
En ajoutant les trois quantités analogues, on aurait ds^ en fonction de pe\,dp\ or, si dans P on prend T pour p6le^ si Ton fait TI = u, et qu'on appelle 9 l'angle de TI avec une droite fixe, on aura
Jv
l'équation qui donne ds^ deviendra, en éliminant ds et p, une ëquatioA différentielle entre u et 0, conduisant à une intégrale elliptique. Sans effectuer la quadrature, on voit que,rherpoIoïde étant le lieu des points où P est touché par une orbe de la poloïde qui roule sur lui, cette orbe étant formée de quatre parties superposables, et p devenant tour a tour maximum et minimum aux sommets qui séparent ces parties, u est en même temps minimum ou maximum, et l'herpoloïde se compose d'arcs égaux, compris entre deux cercles dont le centre est en T, et que la courbe vient toucher alternativement.
Pour K = A ou K =3 C, l'herpoloïde se réduit a un point; mais, pour K = B, c'est une courbe dont l'équation peut être explicitée. Les valeurs de Jx',... se réduisent aux suivantes :
CByVp'
-(A-B)(A~C)(Bp'-i)'
•^''" (B -. A) (B — C) (ACp' -h B — A — G)*
«-(C-A)(C-B)(Bp^^i)'
(ABCp»-h B'-- AC ~ AB ■- BC)pVp*
'^— (Bp»— i)(ACp'4-B — A — C) Dt S.-G. — Bê€. a6
409l HECUKtL D^EXBRCICES
Faisons les substitutions (4), en supposant K = B, on obtiendra, après quelques réductions, Téquation différentielle de l'herpoloïde
